Identitas Trigonometri yang Melibatkan Sinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)

Kita akan belajar bagaimana memecahkan identitas yang melibatkan sinus dan cosinus yang melibatkan sudut rangkap.

Kita menggunakan cara berikut untuk memecahkan identitas yang melibatkan sinus dan cosinus.

(i) Ambil dua suku pertama dari soal dan nyatakan jumlah dari dua sinus (atau cosinus) sebagai hasil kali.

(ii) Dalam periode ketiga pada soal terapkan rumus dari sin 2A (atau cos 2A).

(iii) Kemudian gunakan kondisi A + B + C = π dan ambil satu suku sinus (atau cosinus).

(iv) Terakhir, nyatakan jumlah atau selisih dari dua sinus (atau cosinus) dalam tanda kurung sebagai hasil perkalian.

Contoh 1. Jika A + B + C = π buktikan bahwa,

sin A + sin B - sin C = 4 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ cos $\frac{C}{2}$ 

Larutan:

Kita punya,

A + B + C = π

⇒ K = π - (A + B)

⇒ $\frac{C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ - $\frac{1}{2}$(A + B)

Oleh karena itu, sin $\frac{1}{2}$(A + B) = sin ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) = cos $\frac{C}{2}$

Maka

sin A + sin B - sin C

= (sin A + sin B) - sin C

= 2 sin $\frac{1}{2}$(A + B) cos $\frac{1}{2}$(A − B) - sin C

= 2 sin $\frac{1}{2}$(π − C) cos $\frac{1}{2}$(A − B) - sin C.

= 2 sin ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) cos (A – B) - sin C.

= 2 cos $\frac{1}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A – B) - sin C

= 2 cos $\frac{C}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A – B) - 2 sin $\frac{C}{2}$ cos $\frac{C}{2}$

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) - sin $\frac{C}{2}$]

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) - sin ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B))]

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A – B) - cos $\frac{1}{2}$(A + B)]

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [cos ($\frac{A}{2}$ – $\frac{B}{2}$) - cos ($\frac{A}{2}$ + $\frac{B}{2}$)]

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [(cos $\frac{A}{2}$ cos $\frac{B}{2}$ + sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$) - (cos $\frac{A}{2}$ cos $\frac{B}{2}$ + sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$)]

= 2 cos $\frac{C}{2}$ [2 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$]

= 4 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ cos $\frac{C}{2}$. Terbukti.

 

Contoh 2. Jika A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, buktikan bahwa,

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$

Jawab:

Karena A, B, C adalah sudut-sudut segitiga,

Oleh karena itu, A + B + C = π

⇒ K = π - (A + B)

⇒ $\frac{C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ - $\frac{1}{2}$(A + B)

Jadi, cos $\frac{1}{2}$(A + B) = cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) = sin $\frac{C}{2}$

Maka, cos A + cos B + cos C

= (cos A + cos B) + cos C.

= 2 cos $\frac{1}{2}$(A + B) cos $\frac{1}{2}$(A − B) + cos C.

= 2 cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$) cos $\frac{1}{2}$(A − B) + cos C.

= 2 sin $\frac{C}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A − B) + 1- 2 sin² $\frac{C}{2}$

= 2 sin $\frac{C}{2}$ cos $\frac{1}{2}$(A − B) - 2 sin² $\frac{C}{2}$+ 1

= 2 sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A − B) - sin $\frac{C}{2}$] + 1

= 2 sin $\frac{C}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A − B) - sin ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B))] + 1

= 2 sin $\frac{1}{2}$ [cos $\frac{1}{2}$(A − B) - $\frac{1}{2}$cos (A + B)] + 1

= 2 sin $\frac{C}{2}$ [2 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$] + 1

= 4 sin $\frac{C}{2}$ sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ + 1

= 1 + 4 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{B}{2}$ sin $\frac{C}{2}$. Terbukti.

 

Contoh 3. Jika A + B + C = π buktikan bahwa,

sin $\frac{A}{2}$ + sin $\frac{B}{2}$ + sin $\frac{C}{2}$ = 1 + 4 sin $\frac{1}{4}$(π – A) sin $\frac{1}{4}$(π – B) sin$\frac{1}{4}$ (π – C)

Jawab:

A + B + C = π

⇒ $\frac{C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B)

Oleh karena itu, sin $\frac{C}{2}$ = sin ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B)) = cos $\frac{1}{2}$(A + B)

sin $\frac{A}{2}$ + sin $\frac{B}{2}$ + sin $\frac{C}{2}$

= 2 sin $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(A – B) + cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$)

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) cos$\frac{1}{4}$ (A – B) + cos $\frac{1}{2}$(π – C)

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) cos $\frac{1}{4}$(A – B) + 1- 2 sin² $\frac{1}{4}$(π – C)

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) cos $\frac{1}{4}$(A – B) - 2 sin² $\frac{1}{4}$(π – C) + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [cos $\frac{1}{4}$(A – B) - sin$\frac{1}{4}$ (π – C)] + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [cos $\frac{1}{4}$(A – B) - cos {$\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{4}$(π – C)}] + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [cos $\frac{1}{4}$(A – B) - cos ($\frac{1}{4}$π + $\frac{C}{4}$)] + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [cos $\frac{1}{4}$(A – B) - cos$\frac{1}{4}$ (π + C)] + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [2 sin $\frac{1}{8}$(A – B + π + C) sin $\frac{1}{8}$(π + C − A + B)] + 1

= 2 sin$\frac{1}{4}$ (π – C) [2 sin$\frac{1}{8}$ (A + C + π – B) sin $\frac{1}{8}$(B + C + π – A)] + 1

= 2 sin$\frac{1}{4}$ (π – C) [2 sin $\frac{1}{8}$(π − B + π – B) sin $\frac{1}{8}$(π − A + π – A)] + 1

= 2 sin $\frac{1}{4}$(π – C) [2 sin $\frac{1}{4}$(π – B) sin $\frac{1}{4}$(π – A)] + 1

= 4 sin $\frac{1}{4}$(π – C) sin $\frac{1}{4}$(π – B) sin$\frac{1}{4}$ (π – A) + 1

= 1 + 4 sin$\frac{1}{4}$ (π – A) sin $\frac{1}{4}$(π – B) sin $\frac{1}{4}$(π – C). Terbukti.

 

Soal 4. Jika A + B + C = π tunjukkan bahwa,

cos $\frac{A}{2}$ + cos $\frac{B}{2}$ + cos $\frac{C}{2}$ = 4 cos $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(B + C) cos $\frac{1}{4}$(C + A)

Jawab:

A + B + C = π

$\frac{C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B)

Oleh karena itu, cos $\frac{C}{2}$ = cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{2}$(A + B)) = sin $\frac{1}{2}$(A + B)

Maka, cos $\frac{A}{2}$ + cos $\frac{B}{2}$ + cos $\frac{C}{2}$

= (cos $\frac{A}{2}$ + cos $\frac{B}{2}$) + cos $\frac{C}{2}$

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(A – B) + sin$\frac{1}{2}$ (A + B)

[Karena, cos $\frac{C}{2}$ = sin $\frac{1}{2}$(A + B)]

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(A – B) + 2 sin $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(A + B)

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B) [cos $\frac{1}{4}$(A – B) + sin $\frac{1}{4}$(A + B)]

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B) [cos $\frac{1}{4}$(A + B) + cos ($\frac{\pi }{2}$ – $\frac{1}{4}$(A + B))]

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B)$\left [ 2cos\frac{\frac{1}{4}(A-B)+\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}(A-B)}{2}.cos\frac{-\frac{1}{4}(A-B)+\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}(A-B)}{2} \right ]$

= 2 cos $\frac{1}{4}$(A + B) [2 cos$\frac{1}{4}$ (π – B) cos $\frac{1}{4}$(π – A)]

= 4 cos $\frac{1}{4}$(A + B) cos $\frac{1}{4}$(C + A) cos$\frac{1}{4}$ (B + C),

[Karena, π - B = A + B + C - B = A + C; Demikian pula, π - A = B + C]

= 4 cos $\frac{1}{4}$(A + B) cos$\frac{1}{4}$ (B + C) cos $\frac{1}{4}$(C + A). Terbukti.

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)