Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Pembahasan Soal

Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = c, dengan f'(c) = 0, maka titik c dinamakan titik stasioner dari fungsi f, sedangkan f(c) dinamakan nilai stasioner dari fungsi f di x = c.

Nama titik stasioner diturunkan dari fakta bahwa pada titik ini, grafik fungsi f mendatar, karena garis isnggung mendatar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-titik stasioner.

Berdasarkan teorema di atas, kita dapat menyimak bahwa nilai x yang mengakibatkan f'(c) = 0 yang terletak pada kurva fungsi f kita namakan koordinat titik stasioner. Titik stasioner termasuk dalam kelompok titik kritis, yaitu titik di mana nilai ekstrim akan tercapai.

Contoh Soal 1

Carilah titik stasioner, nilai stasioner dan koordinat titik stasioner dari setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = 2x² – 8x + 6

b. f(x) = 6 – x – x²

c. f(x) = x³ – 8

d. f(x) = (2 – x)³

Jawab:

a. Dari f(x) = 2x² – 8x + 6 diperoleh f'(x) = 4x - 8.

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

4x - 8 = 0 → x = 2

Untuk x = 2, maka diperoleh nilai stasioner f(2) = 2(2)² – 8(2) + 6 = -2.

Jadi, fungsi f(x) = 2x² – 8x + 6 mempunyai titik stasioner x = 2, nilai stasioner f(2) = 2, dan koordinat titik stasioner (2, -2).

b. Dari f(x) = 6 – x – x² diperoleh f'(x) = -1 - 2x.

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

-1 - 2x = 0

x = $-\frac{1}{2}$

untuk x = $-\frac{1}{2}$, maka diperoleh nilai stasioner

f($-\frac{1}{2}$) = 6 - ($-\frac{1}{2}$) - ($-\frac{1}{2}$)² = 6$\frac{1}{4}$

Jadi, fungsi f(x) = 6 – x – x²  mempunyai titik stasioner x = $-\frac{1}{2}$, nilai stasioner f($-\frac{1}{2}$) = 6$\frac{1}{4}$, dan koordinat titik stasioner ($-\frac{1}{2}$, 6$\frac{1}{4}$)

c. Dari f(x) =  x³ – 8 diperoleh f'(x) = 3x². Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

3x² = 0 → x = 0

Untuk x = 0, maka diperoleh nilai stasioner f(0) = 0³ – 8 = –8

Jadi, fungsi f(x) =  x³ – 8 mempunyai titik stasioner x = 0, nilai stasioner f(0) = –8, dan koordinat titik stasioner (0, –8)

d. Dari f(x) = (2 - x)³  diperoleh f'(x) = –3(2 – x)².

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(0) = 0, maka

–3(2 – x)² = 0

x = 2

Untuk x = 2, maka diperoleh nilai stasioner f(2) = (2 – 2)² = 0.

Jadi, fungsi f(x) = (2 – x)³ mempunyai titik stasioner x = 2, nilai stasioner f(2) = 0, dan koordinat titik stasioner (2, 0).

Contoh Soal 2

Carilah koordinat titik stasioner dari setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = x⁴ + 2x³ - 3x² - 4x + 4; (x ∊ R) 

b. f(x) = x² $-\frac{54}{x}$; (x ∊ R)

c. f(x) = $-\frac{1}{2}$x - sin x; (0 < x < 2𝜋)

Jawab:

a. Dari f(x) = x⁴ - 2x³ - 3x² - 4x + 4 diperoleh f'(x) = 4x³ + 6x² - 6x - 4. 

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

 4x³ + 6x² - 6x - 4 = 0

2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

(x - 1)(2x² + 5x + 2) = 0

(x - 1)(2x + 1)(x + 2) 0

x = 1, x = $-\frac{1}{2}$, atau x = -2

untuk x = 1

⇒ nilai stasioner

f(1) = (1)⁴ - 2(1)³ - 3(1)² - 4(1) + 4 = 0

untuk x = $-\frac{1}{2}$

⇒ nilai stasioner

f($-\frac{1}{2}$) = ($-\frac{1}{2}$)⁴ - 2($-\frac{1}{2}$)³ - 3($-\frac{1}{2}$)² - 4($-\frac{1}{2}$) + 4 = 4$\frac{1}{16}$

untuk x = -2

⇒ nilai stasioner

f(-2) = (-2)⁴ - 2(-2)³ - 3(-2)² - 4(-2) + 4 = 0

Jadi, fungsi f(x) = x⁴ - 2x³ - 3x² - 4x + 4 mempunyai koordinat titik stasioner yaitu:

(1, 0), ($-\frac{1}{2}$, 4$\frac{1}{16}$), dan (-2, 0).

b. Dari f(x) = x² $-\frac{54}{x}$ diperoleh f'(x) = 2x $-\frac{54}{x^2}$

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

2x $-\frac{54}{x^2}$ = 0

$\frac{2x^3 - 54}{x^2}$ = 0

$2x^3 - 54 = 0$

$x^3 = 27$ → x = 3

Untuk x = 3

⇒ nilai stasioner

f(3) = (3)²  + $\frac{54}{3}$ = 27

Jadi, fungsi $f(x) = x^2 + \frac{54}{x}$ mempunyai koordinat titik stasioner (3, 27).

c. Dari $f(x) = \frac{1}{2}x - sinx$ diperoleh $f'(x) = \frac{1}{2} - cosx$

Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

$\frac{1}{2} - cos x = 0$

cos x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{\pi}{3} + 2k \pi$ atau x = $-\frac{\pi}{3} + 2k \pi$

 k = 0 ⇒ x = $\frac{\pi}{3}$

k = 1 ⇒ x = $\frac{5 \pi}{3}$

untuk $x = \frac{\pi}{3}$ ⇒ nilai stasioner

$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3})-sin \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2} \sqrt{3}$.

Untuk $x = \frac{5 \pi}{3}$ ⇒ nilai stasioner

$f(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{5\pi}{3})-sin \frac{5\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2} \sqrt{3}$.

Jadi, fungsi $f(x) = \frac{1}{2}x - sinx$, (0 < x < sin 2$\pi$) mempunyai koordinat-koordinat titik stasioner $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$ dan $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{6} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$