Turunan Fungsi f(x) = u^n(x) dan Pembahasan Soal

Jika f(x) = un(x), dengan u(x) adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka turunan fungsi f(x) adalah

f(x)=nun1(x)×u(x)

Rumus ini dikenal sebagai aturan atau dalil atau teorema rantai (Chain Rule)

Carilah turunan f'(x) dari setiap fungsi berikut ini.

a. f(x)=14x23

b. f(x)=(2x3+x)30

c. f(x)=3x4+5x27

d. f(x)=x2x2+9

e. f(x)=2x+x

f. f(x)=5x2x2+1

Jawab:

a. f(x)=14x23

Cara I: Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika f(x)=u(x)v(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)

u = 1 → u' = 0

v=4x23 → v' = 8x, maka

f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)

f(x)=(0)(4x23)(1)(8x)(4x23)2

f(x)=8x(4x23)2

Cara II: Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=nun1(x).u(x)

Kita ubah fungsi f(x)=14x23 menjadi f(x)=(4x23)1

Misalkan u(x)=(4x23), maka u'(x) = 8x, sehingga kita peroleh

f(x)=u1(x)

f(x)=(1)u2(x).u(x)

f(x)=(1)(4x23)2(8x)

f(x)=8x(4x23)2

b. f(x)=(2x3+x)30

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=nun1(x).u(x) .

Misalkan u(x)=(2x3+x), maka u(x)=(6x2+1), sehingga kita peroleh

f(x)=u30(x)

f(x)=(30)u301(x).u(x)

f(x)=(30)(2x3+x)29(6x2+1)

f(x)=30(6x2+1)(2x3+x)29

c. f(x)=3x4+5x27

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=nun1(x).u(x)

Kita ubah fungsi f(x)=3x4+5x27 menjadi f(x)=(x4+5x27)12

Misalkan u(x)=x4+5x7, maka u(x)=4x3+10x, sehingga kita peroleh

f(x)=u13(x)

f(x)=13u(131)(x).u(x)

f(x)=13(x4+5x27)23.(4x3+10x)

f(x)=4x3+10x33(x4+5x27)2

d. f(x)=x2x2+9

Jika f(x) = u(x).v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan v’(x), maka turunan f’(x) adalah f'(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) dan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=nun1(x).u(x)

Kita ubah fungsi f(x)=x2x2+9 menjadi f(x)=x2(x2+9)12

u = x → u' = 2x

v=(x2+9)12 → v=12(x2+9)12.(2x), maka

f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)

f(x)=(2x)(x2+9)12+(x2)[12(x2+9)12.(2x)]

f(x)=2xx2+9+x3x2+9

e. f(x)=2x+x

Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=nun1(x).u(x)

Kita ubah fungsi f(x)=2x+x menjadi f(x)=(2x+x12)12

u=2x+x12  → u=2+12x12 sehingga kita peroleh

f(x)=u12(x)

f(x)=12u(121)(x).u(x)

f(x)=12(2x+x12)12.[2+12x12]

f(x)=122x+x(2+12x)

f(x)=122x+x(4x+12x)

f(x)=4x+1(4x)2x+x

f. f(x)=5x2x2+1

Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika f(x)=u(x)v(x), maka turunan fungsi ini adalah f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)

u=5x2 → u' = 10x

 v=x2+1=(x2+1)12 → v=12(x2+1)12.(2x), maka

f(x)=(10x)(x2+1)12(5x2)12(x2+1)12.(2x)[(x2+1)12]2

f(x)=10xx2+15x2[12x2+1.(2x)]x2+1

f(x)=10x(x2+1)5x3(x2+1)x2+1