Teorema Turunan Fungsi Trigonometri dengan Aturan Rantai Bersusun
Teorema Aturan Rantai Bersusun:
Misalkan y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) membentuk fungsi komposisi y = (f o g o h)(x) = f(g(h(x))). Apabila h memiliki turunan di x, g memiliki turunan di v = h(x), dan f memiliki turunan di u = g(h(x)), maka y = (f o g o h)(x) = f(g(h(x))) memiliki turunan di x yang dirumuskan sebagai berikut
$(f\circ g\circ h)'(x)=f'(g(h(x)))\times g'(h(x))\times h'(x)$
yaitu
$(f\circ g\circ h)'(x)=f'(g(h(x)))\times g'(h(x))\times h'(x)$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}$
Turunan Fungsi Trigonometri
1. Jika y = a sinn u
→ y' = an sinn-1 u.
cos u . u'
2. Jika y = a cosn u
→ y' = an sinn-1 u. (-sin u) . u'
→ y' = -an sinn-1 u. sin u . u'
3. Jika y = a tann u
→ y' = an tann-1 u.
secn u . u'
4. Jika y = a cotn u
→ y' = an cotn-1 u. (-cscn u)
. u'
→ y' = -an cotn-1 u. cscn u . u'
5. Jika y = a secn u
→ y' = an secn-1 u.
sec u. tan u . u'
6. Jika y = a cscn u
→ y' = an cscn-1 u. (-csc u. cot
u) . u'
→ y' = -an cscn-1 u. csc u. cot u . u'
Untuk memudahkan, Anda dapat menggunakan ilustrasi berikut ini.
Contoh Soal
a. $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$ b. $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x \right )$ | c. $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}}$ d. $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$ |
a. $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$
Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai
$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$
fungsi $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6) = \frac{1}{4}u^2$, dengan u = sin v dan $v=x^2 + 6$
$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u=\frac{1}{2}sinv=\frac{1}{2}sin(x^2 + 6)$
$\frac{du}{dv}=cosv = cos (x^2 + 6)$
$\frac{dv}{dx}=2x$
$y'=\frac{1}{2}sin(x^2 + 6)\times cos (x^2 + 6)\times (2x)$
$y'=x sin(x^2 + 6) cos (x^2 + 6)$
$y'=\frac{1}{2}xsin2(x^2 + 6)$
Cara II: Menggunakan Rumus
$y=asin^n u \Rightarrow y'=ansin^{n-1}u. cos u.u'$
fungsi $y=\frac{1}{4}sin^2(x^2+6)$, dengan u =$x^2 + 6$, maka
u' =2x, sehingga
$y'=\frac{1}{4}.2sin(x^2+6).cos(x^2+6).(2x)$
$y'=\frac{1}{2}xsin2(x^2 + 6)$
b. $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x \right )$
Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai
$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$
fungsi $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x \right ) = 4u^2$, dengan u = csc v dan $v=\frac{1}{2}x$
$\frac{dy}{du}=8u=8cscv=8csc \frac{1}{2}x$
$\frac{du}{dv}=-cscv.cotv = - csc \frac{1}{2}x.cot \frac{1}{2}x$
$\frac{dv}{dx}= \frac{1}{2}$
$y'=8csc\frac{1}{2}x \times (-csc\frac{1}{2}xcot\frac{1}{2}x).(\frac{1}{2})$
$y'=-4csc^2\left ( \frac{1}{2}x \right )cot\left (\frac{1}{2}x \right )$
Cara II: Menggunakan Rumus
$y=acsc^n u \Rightarrow y'=ancsc^{n-1}u. (-cscu.cot u) .u'$
fungsi $y=4csc^2\left (\frac{1}{2}x \right )$, dengan u =$\frac{1}{2}x$, maka
u' =$\frac{1}{2}$, sehingga
$y'=4.2csc\frac{1}{2}x.(-csc\frac{1}{2}x.cot\frac{1}{2}x).\frac{1}{2}$
$y'=-4csc^2\left ( \frac{1}{2}x \right )cot\left (\frac{1}{2}x \right )$
c. $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}}$
Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai
$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$
fungsi $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}} = tan^{-2} \sqrt{1-x^2}=u^{-1}$, dengan u = tan v dan $v=\sqrt{1-x^2}$
$\frac{dy}{du}=-2u^{-3}=\frac{-2}{u^3}=\frac{-2}{tan^{3} \sqrt{1-x^2}}$
$\frac{du}{dv}=sec^2 v = sec^2 \sqrt{1-x^2}$
$\frac{dv}{dx}= \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \times (-2x)=\frac {-x}{\sqrt{1-x^2}}$
$y'=\frac{-2}{tan^{3} \sqrt{1-x^2}} \times sec^2 \sqrt{1-x^2} \times \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
$y'= \frac{2xsec^2 \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}tan^3 \sqrt{1-x^2}}$
Cara II: Menggunakan Rumus
$y=atan^n u \Rightarrow y'=antan^{n-1}u. sec^2 u .u'$
fungsi $y= \frac{1}{tan^2\sqrt{1-x^2}} = tan^{-2} \sqrt{1-x^2}$,
dengan u =$\sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}}$,
maka $u'=\frac{1}{2} \times (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \times (-2x)$,
$u'=\frac {-x}{\sqrt{1-x^2}}$ sehingga
$y'=-2tan^{-3} \sqrt{1-x^2} \times sec^2 \sqrt{1-x^2} \times \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)$
$y'= \frac{2xsec^2 \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}tan^3 \sqrt{1-x^2}}$
d. $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$
Cara I: Menggunakan Aturan Rantai Berantai
$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$
fungsi $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )=u^4$, dengan u = cos v dan $v=\frac{x+1}{x-1}$
$\frac{dy}{du}=4u^3=4cos^3 v=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right)$
$\frac{du}{dv}=-sinv = - sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right)$
$\frac{dv}{dx}= \frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$
$y'=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \times \left[-sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \right] \times \left (\frac{-2}{(x-1)^2} \right)$
$y'=\frac{8}{(x-1)^2}cos^3 \left(\frac{x+1}{x-1} \right) sin \left(\frac{x+1}{x-1} \right)$
Cara II: Menggunakan Rumus
$y=a cos^n u \Rightarrow y'=ancos^{n-1}u. (-sin u) .u'$
fungsi $y= cos^4\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )$, dengan $u=\left (\frac{x+1}{x-1} \right)$, maka
$u'= \frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$, sehingga
$y'=4cos^3 \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \times \left[-sin \left (\frac{x+1}{x-1} \right) \right] \times \left (\frac{-2}{(x-1)^2} \right)$
$y'=\frac{8}{(x-1)^2}cos^3 \left(\frac{x+1}{x-1} \right) sin \left(\frac{x+1}{x-1} \right)$
Post a Comment for "Teorema Turunan Fungsi Trigonometri dengan Aturan Rantai Bersusun"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!