Identitas Trigonometri yang Melibatkan Sinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)

Untuk membuktikan identitas yang melibatkan sinus dan cosinus kita menggunakan algoritma berikut.

Langkah I: Ubah jumlah dari dua suku pertama sebagai hasil kali dengan menggunakan salah satu rumus berikut:

sin C + sin D = 2 sin $\frac{1}{2}$(C + D) cos $\frac{1}{2}$(C – D)

sin C - sin D = 2 cos $\frac{1}{2}$(C + D) sin$\frac{1}{2}$ (C – D)

cos C + cos D = 2 cos $\frac{1}{2}$(C + D) cos $\frac{1}{2}$(C – D)

cos C - cos D = - 2 sin $\frac{1}{2}$(C + D) sin$\frac{1}{2}$ (C – D)

Langkah II: Dalam hasil perkalian di langkah II gantikan jumlah dua sudut dalam ketiga dengan menggunakan relasi yang diberikan.

Langkah III: Perluas suku ketiga dengan menggunakan salah satu rumus berikut:

sin 2θ = 2 sin θ cos θ,

cos 2θ = 2 cos2 θ - 1

cos 2θ = 1 - 2 sin² θ dll.

Langkah IV: Ambil faktor persekutuan di luar.

Langkah V: Nyatakan perbandingan trigonometri dari sudut tunggal

Langkah VI: Gunakan salah satu rumus yang diberikan pada langkah I untuk mengubah jumlah menjadi perkalian.

Contoh identitas yang melibatkan sinus dan cosinus:

Contoh 1. Jika A + B + C = π buktikan bahwa, 

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

Jawab:

= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C

= 2 sin $\frac{1}{2}$(2A + 2B) cos $\frac{1}{2}$(2A − 2B) + sin 2C

= 2 sin (A + B) cos (A - B) + sin 2C

= 2 sin (π - C) cos (A - B) + sin 2C,

[Karena, A + B + C = π ⇒ A + B = π - C]

= 2 sin C cos (A - B) + 2 sin C cos C,

[Karena sin (π - C) = sin C]

= 2 sin C [cos (A - B) + cos C], mengambil 2 sin C

= 2 sin C [cos (A - B) + cos {π - (A + B)}],

[Karena A + B + C = π ⇒ C = π - (A + B)]

= 2 sin C [cos (A - B) - cos (A + B)],

[Karena cos {π - (A + B)} = - cos (A + B)]

= 2 sin C [2 sin A sin B],

[Karena cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A sin B]

= 4 sin A sin B sin C. Terbukti.

Contoh 2. Jika A + B + C = π buktikan bahwa, cos 2A + cos 2B - cos 2C = 1- 4 sin A sin B cos C.

Jawab:

= cos 2A + cos 2B - cos 2C

= (cos 2A + cos 2B) - cos 2C

= 2 cos $\frac{1}{2}$(2A + 2B) cos$\frac{1}{2}$ (2A − 2B) - cos 2C

= 2 cos (A + B) cos (A- B) - cos 2C

= 2 cos (π - C) cos (A- B) - cos 2C,

[Karena kita tahu A + B + C = π ⇒A + B = π - C]

= - 2 cos C cos (A - B) - (2 cos² C - 1),

[Karena cos (π - C) = - cos C]

= - 2 cos C cos (A - B) - 2 cos² C + 1

= - 2 cos C [cos (A - B) + cos C] + 1

= -2 cos C [cos (A - B) - cos (A + B)] + 1,

[Karena cos C = - cos (A + B)]

= -2 cos C [2 sin A sin B] + 1,

[Karena cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A sin B]

= 1 - 4 sin A sin B cos C. Terbukti.

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)