Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Pembahasan Soal
Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = c, dengan f'(c) = 0, maka titik c dinamakan titik stasioner dari fungsi f, sedangkan f(c) dinamakan nilai stasioner dari fungsi f di x = c.
Nama titik stasioner diturunkan dari fakta bahwa pada titik ini, grafik fungsi f mendatar, karena garis isnggung mendatar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-titik stasioner.
Berdasarkan teorema di atas, kita dapat menyimak bahwa nilai x yang mengakibatkan f'(c) = 0 yang terletak pada kurva fungsi f kita namakan koordinat titik stasioner. Titik stasioner termasuk dalam kelompok titik kritis, yaitu titik di mana nilai ekstrim akan tercapai.
Contoh Soal 1
Carilah titik stasioner, nilai stasioner dan koordinat titik stasioner dari setiap fungsi berikut ini.
a. f(x) = 2x2 –
8x + 6
b. f(x) = 6 – x – x2
c. f(x) = x3 –
8
d. f(x) = (2 – x)3
Jawab:
a. Dari f(x) = 2x2 – 8x + 6 diperoleh f'(x) = 4x - 8.
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
4x - 8 = 0 → x = 2
Untuk x = 2, maka diperoleh nilai stasioner f(2) = 2(2)2 – 8(2) + 6 = -2.
Jadi, fungsi f(x) = 2x2 – 8x + 6 mempunyai titik stasioner x = 2, nilai stasioner f(2) = 2, dan koordinat titik stasioner (2, -2).
b. Dari f(x) = 6 – x – x2 diperoleh f'(x) = -1 - 2x.
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
-1 - 2x = 0
x = $-\frac{1}{2}$
untuk x = $-\frac{1}{2}$, maka diperoleh nilai stasioner
f($-\frac{1}{2}$) = 6 - ($-\frac{1}{2}$) - ($-\frac{1}{2}$)2 = 6$\frac{1}{4}$
Jadi, fungsi f(x) = 6 – x – x2 mempunyai titik stasioner x = $-\frac{1}{2}$, nilai stasioner f($-\frac{1}{2}$) = 6$\frac{1}{4}$, dan koordinat titik stasioner ($-\frac{1}{2}$, 6$\frac{1}{4}$)
c. Dari f(x) = x3 – 8 diperoleh f'(x) = 3x2. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
3x2 = 0 → x = 0
Untuk x = 0, maka diperoleh nilai stasioner f(0) = 03 – 8 = –8
Jadi, fungsi f(x) = x3 – 8 mempunyai titik stasioner x = 0, nilai stasioner f(0) = –8, dan koordinat titik stasioner (0, –8)
d. Dari f(x) = (2 - x)3 diperoleh f'(x) = –3(2 – x)2.
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(0) = 0, maka
–3(2 – x)2 = 0
x = 2
Untuk x = 2, maka diperoleh nilai stasioner f(2) = (2 – 2)2 = 0.
Jadi, fungsi f(x) = (2 – x)3 mempunyai titik stasioner x = 2, nilai stasioner f(2) = 0, dan koordinat titik stasioner (2, 0).
Contoh Soal 2
Carilah koordinat titik stasioner dari setiap fungsi berikut ini.
a. f(x) = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4; (x ∊ R)
b. f(x) = x2 $-\frac{54}{x}$; (x ∊ R)
c. f(x) = $-\frac{1}{2}$x - sin x; (0 < x < 2𝜋)
Jawab:
a. Dari f(x) = x4 - 2x3 - 3x2 - 4x + 4 diperoleh f'(x) = 4x3 + 6x2 - 6x - 4.
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
4x3 + 6x2 - 6x - 4 = 0
2x3 + 3x2 - 3x - 2 = 0
(x - 1)(2x2 + 5x + 2) = 0
(x - 1)(2x + 1)(x + 2) 0
x = 1, x = $-\frac{1}{2}$, atau x = -2
untuk x = 1
⇒ nilai stasioner
f(1) = (1)4 - 2(1)3 - 3(1)2 - 4(1) + 4 = 0
untuk x = $-\frac{1}{2}$
⇒ nilai stasioner
f($-\frac{1}{2}$) = ($-\frac{1}{2}$)4 - 2($-\frac{1}{2}$)3 - 3($-\frac{1}{2}$)2 - 4($-\frac{1}{2}$) + 4 = 4$\frac{1}{16}$
untuk x = -2
⇒ nilai stasioner
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)3 - 3(-2)2 - 4(-2) + 4 = 0
Jadi, fungsi f(x) = x4 - 2x3 - 3x2 - 4x + 4 mempunyai koordinat titik stasioner yaitu:
(1, 0), ($-\frac{1}{2}$, 4$\frac{1}{16}$), dan (-2, 0).
b. Dari f(x) = x2 $-\frac{54}{x}$ diperoleh f'(x) = 2x $-\frac{54}{x^2}$
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
2x $-\frac{54}{x^2}$ = 0
$\frac{2x^3 - 54}{x^2}$ = 0
$2x^3 - 54 = 0$
$x^3 = 27$ → x = 3
Untuk x = 3
⇒ nilai stasioner
f(3) = (3)2 + $\frac{54}{3}$ = 27
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 + \frac{54}{x}$ mempunyai koordinat titik stasioner (3, 27).
c. Dari $f(x) = \frac{1}{2}x - sinx$ diperoleh $f'(x) = \frac{1}{2} - cosx$
Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
$\frac{1}{2} - cos x = 0$
cos x = $\frac{1}{2}$
x = $\frac{\pi}{3} + 2k \pi$ atau x = $-\frac{\pi}{3} + 2k \pi$
k = 0 ⇒ x = $\frac{\pi}{3}$
k = 1 ⇒ x = $\frac{5 \pi}{3}$
untuk $x = \frac{\pi}{3}$ ⇒ nilai stasioner
$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3})-sin \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2} \sqrt{3}$.
Untuk $x = \frac{5 \pi}{3}$ ⇒ nilai stasioner
$f(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{5\pi}{3})-sin \frac{5\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2} \sqrt{3}$.
Jadi, fungsi $f(x) = \frac{1}{2}x - sinx$, (0 < x < sin 2$\pi$) mempunyai koordinat-koordinat titik stasioner $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$ dan $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{6} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$
Post a Comment for "Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Pembahasan Soal"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!