Persamaan Garis Singgung Kurva dan Pembahasan Soal

Tafsiran Geometri dari Turunan Pertama di Satu Titik

Misalkan fungsi y = f(x) merupakan fungsi kontinu, A adalah titik tetap yang terletak pada kurva y = f(x) dan B adalah titik yang bergerak sepanjang kurva y = f(x). Garis g' adalah garis yang melalui titik-titik A(c, f(c)) dan B(c + h), f(c + h) yang dinamakan tali busur.

Andaikan titik B bergerak menuju atau mendekati titik A sepanjang kurva y = f(x), maka tali busur AB atau garis g' akan menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik A, yaitu garis singgung g. Dengan demikian, garis singgung g menunjukkan proses limit dari tali busur AB saat titik B bergerak menuju atau mendekati titik A.

Perhatikan gambar, gradien (koefisien arah, tanjakan atau kemiringan) dari tali busur AB atau garis g' ditentukan oleh rumus:

$m_{AB}=m_{g'}=tan \alpha= \frac{BC}{AC}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Andaikan titik B mendekati titik A, maka nilai h atau 𝜟x mendekati nol, ditulis h → 0 atau 𝜟x → 0. Akibatnya gradien tali busur AB ($=m_{AB}$) atau gradien garis g'(=$m_{g'}$) mendekati gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik A, yaitu gradien garis singgung g di titik A yang nilainya adalah m. Dengan demikian,

$m=\lim\limits_{h\rightarrow 0}m_{AB}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $

Bentuk $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=f'(c)$ menyatakan turunan fungsi f(x) di titik x = c, yang dalam notasi Leibniz dinyatakan sebagai $\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=c'}$. Jadi, gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik A(c, f(c)) dirumuskan sebagai:

$m=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=f'(c)=\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=c}=\frac{dy}{dx}|_{x=c}$

Berdasarkan uraian tersebut, kita dapat mengemukakan tafsiran geometris turunan fungsi y = f(x) di titik x = c sebagai berikut.

Definisi:

Diberikan y = f(x) yang merupakan fungsi kontinu. Jika $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $ ada, maka f'(c) ada, dan kita katakan bahwa fungsi f terdiferensialkan di c (mempunyai turunan/dapat diturunkan/diferensialkan di c). Tafsiran geometri dari turunan fungsi f di titik x = c, ditulis f'(c) adalah gradien garis singgung pada grafik fungsi f di titik (c, f(c)), sedangkan arti fisisnya adalah laju perubahan nilai fungsi f terhadap variabel x di titik x = c.

Persamaan Garis Singgung & Garis Normal

Definisi:

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada interval terbuka I yang memuat c dan turunan pertama f' kontinu pada I. Persamaan garis singgung pada fungsi f di c didefinisikan sebagai garis yang melalui titik (c, f(c)) dengan gradien $m_{gs}=f'(c) $ yang dirumuskan:

$y - f(c) = m_{gs}(x-c) $

Sedangkan persamaan garis normal pada grafik fungsi f di c didefinisikan sebagai garis yang melalui (c, f(c)) dan tegak turus pada garis singgungnya atau mempunyai gradien $m_{gn}=-\frac{1}{f(c)}=\frac{1}{m_{gs}}$, yang dirumuskan:

$y - f(c)= m_{gn}(x-c)$ atau $y - f(c)=-\frac{1}{m_{gs}}(x-c)$

Catatan:

Dalam nentukan suatu persamaan garis, kita kerapkali dihadapkan pada kaitan antar dua garis sebagai berikut.

diberikan garis g: $y = m_{1}x+n_{1}$ dan h: $y = m_{2}x+n_{2}$

1. Garis g dan h dikatakan sejajar, ditulis g // h, jika $m_{1} = m_{2}$ dan $n_{1}\neq n_{2}$ 
2. Garis g dan h dikatakan berhimpit, ditulis g ≡ h, jika $m_{1} = m_{2}$ dan $n_{1}= n_{2}$ 
3. Garis g dan h dikatakan berpotongan, jika $m_{1}\neq m_{2}$ 
4. Garis g dan h dikatakan berpotongan tegak lurus, jika $m_{1} \times m_{2}=-1$

Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal pada Situasi Khusus

Definisi:

Misalkan fungsi f terdiferensial pada interval terbuka I yang memuat c, kecuali di c sendiri dan fungsi f' kontinu pada I - (c), dengan

$f'(c)=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\pm \infty $

Garis singgung pada kurva f di c didefinisikan sebagai garis x = c dan garis normalnya adalah garis y = f(c).

Contoh Soal 1

Carilah persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x² – x – 2 di titik-titik potong kurva dengan sumbu X, kemudian sketsakan kurva-kurva itu.

Jawab:

y = 0 → x² – x – 2 = 0

(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 atau x = 2

Koordinat titik potong kurva y = x² – x – 2 dengan sumbu X adalah (-1, 0) dan (2, 0).

y = x² – x – 2 → $\frac{dy}{dx}$ = 2x - 1

(-1,0) → $m_{gs}$ = $\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=-1}$ = 2(-1) - 1 = -3

$m_{gn}$ = $-\frac{1}{m_{gs}}$ = $-\frac{1}{-3}$ = $\frac{1}{3}$

Persamaan garis singgung:

y - 0 = -3(x + 1)

y = -3x - 3

3x + y + 3 = 0

Persamaan garis normal

y - 0 = $\frac{1}{3}$(x + 1)

y = $\frac{1}{3}$x + $\frac{1}{3}$

x - 3y + 1 = 0

(2, 0) → $m_{gs}$ = $\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=2}$  

$m_{gs}$ = 2(2) - 1

$m_{gs}$ = 3

$m_{gn}$ = $-\frac{1}{m_gs}$ = $-\frac{1}{3}$

Persamaan garis singgung:

y - 0 = 3(x - 2)

y = 3x - 6

3x - y - 6 = 0

Persamaan garis normal:

y - 0 = $-\frac{1}{3}$(x - 2)

y = $-\frac{1}{3}$x + $\frac{2}{3}$

x + 3y - 2 = 0

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² yang 

a. melalui titik (1, 2)

b. melalui titik (0, 3)

c. sejajar pada garis y = –x + 3,

d. tegak lurus pada garis y = 3x + 10

Jawab:

a. titik (1, 2) terletak pada fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² karena 2 = 2 + 1 - 1² merupakan pernyataan yang benar.

y = 2 + x – x²  ⇒ $\frac{dy}{dx}$ = 1 - 2x

(1, 2) ⇒ $m_{gs}$ = $\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=-1}$ = 1 - 2(1) = -1

Persamaan garis singgung:

y - 2 = -1(x - 1)

y = -x + 3

x + y - 3 = 0

b. Cara I: 

Titik (0, 3) tidak terletak pada fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² karena 3 = 2 + 0 - 0² merupakan pernyataan yang salah.

Misalkan titik singgungnya adalah (c, f(c)), yaitu (c, 2 + c - c²). Karena turunan fungsi f adalah f'(c) = 1 - 2x kontinu pada R, maka gradien garis singgung pada fumgsi f di titik x = c adalah f'(c) = 1 - 2c. Persamaan garis singgung g dengan gradien (1 - 2c) dan melalui titik (0, 3) dapat ditulis sebagai:

g: y - 3 = (1 - 2c)(x - 0)

Karena garis g juga melalui titik (c, 2 + c - c²), maka:

2 + c - c² - 3 = (1 - 2c)(c) 

c - c² - 1 = c - 2c²

c² - 1 = 0

(c + 1)(c - 1) = 0

c = -1 atau c = 1

c = -1 ⇒ y - 3 = 1(1 - 2.1)x

y - 3 = 3x

y = 3x + 3

c = 1 ⇒ y - 3 = 1(1 - 2.1)x

y - 3 = -x

y = -x + 3

Jadi, persmaan garis singgungnya adalah y = 3x + 3 dan y = -x + 3.

Cara II:

Titik (0, 3) tidak terletak pada fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² karena 3 = 2 + 0 - 0² merupakan pernyataan yang salah.

Misalkan persamaan garis singgungnya adalah y = mx + n. Garis ini melalui titik (0, 3):

(0, 3) ⇒ y = mx + n

3 = m(0) + n ⇒ n = 3

Persamaan garis singgung itu menjadi y = mx + 3.

y = mx + 3 ⇒ y = 2 + x – x²

mx + 3 = 2 + x – x²

x² + (m - 1)x + 1 = 0

syarat garis y = mx + 3 menyinggung kurva fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x²  adalah D = b²  – 4ac = 0, maka

(m - 1)² – 4.1.1 = 0

(m - 1 + 2)(m - 1 - 2) = 0

(m + 1)(m - 3) = 0

m = -1 atau m = 3

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -x + 3 dan y = 3x + 3.

c. Misalkan titik singgung fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² adalah (c, f(c)).

Karena garis singgungnya di c pada fungsi f(x) sejajar dengan garis y = -x + 3, maka gradien garis singgungnya $m_{gs}$ = -1. Turunan dari fungsi kuadrat f(x) = 2 + x – x² adalah f'(x) = 1 - 2x.

Nilai c dapat ditentukan dengan syarat $m_{gs}$ = f'(c) = -1, maka

f'(c) = -1 

⇒ 1 - 2c = -1 ⇒ c = 1

c = 1 → f(c) = 2 + c – c² 

f(c) = f(1) = 2 + 1 – 1² = 2

Koordinat garis singgungnya adalah (1, 2).

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - 2 = -1(x - 1)

y - 2 = -x + 1

y = -x + 3

d. Misalkan titik singgung pada grafik f adalah (c, f(c)). Karena garis singgungnya tegak lurus pada garis y = 3x + 10, maka gradiennya adalah $m_{gs}$ = $-\frac{1}{3}$. Turunan dari fungsi f adalah f'(x) = 1 - 2x.

Nilai c dapat ditentukan dengan syarat $m_{gs}$ = f'(c) = $-\frac{1}{3}$, maka

1 - 2c = $-\frac{1}{3}$ ⇒ c = $\frac{2}{3}$

c = $\frac{2}{3}$ → f(c) = 2 + c – c² 

f(c) = f($\frac{2}{3}$)

f(c) = 2 + $\frac{2}{3}$ - $(\frac{2}{3})^2$ = $\frac{20}{9}$

Koordinat titik singgungnya ($\frac{2}{3}$, $\frac{20}{9}$)