Jika f(x) = un(x), dengan u(x) adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka turunan fungsi f(x) adalah
f′(x)=nun−1(x)×u′(x)
Rumus ini dikenal sebagai aturan atau dalil atau teorema rantai (Chain Rule)
Carilah turunan f'(x) dari setiap fungsi berikut ini.
a. f(x)=14x2−3 b. f(x)=(2x3+x)30 c. f(x)=3√x4+5x2−7 | d. f(x)=x2√x2+9 e. f(x)=√2x+√x f. f(x)=5x2√x2+1 |
Jawab:
a. f(x)=14x2−3
Cara I: Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika f(x)=u(x)v(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)
u = 1 → u' = 0
v=4x2−3 → v' = 8x, maka
f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)
f′(x)=(0)(4x2−3)−(1)(8x)(4x2−3)2
f′(x)=−8x(4x2−3)2
Cara II: Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=nun−1(x).u′(x)
Kita ubah fungsi f(x)=14x2−3 menjadi f(x)=(4x2−3)−1
Misalkan u(x)=(4x2−3), maka u'(x) = 8x, sehingga kita peroleh
f(x)=u−1(x)
f′(x)=(−1)u−2(x).u′(x)
f′(x)=(−1)(4x2−3)−2(8x)
f′(x)=−8x(4x2−3)2
b. f(x)=(2x3+x)30
Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=nun−1(x).u′(x) .
Misalkan u(x)=(2x3+x), maka u′(x)=(6x2+1), sehingga kita peroleh
f(x)=u30(x)
f′(x)=(30)u30−1(x).u′(x)
f′(x)=(30)(2x3+x)29(6x2+1)
f′(x)=30(6x2+1)(2x3+x)29
c. f(x)=3√x4+5x2−7
Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=nun−1(x).u′(x)
Kita ubah fungsi f(x)=3√x4+5x2−7 menjadi f(x)=(x4+5x2−7)12
Misalkan u(x)=x4+5x−7, maka u′(x)=4x3+10x, sehingga kita peroleh
f(x)=u13(x)
f′(x)=13u(13−1)(x).u′(x)
f′(x)=13(x4+5x2−7)−23.(4x3+10x)
f′(x)=4x3+10x33√(x4+5x2−7)2
d. f(x)=x2√x2+9
Jika f(x) = u(x).v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan v’(x), maka turunan f’(x) adalah f'(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) dan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=nun−1(x).u′(x)
Kita ubah fungsi f(x)=x2√x2+9 menjadi f(x)=x2(x2+9)12
u = x2 → u' = 2x
v=(x2+9)12 → v′=12(x2+9)−12.(2x), maka
f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
f′(x)=(2x)(x2+9)12+(x2)[12(x2+9)−12.(2x)]
f′(x)=2x√x2+9+x3√x2+9
e. f(x)=√2x+√x
Kita gunakan rumus turunan dari fungsi yang berbetuk f(x)=un(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=nun−1(x).u′(x)
Kita ubah fungsi f(x)=√2x+√x menjadi f(x)=(2x+x12)12
u=2x+x12 → u′=2+12x−12 sehingga kita peroleh
f(x)=u12(x)
f′(x)=12u(12−1)(x).u′(x)
f′(x)=12(2x+x12)−12.[2+12x−12]
f′(x)=12√2x+√x(2+12√x)
f′(x)=12√2x+√x(4√x+12√x)
f′(x)=4√x+1(4√x)√2x+√x
f. f(x)=5x2√x2+1
Kita gunakan turunan fungsi pembagian yaitu jika f(x)=u(x)v(x), maka turunan fungsi ini adalah f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)
u=5x2 → u' = 10x
v=√x2+1=(x2+1)12 → v′=12(x2+1)−12.(2x), maka
f′(x)=(10x)(x2+1)12−(5x2)12(x2+1)−12.(2x)[(x2+1)12]2
f′(x)=10x√x2+1−5x2[12√x2+1.(2x)]x2+1
f′(x)=10x(x2+1)−5x3(x2+1)√x2+1