Turunan Fungsi f(x) = u^n(x) dan Pembahasan Soal

Jika f(x) = uⁿ(x), dengan u(x) adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka turunan fungsi f(x) adalah

$f'(x) = nu^{n-1}(x)\times u'(x)$

Rumus ini dikenal sebagai aturan atau dalil atau teorema rantai (Chain Rule)

Carilah turunan f'(x) dari setiap fungsi berikut ini.

a. $f(x)=\frac{1}{4x^2-3}$ b. $f(x)=(2x^3+x)^{30}$ c. $f(x)= \sqrt[3]{x^4+5x^2-7}$

d. $f(x)= x^2\sqrt{x^2+9} $ e. $f(x)= \sqrt{2x+\sqrt{x}}$ f. $f(x)=  \frac{5x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

Jawab:

a. $f(x)=\frac{1}{4x^2-3}$

Cara I: Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}$

u = 1 → u' = 0

$v=4x^2-3$ → v' = 8x, maka

$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}$

$f'(x)=\frac{(0)(4x^2 - 3)-(1)(8x)}{(4x^2 - 3)^2}$

$f'(x)=-\frac{8x}{(4x^2 - 3)^2}$

Cara II: Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk $f(x)=u^{n}(x)$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x) =nu^{n-1}(x).u'(x)$

Kita ubah fungsi $f(x)=\frac{1}{4x^2-3}$ menjadi $f(x)=(4x^2-3)^{-1}$

Misalkan $u(x)=(4x^2-3)$, maka u'(x) = 8x, sehingga kita peroleh

$f(x)=u^{-1}(x)$

$f'(x)=(-1)u^{-2}(x).u'(x)$

$f'(x)=(-1)(4x^2-3)^{-2}(8x)$

$f'(x)=-\frac{8x}{(4x^2 - 3)^2}$

b. $f(x)=(2x^3+x)^{30}$

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk $f(x)=u^{n}(x)$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x) =nu^{n-1}(x).u'(x)$ .

Misalkan $u(x)=(2x^3+x)$, maka $u'(x)=(6x^2+1)$, sehingga kita peroleh

$f(x)=u^{30}(x)$

$f'(x)=(30)u^{30-1}(x).u'(x)$

$f'(x)=(30)(2x^3 + x)^{29}(6x^2 + 1)$

$f'(x)=30(6x^2 + 1)(2x^3 + x)^{29}$

c. $f(x)= \sqrt[3]{x^4+5x^2-7}$

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk $f(x)=u^{n}(x)$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x) =nu^{n-1}(x).u'(x)$

Kita ubah fungsi $f(x)= \sqrt[3]{x^4+5x^2-7}$ menjadi $f(x)= (x^4 +5x^2 -7)^{\frac{1}{2}}$

Misalkan $u(x)=x^4 + 5x-7$, maka $u'(x)=4x^3 + 10x$, sehingga kita peroleh

$f(x)=u^\frac{1}{3} (x)$

$f'(x)=\frac{1}{3}u^{(\frac{1}{3}-1)}(x).u'(x)$

$f'(x)= \frac{1}{3}(x^4 +5x^2 -7)^{-\frac{2}{3}}.(4x^3 + 10x)$

$f'(x)= \frac{4x^3 + 10x}{3\sqrt[3]{(x^4 +5x^2 -7)^2}}$

d. $f(x)= x^2\sqrt{x^2+9} $

Jika f(x) = u(x).v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan v’(x), maka turunan f’(x) adalah f'(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) dan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk $f(x)=u^{n}(x)$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x) =nu^{n-1}(x).u'(x)$

Kita ubah fungsi $f(x)= x^2\sqrt{x^2+9} $ menjadi $f(x)=x^2(x^2+9)^{\frac{1}{2}}$

u = x²  → u' = 2x

$v=(x^2+9)^{\frac{1}{2}}$ → $v'=\frac{1}{2}(x^2+9)^{-\frac{1}{2}}.(2x)$, maka

$f'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$f'(x)= (2x)(x^2+9)^{\frac{1}{2}}+(x^2)\left [\frac{1}{2}(x^2+9)^{-\frac{1}{2}}.(2x)  \right ]$

$f'(x)= 2x\sqrt{x^2+9}+\frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}$

e. $f(x)= \sqrt{2x+\sqrt{x}}$

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk $f(x)=u^{n}(x)$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x) =nu^{n-1}(x).u'(x)$

Kita ubah fungsi $f(x)= \sqrt{2x+\sqrt{x}}$ menjadi $f(x)=(2x+x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$

$u= 2x+x^{\frac{1}{2}}$  → $u'=2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ sehingga kita peroleh

$f(x)=u^\frac{1}{2} (x)$

$f'(x)=\frac{1}{2}u^{(\frac{1}{2}-1)}(x).u'(x)$

$f'(x)= \frac{1}{2}(2x+x^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}.\left [2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}  \right ]$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+\sqrt{x}}}\left ( 2+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+\sqrt{x}}}\left (\frac{4\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} \right )$

$f'(x)=\frac{4\sqrt{x}+1}{\left (4\sqrt{x}\right )\sqrt{2x+\sqrt{x}}}$

f. $f(x)=  \frac{5x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka turunan fungsi ini adalah $f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}$

$u=5x^2$ → u' = 10x

 $v=\sqrt{x^2+1 }=(x^2+1)^\frac{1}{2}$ → $v'=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}.(2x)$, maka

$f'(x)=\frac{(10x)(x^2+1)^\frac{1}{2}-(5x^2)\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}.(2x)}{\left [ (x^2+1)^\frac{1}{2} \right ]^2}$

$f'(x)=\frac{10x\sqrt{x^2+1}-5x^2\left [\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}.(2x)  \right ]}{x^2+1}$

$f'(x)=\frac{10x(x^2+1)-5x^3}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$