Turunan ke-n dari suatu fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal

Diberikan suatu fungsi f. Turunan fungsi f adalah f’ yang kita namakan turunan pertama dari f. Jika turunan dari fungsi f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dari fungsi f yang ditulis dengan notasi f’’ (dibaca: “f dua aksen”). Jika f’’ dapat diturunkan lagi, sehingga diperoleh turunan ketiga dari fungsi f yang dinotasikan dengan f’’’, dan seterusnya. Turunan ke-n dari suatu fungsi f ditulis f⁽ⁿ⁾ dengan n adalah bilangan asli. Aturan fungsi f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f, ditulis f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Kita telah memperkenalkan tiga cara penulisan untuk turunan dari y = f(x), yaitu f’(x), D_xy, dan $\frac{dy}{dx}$ yang masing-masing dinamakan cara penulisan aksen, cara penulisan D, dan cara penulisan Leibniz. Variasi cara penulisan aksen adalah y^' . variasi cara penulisan D adalah D_xf(x), sedangkan variasi cara penulisan Leibniz adalah $\frac{d}{dx}$ atau $\frac{df(x)}{dx}$. Menurut Leibniz, notasi $\frac{d}{dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )$ dapat ditulis sebagai $\frac{d^2y}{dx^2}$.

Contoh Soal 1

Carilah $\frac{d^3y}{dx^3}$ dari setiap fungsi berikut ini.

a. $y= x^3-8x^2+5x+4$

b. $y=(2x-5)^4$

Jawab:

a. $y= x^3-8x^2+5x+4$

turunan pertama: $\frac{dy}{dx}=3x^2-16x+5$

turunan kedua: $\frac{d^2y}{dx^2}=6x-16$

turunan ketiga: $\frac{d^3y}{dx^3}=6$

b. $y=(2x-5)^4$

turunan pertama: $\frac{dy}{dx}=4(2x-5)^3 . (2) = 8(2x-5)^3$

turunan kedua: $\frac{d^2y}{dx^2}=8(3)(2x-5)^2 .(2) = 48(2x-5)^2$

turunan ketiga: $\frac{d^3y}{dx^3}=(48)(2)(2x-5).(2) =192(2x-5)$

Contoh Soal 2

Carilah f''(2) dari fungsi $f(x)=x(x^2+1)^3$!

Jawab:

Kita cari turunan pertama dari fungsi $f(x)=x(x^2+1)^3$:

u = x → u' = 1

$v=(x^2+1)^3$ → $v'=6x(x^2+1)^2$, maka

$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ 

$f'(x) =(1)(x^2 + 1)^3 + (x)[6x(x^2 + 1)^2]$

$f'(x) =(x^2 + 1)^2 (x^2 + 1 +6x^2)$

$f'(x) =(x^2 + 1)^2 (7x^2 + 1)$

Kita cari turunan kedua dari fungsi $f(x)=x(x^2+1)^3$, ini sama dengan turunan pertama fungsi $f'(x) =(x^2 + 1)^2 (7x^2 + 1)$, maka

$u=(x^2+1)^2$ → $u'=4x(x^2+1)$

$v=7x^2+1$ → $v'=14x$, maka 

$f''(x) =(4x)(x^2 + 1)(7x^2+1) + (x^2+1)^2(14x)$

$f''(x) =2x(x^2 + 1)(14x^2 + 2 +7x^2+7)$

$f''(x) =2x(x^2 + 1)(21x^2 + 9)$, sehingga

$f''(2) =2(2)(2^2 + 1)(21.2^2 + 9)$

$f''(2) =4(5)(93)=1860$

Contoh Soal 3

Diberikan fungsi f yang ditentukan dengan rumus f(x) = xⁿ, dengan n adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa f⁽ⁿ⁾(x) = n!

Jawab:

$⇒f(x) =x^n$

$\Rightarrow f'(x) =nx^{n-1}$

$\Rightarrow f''(x) =n(n-1)x^{n-2}$

$\Rightarrow f'''(x) =n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

$\Rightarrow f''''(x) =n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}$

$\Rightarrow f^{(5)}(x) =(n)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x^{n-5}$

Dari ketima bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

$ f^{(n)}(x) =(n)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4). . .[n-(n-1)]x^{n-n}$

$ f^{(n)}(x) =(n)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4). . .3.2.1$

$ f^{(n)}(x) =n!$. Terbukti