Turunan Pertama dan Kemonotonan Fungsi dan Pembahasan Soal

Definisi:

Misalkan fungsi f didefinisikan pada interval I.

1. Fungsi f dikatakan naik pada I jika dan hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁, x₂ ∊ I dengan x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) < f(x₂).
2. Fungsi f dikatakan turun pada I jika dan hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁, x₂ ∊ I dengan x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) > f(x₂).
3. Fungsi f dikatakan tidak turun pada I jika dan hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁, x₂ ∊ I dengan x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) ≤ f(x₂).
4. Fungsi f dikatakan tidak naik pada I jika dan hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁, x₂ ∊ I dengan x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) ≥ f(x₂).

Fungsi f dikatakan monoton jika salah satu dari keempat sifat di atas dipenuhi. Misalkan, kita katakan untuk butir 1 dan 2 adalah monoton dan monoton turun.

Pemeriksaan sifat monoton suatu fungsi dengan menggunakan definisi yang telah kita pelajari tampaknya tidak sederhana. Jalan keluar dari masalah ini adalah menggunakan konsep turunan pertama.

Turunan pertama fungsi y = f(x) adalah f'(x) yang menunjukkan kemiringan (gradien, koefisien arah, atau tanjakan) dari garis singgung pada grafik fungsi f di titik x. Kemudian jika garis singgung turun ke kanan. Mudah kita pahami bahwa f(x) merupakan fungsi naik jika f'(x) > 0 dan f(x) merupakan fungsi turun jika f'(x) < 0.

Keterkaitan antara turunan pertama suatu fungsi dengan monoton fungsi itu memudahkan kita dalam penentuan pada daerah mana saja suatu fungsi bersifat monoton.

Teorema Kemonotonan:

Misalkan fungsi f kontinu pada interval I dan diferensiabel (dapat dideferensialkan) pada setiap titik pada interval I.

1. Jika f'(x) > 0 untuk setiap x ∊ I, maka fungsi f(x) merupakan fungsi naik pada I.
2. Jika f'(x) < 0 untuk setiap x ∊ I, maka fungsi f(x) merupakan fungsi turun pada I.
3. Jika f'(x) ≥ 0 untuk setiap x ∊ I, maka fungsi f(x) merupakan fungsi tidak turun pada I.
4. Jika f'(x) ≤ 0 untuk setiap x ∊ I, maka fungsi f(x) merupakan fungsi tidak naik pada I.

Contoh Soal 1

Diberikan fungsi kuadrat y = f(x) = 8 – 2x – x². Carilah pada selang apa saja fungsi f merupakan fungsi naik dan f merupakan fungsi turun kemudian gambarkanlah kurva fungsi f.

Jawab:

Dari  f(x) = 8 – 2x – x² diperoleh f'(x) = -2 - 2x.

Agar f(x) merupakan fungsi naik, haruslah f'(x) > 0, maka

-2 - 2x > 0

x < -1

Jadi, fungsi y = f(x) naik pada interval x < -1.

Agar f(x) merupakan fungsi turun, haruslah f'(x) < 0, maka

-2 - 2x < 0

x > - 1

Jadi, fungsi y = f(x) turun pada interval x > -1.

f(x) =  f(x) = 8 – 2x – x² merupakan fungsi naik untuk x < -1 dan fungsi turun x > -1.

Contoh Soal 2

Sebuah fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4.

a. Carilah f'(x), kemudian gambarlah tanda-tanda dari f'(x).

b. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) naik dan dalam interval mana fungsi f(x) turun.

Jawab:

dari f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4 didapat

f'(x) = 3x² + 18x + 15

f'(x) = 3(x² + 6x + 5)

f'(x) = 3(x + 5)(x + 1)

b. Agar fungsi f(x) naik, syaratnya adalah f'(x) > 0, maka:

3x² + 18x + 15 > 0

x < - 5 atau x > -1 (lihat tanda-tanda f'(x))

Agar fungsi f(x) turun, syaratnya f'(x) < 0, maka

3x² + 18x + 15 < 0

-5 < x < -1 (lihat tanda-tanda f'(x))

Jadi, fungsi  f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4 naik pada interval x < -5 atau x>-1 dan turun pada interval -5 < x < -1.

Contoh Soal 3

Diberikan fungsi $f(x)=x \sqrt{9 - x}$, dengan daerah asal D_f = {x | x ≤ 9, x ∊ R}. Carilah interval x agar fungsi f(x) turun.

Jawab:

Turunan pertama dari fungsi $f(x)=x \sqrt{9 - x}$ adalah

$f'(x)=\sqrt{9 - x}+x \frac{-1}{2 \sqrt{9-x}}  = \frac{18-3x}{2 \sqrt{9-x}}$

Fungsi f(x) turun jika f'(x) < 0, maka

 

$\frac{18-3x}{2 \sqrt{9-x}}<0$

Bentuk pecahan itu dipenuhi oleh:

18 - 3x < 0 ⇔ x > 6     . . . (1)

9 - x > 0 ⇔ x < 9         . . . (2)

Irisan dari (1) dan (2) adalah 6 < x < 9.

Jadi, interval x agar fungsi f(x) turun adalah 6 < x < 9.

Contoh 4

Diberikan fungsi $f(x)=\frac{x^2 -x +1}{x^2 + x +1}$, dengan daerah asal D_f = {x | x ∊ R}. Carilah dalam interval mana fungsi f(x) naik dan dalam interval mana fungsi f(x) turun.

Jawab:

Cara I:

Turunan pertama dari fungsi

$f(x)=\frac{x^2 -x +1}{x^2 + x +1}$ adalah

$f'(x)=\frac{(2x-1)(x^2 + x + 1)-(x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2 -2}{(x^2 + x +1)^2}$

$f'(x)=\frac{2(x+1)(x-1)}{(x^2 + x +1)^2}$

Jadi, f'(x) = 0, jika dan hanya jika x = -1 atau x = 1. Tanda f'(x) disajikan pada tabel berikut ini.

Interval	Tanda dari			Sifat f(x)
	(x + 1)	(x – 1)	f’(x)
–∞ < x < –1	–	–	+	Naik
–1 < x < 1	+	–	–	Turun
1 < x < ∞	+	+	+	Naik

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa f(x) merupakan fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1 dan f(x) merupakan fungsi turun pada interval -1 < x < 1.

Cara II:

Turunan pertama dari fungsi

$f(x)=\frac{x^2 -x +1}{x^2 + x +1}$ adalah

$f'(x)=\frac{(2x-1)(x^2 + x + 1)-(x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2 -2}{(x^2 + x +1)^2}$

$f'(x)=\frac{2(x+1)(x-1)}{(x^2 + x +1)^2}$

Syarat fungsi f(x) naik adalah f'(x) > 0, maka

$\frac{2(x+1)(x-1)}{(x^2 + x +1)^2}>0$

karena penyebut selalu positif untuk setiap x ∊ R, maka

2x² - 2 > 0

(2x + 1)(x - 1) > 0

x < -1 atau x > 1

Jadi, fungsi $f(x)=\frac{x^2 -x +1}{x^2 + x +1}$ merupakan fungsi naik untuk nilai-nilai x pada interval x < -1 atau x > 1.

syarat fungsi f(x) turun adalah f'(x) < 0, maka 

$\frac{2(x+1)(x-1)}{(x^2 + x +1)^2}<0$

Karena penyebut selalu positif untuk setiap x ∊ R, maka

2x² - 2 < 0

(2x + 1)(x - 1) < 0

-1 < x < 1

Jadi, fungsi $f(x)=\frac{x^2 -x +1}{x^2 + x +1}$ merupakan fungsi turun untuk nilai x pada interval -1 < x < 1