Jenis-jenis Ekstrim Fungsi dan Pembahasan Soal

Untuk memeriksa kondisi bahwa nilai stasioner suatu fungsi adalah nilai ekstrim fungsi itu dapat dilakukan dengan strategi uji turunan pertama dan strategi uji turunan kedua.

• Strategi Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Jenis Ekstrim

Misalkan x = c memberikan nilai stasioner f(c) dari suatu fungsi f yang diferensiabel. Jika f'(x) ada untuk setiap titik di sekitar x = c (yaitu interval kecil pada sumbu X yang membuat c) maka di sekitar x = c terdapat 4 kemungkinan untuk grafik f (dapat di lihat pada gambar di bawah ini)

1. Jika f'(x) > 0 untuk x < c dan f'(x) < 0 untuk x > c, maka f mempunyai nilai balik maksimum pada x = c. Nilai balik maksimum itu adalah f(c).
2. Jika f'(x) < 0 untuk x < c dan f'(x) > 0 untuk x > c, maka f mempunyai nilai balik minimum pada x = c. Nilai balik minimum itu adalah f(c).
3. Jika f'(x) mempunyai tanda yang sama untuk x < c dan x > c, maka f tidak mempunyai maksimum atau minimum pada x = c, sehingga f(c) bukan nilai ekstrim.

• Strategi Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Jenis Ekstrim

Misalkan fungsi f(x) terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka I, artinya f'(x) dan f''(x) ada pada I. Jika c ∊ I dan f'(c) = 0 (berarti f(c) adalah nilai stasioner), maka 

1. Jika f''(c) < 0, maka f(c) adalah nilai balik maksimum fungsi f,
2. Jika f''(c) > 0, maka f(c) adalah nilai balik minimum fungsi f,
3. Jika f''(c) = 0, maka belum dapat disimpulkan, berarti f mungkin mencapai nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam kasus f''(c) = 0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turunan pertama.

Contoh Soal 1: Strategi Turunan Pertama untuk Menentukan Jenis Ekstrim

Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukanlah jenis dan nilai ektrim dari setiap fungsi berikut.

a. f(x) = 6 + 4x – 2x²

b. $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$  

Jawab:

a. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 6 + 4x - 2x^2$ adalah $f'(x) = 4-4x$. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka 

4 - 4x = 0 → x = 1

Nilai stasionernya adalah

$f(1) = 6 + 4(1) - 2(1)^2 = 8$

Uji turunan pertama pada titik-titik di sekitar x = 1 diperlihatkan pada diagram berikut ini.

Berdasarkan diagram di atas, dapat disimpulkan bahwa jenis ekstrim fungsi $f(x) = 6 + 4x - 2x^2$adalah maksimum dan nilai balik maksimum $f_{maks} = 8$ yang dicapai pada x = 1.

b. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$ adalah $f'(x) = x^2 - 2x -3$. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

$x^2 - 2x -3 = 0$

(x + 1)(x - 3) = 0

x = -1 atau x = 3

Nilai-nilai stasioner adalah

⇒ untuk x = -1 diperoleh

$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 6 = -3$

Pemeriksaan uji turunan pertama di sekitar titik-titik x = -1 dan x = 3 diperlihatkan pada diagram ini.

Berdasarkan diagram di atas dapat disimpulkan bahwa jenis ekstrim fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$ adalah

• jenis ekstrim maksimum dan nilai balik maksimum $f_{maks}=7 \frac{2}{3}$ yang dicapai pada x = -1.
• jenis ekstrim minimum dan nilai balik minimum $f_{min}=-3$ yang dicapai pada x = 3.

Contoh Soal 2: Strategi Turunan Kedua untuk Menentukan Jenis Ekstrim

Carilah nilai stasioner dan jenisnya untuk setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = 12 – x – x²

b. $f(x) = x^3 + x^2 - 4x + 8$  

Jawab:

a. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 12 - x - x^2$ adalah $f'(x) = -1-2x$ dan f''(x) = -2. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f''(x) = -2.

Titik stasioner fungsi f tercapai jika f'(x) = 0, maka

-1 - 2x = 0 → $x = -\frac{1}{2}$

Nilai stasionernya 

$f(-\frac{1}{2}) = 12 - (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2})^2 = 12 \frac{1}{4}$

Untuk $x = -\frac{1}{2}$ diperoleh $f''(-\frac{1}{2})=-2 < 0$, maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik maksimum di $x = -\frac{1}{2}$.

Jadi, fungsi $f(x) = 12 - x - x^2$ mempunyai nilai stasioner $f(-\frac{1}{2})=12 \frac{1}{2}$ dan jenisnya merupakan nilai balik maksimum.

a. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = x^3 + x^2 - 4x + 8$ adalah $f'(x) = 3x^2+4x - 4$ dan f''(x) = 6x + 4. 

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

$3x^2+4x - 4=0$

$(3x-2)(x + 2)=0$

$x = \frac{2}{3}$ atau x = -2

untuk $x = \frac{2}{3}$, nilai stasionernya

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 + 2(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 8=\frac{176}{27}$

Untuk x = -2, nilai stasionernya

$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) + 8=16$

untuk $x = \frac{2}{3}$ diperoleh

$f''(\frac{2}{3}) = 6(\frac{2}{3}) + 4 = 8 > 0$

maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik minimum di $x = \frac{2}{3}$

untuk x = -2 diperoleh

$f''(-2) = 6(-2) + 4 = -8 < 0$

maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik maksimum di x = -2.

Jadi, fungsi $f(x) = x^3 + x^2 - 4x + 8$ mempunyai nilai stasioner $f(\frac{2}{3})= \frac{176}{27}$ dan jenisnya merupakan nilai balik minimum, dan nilai stasioner f(-2) = 16 dan jenisnya merupakan nilai balik maksimum.