Identitas yang Melibatkan tangen dan cotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)

Identitas yang melibatkan tangen dan cotangen dari sudut rangkap

Untuk membuktikan identitas yang melibatkan tangen dan cotangen kita menggunakan algoritma berikut.

Langkah I: Nyatakan jumlah dua sudut dalam istilah sudut ketiga dengan menggunakan relasi yang diberikan.

Langkah II: Ambil tangen dari kedua sisi.

Langkah III: Perluas soal pada langkah II dengan menggunakan rumus untuk tangen sudut majemuk

Langkah IV: Gunakan perkalian silang dalam untuk memperoleh langkah III.

Langkah V: Susun suku-suku sesuai persyaratan dalam penjumlahan.

Jika identitas melibatkan cotangen, bagi kedua sisi identitas yang diperoleh pada langkah V dengan garis singgung semua sudut.

Contoh 1. 

Jika A + B + C = π, buktikan bahwa, 

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

Jawab:

A + B + C = π

⇒ A + B = π - C

Oleh karena itu, tan (A + B) = tan (π - C)

⇒ $\frac{tanA + tanB }{1 - tanAtanB}$= - tan C.

⇒ tan A + tan B = - tan C + tan A tan B tan C.

⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C. Terbukti.

Contoh 2.

Jika A + B + C = $\frac{\pi }{2}$ buktikan bahwa, cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C.

Jawab:

A + B + C = $\frac{\pi }{2}$, [Karena, A + B + C = $\frac{\pi }{2}$ ⇒ A + B = $\frac{\pi }{2}$ - C]

Oleh karena itu, cot (A + B) = cot ($\frac{\pi }{2}$ - C)

⇒ $\frac{cot Acot B - 1}{cot A + cot B}$= tan C.

⇒ $\frac{cot Acot B - 1}{cot A + cot B}$ = $\frac{1}{cotC}$ 

⇒ cot A cot B cot C - cot C = cot A + cot B

⇒ cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C. Terbukti.

Contoh 3. Jika A, B dan C adalah sudut-sudut segitiga, buktikan bahwa,

tan $\frac{A}{2}$ tan $\frac{B}{2}$ + tan $\frac{B}{2}$+ tan $\frac{C}{2}$ + tan $\frac{C}{2}$ tan $\frac{A}{2}$ = 1.

Jawab:

 Karena A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, maka kita memiliki, A + B + C = π

 $\frac{A}{2}$ + $\frac{B}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{C}{2}$

⇒ tan ($\frac{A}{2}$ + $\frac{B}{2}$) = tan ($\frac{\pi }{2}$ - $\frac{C}{2}$)

⇒ tan ($\frac{A}{2}$ + $\frac{B}{2}$) = cot $\frac{C}{2}$

⇒ (tan $\frac{A}{2}$ + tan $\frac{B}{2}$)/(1 – tan $\frac{A}{2}$ ∙ tan $\frac{B}{2}$) = 1/tan $\frac{C}{2}$

⇒ tan $\frac{C}{2}$ (tan $\frac{A}{2}$ + tan $\frac{B}{2}$) = 1 - tan $\frac{A}{2}$ ∙ tan $\frac{B}{2}$

⇒ tan $\frac{A}{2}$ tan $\frac{B}{2}$ + tan $\frac{B}{2}$ + tan $\frac{C}{2}$ + tan $\frac{C}{2}$ tan $\frac{A}{2}$ = 1. TERBUKTI

Identitas Trigonometri  

• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
• Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus  (Soal dan Pembahasannya)
• Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus  (Soal danPembahasannya)
• Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
• Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)