Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinus dan Cosinus (Soal dan Pembahasannya)

 Identitas yang melibatkan kuadrat sinus dan cosinus sudut rangkap dari sudut yang terlibat.

Untuk membuktikan identitas yang melibatkan kuadrat sinus dan cosinus kami menggunakan algoritma berikut.

Langkah I: Atur istilah identitas sehingga baik sin² A - sin² B = sin (A + B) sin (A - B) atau cos² A - sin² B = cos (A + B) cos (A - B) dapat digunakan.

Langkah II: Ambil faktor persekutuan di luar.

Langkah III: Nyatakan perbandingan trigonometri satu sudut di dalam tanda kurung ke dalam jumlah sudut.

Langkah IV: Gunakan rumus untuk mengubah jumlah menjadi hasil perkalian.

Contoh tentang Identitas yang melibatkan kuadrat sinus dan cosinus:

Contoh 1. Jika A + B + C = π, buktikan bahwa,

sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C.

Jawab:

sin² A + sin² B + sin² C

= $\frac{1}{2}$ (1 - cos² A) + $\frac{1}{2}$ (1- cos² B) + 1 - cos² C.

[Karena, 2 sin² A = 1 - cos 2A]

⇒ sin² A = $\frac{1}{2}$ (1 - cos 2A)

Demikian pula, sin² B = $\frac{1}{2}$ (1 - cos 2B)]

= 2 – $\frac{1}{2}$ (cos 2A + cos 2B) - cos² C

= 2 – $\frac{1}{2}$ ∙ 2 cos (A + B) cos (A - B) - cos² C.

= 2 + cos C cos (A - B) - cos² C,

[Karena, A + B + C = π ⇒ A + B = π - C.

Oleh karena itu, cos (A + B) = cos (π - C) = - cos C]

= 2 + cos C [cos (A - B) - cosC]

= 2 + cos C [cos (A - B) + cos (A + B)],

[karena, cos C = cos (A + B)]

= 2 + cos C [2 cos A cos B]

= 2 + 2 cos A cos B cos C. Terbukti.

 

Contoh 2. Jika A + B + C = $\frac{\pi }{2}$ buktikan bahwa,

cos² A + cos² B + cos² C = 2 + 2 sin A sin B sin C.

Jawab:

cos² A + cos² B + cos² C.

= $\frac{1}{2}$ (1+ cos 2A) + $\frac{1}{2}$ (1 + cos 2B) + cos² C

 [Karena, 2 cos² A = 1 + cos 2A

⇒ cos²A = $\frac{1}{2}$(1 + cos 2A)

Demikian pula, cos ²B = $\frac{1}{2}$ (1 + cos 2B)]

= 1 + $\frac{1}{2}$ (cos 2A + cos 2B) + cos² C.

= 1 + $\frac{1}{2}$ ∙ [2 cos (A + B) cos (A - B)] + 1- sin² C

= 2 + sin C cos (A - B) - sin² C

[A + B + C = $\frac{\pi }{2}$]

⇒ A + B = $\frac{\pi }{2}$ - C

Oleh karena itu, cos (A + B) = cos ($\frac{\pi }{2}$ - C) = sin C]

= 2 + sin C [cos (A - B) - sin C]

= 2 + sin C [cos (A - B) - cos (A + B)],

 [karena, sin C = cos (A + B)]

= 2 + sin C [2 sin A sin B]

= 2 + 2 sin A sin B sin C. Terbukti

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)