Teorema Turunan Fungsi Trigonometri dengan Aturan Rantai Bersusun

Teorema Aturan Rantai Bersusun:

Misalkan y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) membentuk fungsi komposisi y = (f o g o h)(x) = f(g(h(x))). Apabila h memiliki turunan di x, g memiliki turunan di v = h(x), dan f memiliki turunan di u = g(h(x)), maka y = (f o g o h)(x) = f(g(h(x))) memiliki turunan di x yang dirumuskan sebagai berikut

$(f\circ g\circ h)'(x)=f'(g(h(x)))\times g'(h(x))\times h'(x)$

yaitu

$(f\circ g\circ h)'(x)=f'(g(h(x)))\times g'(h(x))\times h'(x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}$

Turunan Fungsi Trigonometri

1. Jika y = a sinⁿ u 

     → y' = an sin^n-1 u. cos u . u'

2. Jika y = a cosⁿ u → y' = an sin^n-1 u. (-sin u) . u'

    → y' = -an sin^n-1 u. sin u . u'

3. Jika y = a tanⁿ u 

    → y' = an tan^n-1 u. secⁿ u . u'

4. Jika y = a cotⁿ u → y' = an cot^n-1 u. (-cscⁿ u) . u'

    → y' = -an cot^n-1 u. cscⁿ u . u'

5. Jika y = a secⁿ u 

    → y' = an sec^n-1 u. sec u. tan u . u'

6. Jika y = a cscⁿ u → y' = an csc^n-1 u. (-csc u. cot u) . u'

    → y' = -an csc^n-1 u. csc u. cot u . u'

Untuk memudahkan, Anda dapat menggunakan ilustrasi berikut ini.

Contoh Soal 

a. $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$   b. $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x  \right )$

c. $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}}$ d. $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$

Jawab:

a. $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$  

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$  

fungsi $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6) = \frac{1}{4}u^2$, dengan u = sin v dan $v=x^2 + 6$

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u=\frac{1}{2}sinv=\frac{1}{2}sin(x^2 + 6)$

$\frac{du}{dv}=cosv = cos (x^2 + 6)$

$\frac{dv}{dx}=2x$

$y'=\frac{1}{2}sin(x^2 + 6)\times cos (x^2 + 6)\times (2x)$

$y'=x sin(x^2 + 6) cos (x^2 + 6)$

$y'=\frac{1}{2}xsin2(x^2 + 6)$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=asin^n u \Rightarrow y'=ansin^{n-1}u. cos u.u'$

fungsi $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$, dengan u =$x^2 + 6$, maka

u' =2x, sehingga

$y'=\frac{1}{4}.2sin(x^2+6).cos(x^2+6).(2x)$

$y'=\frac{1}{2}xsin2(x^2 + 6)$

b. $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x  \right )$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$  

fungsi $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x  \right ) = 4u^2$, dengan u = csc v dan $v=\frac{1}{2}x$

$\frac{dy}{du}=8u=8cscv=8csc \frac{1}{2}x$

$\frac{du}{dv}=-cscv.cotv = - csc \frac{1}{2}x.cot \frac{1}{2}x$

$\frac{dv}{dx}= \frac{1}{2}$

$y'=8csc\frac{1}{2}x \times (-csc\frac{1}{2}xcot\frac{1}{2}x).(\frac{1}{2})$

$y'=-4csc^2\left ( \frac{1}{2}x \right )cot\left (\frac{1}{2}x  \right )$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=acsc^n u \Rightarrow y'=ancsc^{n-1}u. (-cscu.cot u) .u'$

fungsi $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x  \right )$, dengan u =$\frac{1}{2}x$, maka

u' =$\frac{1}{2}$, sehingga

$y'=4.2csc\frac{1}{2}x.(-csc\frac{1}{2}x.cot\frac{1}{2}x).\frac{1}{2}$

$y'=-4csc^2\left ( \frac{1}{2}x \right )cot\left (\frac{1}{2}x  \right )$

c. $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$  

fungsi $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}} = tan^{-2} \sqrt{1-x^2}=u^{-1}$, dengan u = tan v dan $v=\sqrt{1-x^2}$

$\frac{dy}{du}=-2u^{-3}=\frac{-2}{u^3}=\frac{-2}{tan^{3} \sqrt{1-x^2}}$

$\frac{du}{dv}=sec^2 v = sec^2 \sqrt{1-x^2}$

$\frac{dv}{dx}= \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \times (-2x)=\frac {-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y'=\frac{-2}{tan^{3} \sqrt{1-x^2}} \times sec^2 \sqrt{1-x^2} \times \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y'= \frac{2xsec^2 \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}tan^3 \sqrt{1-x^2}}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=atan^n u \Rightarrow y'=antan^{n-1}u. sec^2 u .u'$

fungsi $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}} = tan^{-2} \sqrt{1-x^2}$, 

dengan u =$\sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}}$, 

maka $u'=\frac{1}{2} \times (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \times (-2x)$, 

$u'=\frac {-x}{\sqrt{1-x^2}}$ sehingga

$y'=-2tan^{-3} \sqrt{1-x^2} \times sec^2 \sqrt{1-x^2} \times \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)$

$y'= \frac{2xsec^2 \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}tan^3 \sqrt{1-x^2}}$

d. $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$  

fungsi $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )=u^4$, dengan u = cos v dan $v=\frac{x+1}{x-1}$

$\frac{dy}{du}=4u^3=4cos^3 v=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right)$

$\frac{du}{dv}=-sinv = - sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right)$

$\frac{dv}{dx}= \frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$

$y'=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \times \left[-sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \right] \times \left (\frac{-2}{(x-1)^2} \right)$

$y'=\frac{8}{(x-1)^2}cos^3 \left(\frac{x+1}{x-1} \right) sin \left(\frac{x+1}{x-1} \right)$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=a cos^n u \Rightarrow y'=ancos^{n-1}u. (-sin u) .u'$

fungsi $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$, dengan $u=\left (\frac{x+1}{x-1} \right)$, maka

$u'= \frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$, sehingga

$y'=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \times \left[-sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \right] \times \left (\frac{-2}{(x-1)^2} \right)$

$y'=\frac{8}{(x-1)^2}cos^3 \left(\frac{x+1}{x-1} \right) sin \left(\frac{x+1}{x-1} \right)$