Teorema Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai

Teorema Turunan Fungsi Komposisi:

Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi (fungsi majemuk) y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka f o g terdiferensialkan di x dan (f o g)'(x) = f'(g(x))g'(x), yakni D_xy = Duy.D_xu atau $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$.

Teorema ini dikenal sebagai Aturan Rantai atau Dalil Rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi.

Bagan berikut ini dapat memudahkan Anda mengingat Aturan Rantai.

Bukti:

Misalkan y = f(u) dan u = g(x), dengan g x terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x). Jika x ditambah 𝜟x, maka pertambahan yang bersesuaian dalam u dan y akan diberikan oleh

𝜟u = g(x + 𝜟x) - g(x)

𝜟y = f(g(x + 𝜟x)) - f(g(x)) = f(u + 𝜟u) - f(u)

dengan demikian, 

$\frac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$\frac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left (\frac{\Delta y}{\Delta u}\times \frac{\Delta u}{\Delta x}  \right )$

$\frac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\times \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$

Karena g terdiferensialkan di x, maka g kontinu di x, maka 𝜟x → 0 mengakibatkan 𝜟u → 0, sehingga:

$\frac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\times \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$. Terbukti

Turunan fungsi y = uⁿ, dengan u = n(x) merupakan fungsi dari x adalah y' = nu^n-1.u'. Untuk mengingatnya Anda dapat menggunakan bagan berikut ini.

Contoh Soal 1

Carilah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini.

a. y = $(5-3x^4)^{20}$   b. y = $\frac{1}{(3x^4 + x -8)^3}$ c. y = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )^{4}$

d. y = $\sqrt{(5-2x)^3}$ e. y = $\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}$ f. y = $\sqrt{x+\sqrt{x}}$

Jawab:

a. y = $(5-3x^4)^{20}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$  

fungsi y = $(5-3x^4)^{20}$, dengan u =$5-3x^4$

$\frac{dy}{du}=20u^{19}=20(5-3x^4)^{19}$

$\frac{du}{dx}=-12x^3$

$y'=-20(5-3x^4)^{19} \times (-12x^3)$

$y'=-240x^3(5-3x^4)^{19}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $(5-3x^4)^{20}$, dengan u =$5-3x^4$, maka

u' =$-12x^3$, sehingga

y' = 20$(5-3x^4)^{20 -1}$.$(-12x^3)$

$y'=-240x^3(5-3x^4)^{19}$

b. y = $\frac{1}{(3x^4 + x -8)^3}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$    

fungsi y = $\frac{1}{(3x^4 + x -8)^3}$ = $(3x^4 + x -8)^{-3}$, dengan u =$3x^4 + x -8$

$\frac{dy}{du}=3u^{-3-1}=-3(3x^4 + x -8)^{-4}$

$\frac{du}{dx}=12x^3 +1$

$y'=-3(3x^4 + x - 8)^{-4} \times (12x^3 +1)$

$y'=\frac{-3(12x^3 + 1)}{(3x^4 + x -8)^4}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $\frac{1}{(3x^4 + x -8)^3}$ = $(3x^4 + x -8)^{-3}$, dengan u =$3x^4 + x -8$

u' =$12x^3 + 1$, sehingga

$y'=-3(3x^4 + x - 8)^{-4} \times (12x^3 +1)$

$y'=\frac{-3(12x^3 + 1)}{(3x^4 + x -8)^4}$

c. y = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )^{4}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$  

fungsi y = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )^{4}$ = $u^{4}$, dengan u = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )$  

$\frac{dy}{du}=4u^{4-1}=4\left (\frac{x^2 - 1}{x+4} \right)^3$

$\frac{du}{dx}=\frac{2x(x+4)-(x^2 -1)(1)}{(x+4)^2}$

$\frac{du}{dx}=\frac{x^2 + 8x + 1}{(x+4)^2}$

$y' = 4\left (\frac{x^2 - 1}{x+4} \right)^3\times \frac{x^2 + 8x + 1}{(x+4)^2}$

$y' = \frac{4(x^2-1)^3(x^2+8x+1)}{(x+4)^5}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )^{4}$ = $u^{4}$, dengan u = $\left (\frac{x^2-1}{x+4}    \right )$

$u'=\frac{2x(x+4)-(x^2 -1)(1)}{(x+4)^2}$

$u'=\frac{x^2 + 8x + 1}{(x+4)^2}$, sehingga

$y' = 4\left (\frac{x^2 - 1}{x+4} \right)^3\times \frac{x^2 + 8x + 1}{(x+4)^2}$

$y' = \frac{4(x^2-1)^3(x^2+8x+1)}{(x+4)^5}$

d. y = $\sqrt{(5-2x)^3}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$    

fungsi y = $\sqrt{(5-2x)^3} = (5-2x)^{\frac{3}{2}}= u^{\frac{3}{2}}$, dengan u = 5 - 2x

$\frac{dy}{du}=\frac{3}{2}u^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{du}=\frac{3}{2}\sqrt{(5-2x)}$

$\frac{du}{dx}=-2$

$y'=\frac{3}{2}\sqrt{(5-2x)}\times (-2)$

$y'=-3 \sqrt{(5-2x)}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $\sqrt{(5-2x)^3} = (5-2x)^{\frac{3}{2}}= u^{\frac{3}{2}}$, dengan u = 5 - 2x

u' = -2, sehingga

$y'=\frac{3}{2}\sqrt{(5-2x)}\times (-2)$

$y'=-3 \sqrt{(5-2x)}$

e. y = $\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$  

fungsi y = $\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}=u^{\frac{1}{3}}$, dengan u = $\frac{x}{x+1}$  

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{3}u^{\frac{1}{3}-1}=\frac{3}{2}u^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2}}$

$\frac{du}{dx}=\frac{(1)(x+1)-(x)(x)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$

$y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2}}\times \frac{1}{(x+1)^2}$

$y'=\frac{1}{3(x+1)\sqrt[3]{x^2(x+1)}}$

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}=u^{\frac{1}{3}}$, dengan u = $\frac{x}{x+1}$ 

$u'=\frac{(1)(x+1)-(x)(1)}{(x+1)^2}$

$u'=\frac{1}{(x+1)^2}$, sehingga

$y'=\frac{1}{3}\left ( \frac{x}{x+1} \right )^{-\frac{2}{3}}\times \frac{1}{(x+1)^2}$

$y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2}}\times \frac{1}{(x+1)^2}$

$y'=\frac{1}{3(x+1)\sqrt[3]{x^2(x+1)}}$

f. y = $\sqrt{x+\sqrt{x}}$

Cara I: Menggunakan Aturan Rantai

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$    

fungsi y = $\sqrt{x+\sqrt{x}} = u^{\frac{1}{2}}$, dengan u = $x+ \sqrt{x}$  

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt{x+ \sqrt{x}}}$

$\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=1+ \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+ \sqrt{x}}}\times \left ( 1+ \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right )$

$y'=\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}$ 

Cara II: Menggunakan Rumus

$y=u^n \Rightarrow y'=nu^{n-1}.u'$

fungsi y = $\sqrt{x+\sqrt{x}} = u^{\frac{1}{2}}$, dengan u = $x+ \sqrt{x}$ 

$u'=1+\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=1+ \frac{1}{2 \sqrt{x}}$, sehingga

$y'=\frac{1}{2}(x+\sqrt{x})^{-\frac{1}{2}}\times \left ( 1+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right )$

$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+ \sqrt{x}}}\times \left ( 1+ \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right )$

$y'=\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}$