Rumus-rumus Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal

 

Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri

1. $f(x)=sinx\rightarrow f'(x)=cosx$
2.  $f(x)=cosx\rightarrow f'(x)=-sinx$
3.  $f(x)=tanx\rightarrow f'(x)=sec^2x$
4.  $f(x)=cotx\rightarrow f'(x)=-csc^2x$
5.  $f(x)=secx\rightarrow f'(x)=secx.tanx$
6.  $f(x)=cscx\rightarrow f'(x)=-cscx.cotx$

Bukti: turunan fungsi $f(x)=sinx$ → $f'(x)=cosx$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2cos(x+\frac{1}{2}h)sin\frac{1}{2}h}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}cos(x+\frac{1}{2}h).2 \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}h}{\frac{1}{2}h}$

$f'(x)=cosx . 1$

$f'(x)=cosx$. Terbukti

Bukti: turunan fungsi $f(x)=cosx$ → $f'(x)=-sinx$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-2sin(x+\frac{1}{2}h)sin\frac{1}{2}h}{h}$

$f'(x) = -\lim\limits_{h\rightarrow 0}sin(x+\frac{1}{2}h).2 \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}h}{\frac{1}{2}h}$

$f'(x)=sinx . (-1)$

$f'(x)=-sinx$. Terbukti

Bukti: turunan fungsi $f(x)=tanx$ → $f'(x)=sec^2x$

$f(x) = tanx=\frac{sinx}{cosx}$

u = sin x → u' = cos x

v = cos x → v' = -sinx, dengan

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$, maka

$f'(x) = \frac{cosx.cosx-sinx.(-sinx)}{(cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}$

$f'(x) = \frac{1}{cos^2x}$

$f'(x)=sec^2x$. Terbukti 

Contoh Soal 1

a. f(x) = 2 sin x

b. f(x) = $- \frac{1}{2}$ cosx

c. f(x) = 3 sinx + 4 cosx

d. f(x) = $x\sqrt{x}+8x^2-7cosx$

Jawab:

a. f(x) = 2 sin x ⇒ f'(x) = 2cosx

b. f(x) = $- \frac{1}{2}$ cosx 

⇒ f(x) = $- \frac{1}{2}$ (-sinx) = $\frac{1}{2}$sinx 

c. f(x) = 3 sinx + 4 cosx 

⇒ f'(x) = 3cosx - 4 sinx

d. f(x) = $x\sqrt{x}+8x^2-7cosx$

⇒ f(x) = $x^\frac{3}{2}+8x^2-7cosx$

⇒ f'(x) = $\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}+16x+7sinx$

⇒ f'(x) = $\frac{3}{2}\sqrt{x}+16x+7sinx$

Contoh Soal 2

a. y = x²cosx 

b. y = x(1 - cosx)

c. f(x) = cosx(3 - tanx)

d. f(x) = 2x² - xsinx

Jawab:

Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan konsep turunan hasil kali yaitu jika $f(x) =u(x)\times v(x)$ maka turunannya adalah $f'(x) =u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x) $ 

a. y = x²cosx 

u = x² → u' = 2x

v = cos x → v' = - sinx, maka dengan

$y' =2xcosx+x^2 (-sinx) $ 

$y' =2xcosx-x^2 sinx $

b. y = x(1 - cosx)

u = x → u' = 1

v = 1 - cos x → v' = sinx, maka dengan

$y' =(1)(1-cosx)+(x)(sinx) $ 

$y' =1-cosx+xsinx $

c. y = cosx(3 - tanx)

u = cosx → u' = -sinx

v = 3 - tan x → v' = -sec²x, maka dengan

$y' =(-sinx)(3-tanx)+(cosx)(-sec^2x) $ 

$y' =-3sinx+sinxtanx-secx $

d. y = 2x² - xsinx

u = x → u' = 1

v = sin x → v' = cos x, maka dengan

$y' =4x-[(1)(sinx)+(x)cosx]$

$y' =4x-sinx - xcosx$

Contoh Soal 3

Carilah turunan dari setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = $\frac{sinx}{1-cosx}$ b. f(x) = $\frac{x^2}{sinx}$

c. f(x) = ${\frac{tanx}{1+sinx}}$ d. f(x) = ${\frac{1-cosx}{1+cosx}}$

Jawab:

Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan konsep turunan hasil kali yaitu jika $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ maka turunannya adalah $f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ 

a. f(x) = $\frac{sinx}{1-cosx}$

u = sinx → u' = cosx

v = 1 - cos x → v' = sin x, maka dengan

$f'(x) = \frac{cosx(1-cosx)-sinx.sinx}{(1-cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{cosx-cos^2x)-sin^2x}{(1-cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{cosx-1}{(1-cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{1}{cosx - 1}$

b. f(x) = $\frac{x^2}{sinx}$

u = x² → u' = 2x

v = sin x → v' = cos x, maka dengan

$f'(x) = \frac{(2x)(sinx)-(x^2)cosx}{(sin)^2}$

$f'(x) = \frac{2xsinx-x^2 cosx}{sin^2 x}$

$f'(x) = 2x cscx - x^2 cscx cotx$

$f'(x) = xcscx(2 - x cotx)$

c. f(x) = ${\frac{tanx}{1+sinx}}$

u = tanx → u' = sec²x

v = 1 + sin x → v' = cos x, maka dengan

$f'(x) = \frac{(sec^2 x)(1+sinx)-(tanx)cosx}{(1+sin)^2}$

$f'(x) = \frac{sec^2 x + secx tanx - sinx}{(1 + sin x)^2}$

d. f(x) = ${\frac{1-cosx}{1+cosx}}$

u = 1 - cosx → u' = sinx

v = 1 + cos x → v' = -sin x, maka dengan

$f'(x) = \frac{(sinx)(1 + cosx)-(1-cosx)(-sinx)}{(1+cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{sinx+sinxcosx+sinx-sinxcosx}{(1+cosx)^2}$

$f'(x) = \frac{2sinx}{(1+cosx)^2}$