Kuadrat Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinus dan Cosinus (Soal dan Pembahasannya)

Kita akan belajar bagaimana memecahkan identitas yang melibatkan kuadrat sinus dan cosinus dari sudut rangkap.

Kita menggunakan cara berikut untuk menyelesaikan identitas yang melibatkan kuadrat sinus dan cosinus.

(i) Nyatakan dua kuadrat pertama dalam istilah cos 2A (atau cos A).

(ii) Pertahankan suku ketiga tidak berubah atau buat perubahan menggunakan rumus sin² A + cos² A = 1.

(iii) Dengan memisahkan angka (jika ada), nyatakan jumlah dari dua cosinus dalam bentuk hasil perkalian.

(iv) Kemudian gunakan kondisi A + B + C = π (atau A + B + C = π/2) dan ambil satu suku sinus atau kosinus persekutuan.

(v) Akhirnya, nyatakan jumlah atau selisih dari dua sinus (atau cosinus) dalam tanda kurung sebagai hasil kali.

Contoh 1. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa,

cos² A + cos² B - cos² C = 1 - 2 sin A sin B cos C.

Jawab:

cos² A + cos² B - cos² C

= cos² A + (1 - sin² B) - cos² C

= 1 + [cos² A - sin² B] - cos² C

= 1 + cos (A + B) cos (A - B) - cos² C.

= 1 + cos (π - C) cos (A - B) - cos² C,

[Karena A + B + C = π ⇒ A + B = π - C]

= 1 - cos C cos (A - B) - cos² C

= 1 - cos C [cos (A - B) + cos C]

= 1 - cos C [cos (A - B) + cos {π - (A + B)}],

[Karena A + B + C = π ⇒ C = π - (A + B)]

= 1 - cos C [cos (A - B) - cos (A + B)]

= 1 - cos C [2 sin A sin B]

= 1 - 2 sin A sin B cos C. Terbukti.

 

Contoh 2. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa,

sin² $\frac{A}{2}$ + sin² $\frac{A}{2}$ + sin² $\frac{A}{2}$ = 1 - 2 sin $\frac{A}{2}$ - sin $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$

Jawab:

sin² $\frac{A}{2}$ + sin² $\frac{B}{2}$ + sin² $\frac{C}{2}$

= $\frac{1}{2}$ (1 - cos A) + $\frac{1}{2}$ (1 - cos B) + sin² $\frac{C}{2}$,

[Karena, 2 sin² $\frac{A}{2}$ = 1 - cos A

⇒ sin² $\frac{A}{2}$ = $\frac{1}{2}$(1 - cos A)

Demikian pula, sin² $\frac{B}{2}$ = $\frac{1}{2}$ (1 - cos B)]

= 1 – $\frac{1}{2}$(cos A + cos B) + sin² $\frac{C}{2}$

= 1 – $\frac{1}{2}$ ∙ 2 cos $\frac{1}{2}$(A + B) ∙ cos $\frac{1}{2}$(A – B) + sin² $\frac{C}{2}$

= 1 - sin $\frac{C}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A – B) + sin² $\frac{C}{2}$

[A + B + K = π ⇒ $\frac{1}{2}$(A + B) = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$.

Oleh karena itu, cos $\frac{1}{2}$(A + B) = cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) = sin $\frac{C}{2}$]

= 1 - sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) - sin $\frac{C}{2}$]

= 1 - sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) - cos $\frac{1}{2}$(A + B)]

[Karena, sin $\frac{C}{2}$ = cos $\frac{1}{2}$(A + B)]

= 1 - sin $\frac{C}{2}$ [2 sin $\frac{A}{2}$ ∙ sin $\frac{B}{2}$]

= 1 - 2 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$. Terbukti.

 

Contoh 3. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa,

cos² $\frac{A}{2}$ + cos² $\frac{B}{2}$ - cos² $\frac{C}{2}$ = 2 cos $\frac{A}{2}$ cos $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$

Jawab:

cos² $\frac{A}{2}$ + cos² $\frac{B}{2}$ - cos² $\frac{C}{2}$

= $\frac{1}{2}$ (1 + cos A) + $\frac{1}{2}$ (1 + cos B) - cos² $\frac{C}{2}$,

[Karena, 2 cos² $\frac{A}{2}$ = 1 + cos A ⇒ cos² $\frac{A}{2}$ = $\frac{1}{2}$ (1 + cos A)

Demikian pula, cos² $\frac{B}{2}$ = $\frac{1}{2}$ (1 + cos B)]

= 1 + $\frac{1}{2}$(cos A + cos B) - cos² $\frac{C}{2}$

= 1 + $\frac{1}{2}$ ∙ 2 cos $\frac{1}{2}$(A + B) cos $\frac{1}{2}$(A – B) - 1 + sin² $\frac{C}{2}$

= cos $\frac{1}{2}$(A + B) cos $\frac{1}{2}$(A – B) + sin² $\frac{C}{2}$

= sin $\frac{C}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A – B) + sin² $\frac{C}{2}$

[Karena, A + B + C = π ⇒ $\frac{1}{2}$(A + B) = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$.

Oleh karena itu, cos $\frac{1}{2}$(A + B) = cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) = sin $\frac{C}{2}$]

= sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) + sin $\frac{C}{2}$]

= sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) + cos $\frac{1}{2}$(A + B)],

[Karena, sin $\frac{C}{2}$ = cos $\frac{1}{2}$(A – B)]

= sin $\frac{C}{2}$ [2 cos $\frac{A}{2}$ cos $\frac{B}{2}$]

= 2 cos $\frac{A}{2}$ cos $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$. Terbukti

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)