Teorema Sisa

Teorema Sisa (Dalil Sisa)

Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka diperoleh hubungan

f(x) = P(x).H(x) + S(x)

Jika f(x) sukubanyak berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n maka:

(1) H(x) adalah hasil bagi berderajat (m - n)

(2) S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m - 1)

a. Pembagian dengan (x - k)

Teorema Sisa (Dalil Sisa) 1:

Jika sukubanyak berderajat n dibagi dengan (x - k) maka sisanya S = f(k). Sisa f(k) adalah nilai sukubanyak untuk x = k yang dapat ditentukan dengan strategi subtitusi atau strategi skema (bagan)

b. Pembagian dengan (ax + b)

Teorema Sisa (Dalil Sisa) 2:

Jika sukubanyak berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya S = f(-$\frac{b}{a}$). Sisa f(-$\frac{b}{a}$) adalah nilai sukubanyak untuk x = -$\frac{b}{a}$yang dapat ditentukan dengan strategi subtitusi atau strategi skema (bagan)

Contoh yang diselesaikan pada Teorema Sisa:

Contoh 1. 

Temukan sisanya jika x³ + 3x² + 3x +1 dibagi

(i) x + 1

(ii) x - 12

(iii) x

(iv) x + γ

(v) 5 + 2x

 

Jawab:

(i) Misalkan f(x) = x³ + 3x² + 3x +1, pembaginya adalah x +1

Kemudian dengan Teorema Sisa kita dapatkan,

Sisa = f(-1) = (-1) 3 + 3 (-1) 2 + 3 (-1) +1

                  = -1 + 3 - 3 + 1  = 0

jadi, sisa pembagiannya S = 0

(ii) Misalkan f(x) = x³ + 3x² + 3x +1, pembaginya adalah x - 12

Kemudian dengan Teorema Sisa kita dapatkan,

Sisa = f (12) = (12) 3 + 3 (12) 2 + 3 (12) + 1

                  = 18 + 34 + 32 + 1

                  = 1 + 6 + 12 + 88 = 278

jadi, sisa pembagiannya S = 278

(iii) Misalkan f(x) = x³ + 3x² + 3x +1, pembaginya adalah x yaitu x - 0

Kemudian dengan Teorema Sisa kita dapatkan,

Sisa = f(0) = 03 + 3 ∙ 02 + 3 ∙ 0 + 1 = 1

jadi, sisa pembagiannya S = 1

(iv) Misalkan f (x) = x³ + 3x² + 3x +1, pembaginya adalah x + γ

Kemudian dengan Teorema Sisa kita dapatkan,

Sisa = f(-γ) = (-γ)³ + 3 (-γ)² + 3(-γ) +1 = -γ³ + 3γ² - 3γ +1

jadi, sisa pembagiannya S = -γ³ + 3γ² - 3γ +1

(v) Misalkan f (x) = x³ + 3x² + 3x +1, pembagi adalah 5 + 2x

Kemudian dengan Teorema Sisa kita dapatkan,

Sisa = f(-52) = (-52) 3 + 3 (-52) 2 + 3 (-52) + 1

                   = −1258 + 754 - 152 + 1

                   = −125 + 150−60 + 88 = -278

jadi, sisa pembagiannya S = -278

Contoh 2. 

Jika 3x² - 7x + 11 dibagi dengan x - 2 maka carilah sisanya.

Jawab:

Di sini p(x) = 3x² - 7x + 11, pembaginya adalah x - 2

Oleh karena itu, sisa = p(2) [Mengambil x = 2 dari x - 2 = 0]

                                   = 3(2)² - 7(2) + 11

                                   = 12 - 14 + 11 = 9

jadi, sisa pembagiannya S = 9

Contoh 3.

Jika pembagian x² + 3px – 2 dan x³ – 4p²x² + x + p dengan x + 1 masing-masing menghasilkan sisa yang sama, maka tentukan nilai p.

Jawab:

f(x) = x² + 3px – 2

f(–1) = (–1)² + 3p(–1) – 2 = –3p – 1

g(x) =  x³ – 4p²x² + x + p

g(–1) = (–1)³ – 4p²(–1)² + (–1) + p

= –4p² + p – 2

Karena f(–1) = g(–1), maka

–3p – 1 = –4p² + p – 2

4p² – 4p + 1 = 0

(2p – 1)² = 0

p = $\frac{1}{2}$

jadi, nilai p = $\frac{1}{2}$

Contoh 4.

Sukubanyak f(x) = 2x³ + x² + 4x + 4 dan g(x) = 2x³ + x² + 2x + a dibagi dengan 2x – 3 masing-masing menghasilkan sisa yang sama. Tentukan nilai a.

Jawab:

f($\frac{3}{2}$) = 2($\frac{3}{2}$)³ + ($\frac{3}{2}$)² + 4($\frac{3}{2}$) + 4

= $\frac{27}{4}$+ $\frac{9}{4}$ + 3 + a

= 19

g($\frac{3}{2}$) = 2($\frac{3}{2}$)³ + ($\frac{3}{2}$)² + 2($\frac{3}{2}$) + a

= $\frac{27}{4}$ + $\frac{9}{4}$ + 3 + a

= 12 + a

Karena f($\frac{3}{2}$) = g($\frac{3}{2}$), maka

19 = 12 + a

a = 7

Jadi, nilai a = 7

 

FAKTRORISASI:

☺Polinomial

☺Persamaan Polinomial dan Akarnya

☺Teorema Sisa

☺Contoh Soal pada Teorema Sisa danPembahasannya

☺Faktor Polinomial

☺Teorema Sisa