Identitas Trigonometri Tangen dan Cotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)

Kita akan belajar bagaimana memecahkan identitas yang melibatkan tangen dan cotangen dengan sudut rangkap.

Kita menggunakan cara berikut untuk memecahkan identitas yang melibatkan garis singgung dan cotangen.

(i) Langkah awal adalah A + B + C = π (atau, A + B + C = $\frac{\pi }{2}$)

(ii) Pindahkan satu sudut di sisi kanan dan ambil tan (atau cot) dari kedua sisi.

(iii) Kemudian terapkan rumus tan (A + B) [atau cot (A + B)] dan sederhanakan.

Contoh 1. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa: 

tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C

Jawab:

Karena, A + B + C = π

⇒ 2A + 2B + 2C = 2π

⇒ tan (2A + 2B + 2C) = tan 2π

⇒ $\frac{[tan 2A + tan 2B + tan 2C - tan 2A tan 2B tan 2C]}{[1 - tan 2A tan 2B - tan 2B tan 2C - tan 2C tan 2A]}$ = 0

⇒ tan 2A + tan 2B + tan 2C - tan 2A tan 2B tan 2C = 0

⇒ tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C. Terbukti.

Contoh 2. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa:

$\frac{cot A + cot B}{tan A + tan B} + \frac{cot B + cot C}{tan B + tan C} + \frac{cot C + cot A}{tan C + tan A} $= 1

Jawab:

A + B + C = π

⇒ A + B = π - C

Oleh karena itu, tan (A + B) = tan (π - C)

⇒ $\frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$ = - tan C.

⇒ tan A + tan B = - tan C + tan A tan B tan C.

⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

⇒ $\frac{tanA+tanB +tanC}{tanAtanBtanC}=\frac{tanAtanBtanC}{tanAtanBtanC}$ [Membagi kedua sisi dengan tan A tan B tan C]

⇒ $\frac{1}{tanBtanC}+\frac{1}{tanCtanA}+\frac{1}{tanAtanB}=1$

⇒ cot B cot C + cot C cot A + cot A cot B = 1

⇒ cot B cot C $\left ( \frac{tanB+tanC}{tanB+tanC} \right )$ + cot C cot A $\left ( \frac{tanC+tanA}{tanC+tanA} \right )$ + cot A cot B $\left ( \frac{tanA+tanB}{tanA+tanB} \right )$ = 1 

⇒ $\frac{cotB+cotC}{tanB+tanC}+\frac{cotC+cotA}{tanC+tanA}+\frac{cotA+cotB}{tanA+tanB}=1$

⇒ $\frac{cotA+cotB}{tanA+tanB}+\frac{cotB+cotC}{tanB+tanC}+\frac{cotC+cotA}{tanC+tanA}=1$. Terbukti.

Contoh 3. Temukan nilai paling sederhana dari

cot (y - z) cot (z - x) + cot (z - x) cot (x - y) + cot (x - y) cot (y - z)

Jawab:

Misalkan, A = y - z, B = z - x, C = x - y

Oleh karena itu, A + B + C = y - z + z - x + x - y = 0

⇒ A + B + C = 0

⇒ A + B = - C

⇒ cot (A + B) = cot (-C)

⇒ $\frac{cot A cot B - 1}{cot A + cot B}$ = - cot C.

⇒ cot A cot B - 1 = - cot C cot A - cot B cot C.

⇒ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

⇒ cot (y - z) cot (z - x) + cot (z - x) cot (x - y) + cot (x - y) cot (y - z) = 1.

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)