Logaritma Umum dan Logaritma Alami (natural)

Disini kita akan membahas tentang logaritma umum dan logaritma alami.

Dalam logaritma, kita telah melihat dan membahas bahwa nilai logaritmik dari bilangan positif tidak hanya bergantung pada bilangan tetapi juga pada basisnya; bilangan positif yang diberikan akan memiliki nilai logaritmik yang berbeda untuk basis yang berbeda.

Namun, dalam praktiknya, dua jenis logaritma berikut digunakan:

    (i) Logaritma natural atau Napierian

    (ii) Logaritma umum

Logaritma angka ke basis e dikenal sebagai Napierian atau logaritma Natural, dipakai dari nama John Napier; di sini bilangan e adalah bilangan yang tidak dapat dibandingkan dan sama dengan deret tak hingga:

    1 + ¹ / ₁₀ + ¹ / ₂₀ + ¹ / ₃₀ + ………… ∞

Logaritma angka ke basis 10 dikenal sebagai logaritma umum.

Sistem ini pertama kali diperkenalkan oleh Henry Briggs. Jenis ini digunakan untuk kalkulasi numerik. Basis 10 dalam logaritma umum biasanya dihilangkan.

Misalnya, log₁₀ 2 ditulis sebagai log 2.

Bagian selanjutnya membahas metode menentukan logaritma umum dari bilangan positif.

Karakteristik dan Mantis:

Sekarang, pertimbangkan sebuah angka (katakanlah 6.72) antara 1 dan 10. Jelas,

1 < 6,72 <10

Oleh karena itu, log 1 < log 6,72 < log 10

atau, 0 < log 6.72 < 1 [karena log 1 = 0 dan log 10 = 1]

Oleh karena itu, logaritma angka antara 1 dan 10 terletak di antara 0 dan 1. Yaitu,

log 6,72 = 0 + bagian desimal positif = 0 ∙ ………… ..

Kami sekarang mempertimbangkan angka (katakanlah 58,34) antara 10 dan 100. Jelas,

10 < 58,34 < 100

Oleh karena itu, log 10 < log 58.34 < log 100

atau, 1 < log 58.34 < 2 [Karena log 10 = 1 dan log 100 = 2]

Oleh karena itu, logaritma angka antara 10 dan 100 terletak antara 1 dan 2. Yaitu,

log 58,34 = 1 + bagian desimal positif = 1 ∙ ......

Demikian pula, logaritma angka (katakanlah 463) antara 100 dan 1000 terletak di antara 2 dan 3 (karena log 100 = 2 dan log 1000 = 3). Itu adalah,

log 463 = 2 + bagian desimal positif = 2 ∙ …….

Dengan cara yang sama, logaritma angka antara 1000 dan 10000 terletak di antara 3 dan 4 dan seterusnya.

Sekarang, pertimbangkan sebuah angka (katakanlah 0,54) antara 1 dan 0,1. Jelas,

0,1 < 0,54 < 1

Oleh karena itu, log 0,1 < log 0,54 < log 1

atau, -1 < log 0,54 < 0, [Karena log 1 = 0 dan log 0,1 = - 1]

Oleh karena itu, logaritma angka antara 0,1 dan 1 terletak di antara - 1 dan 0. Artinya,

log 0,54 = -0 ∙ ……. = - 1 + bagian desimal positif.

Kami sekarang mempertimbangkan angka (katakanlah 0,0252) antara 0,1 dan 0,01. Jelas,

0,01 < 0,0252 < 0,1

log 0,1 < log 0,0252 < log 0,1

atau, -2 < log 0.0252 < - 1 [karena log 0,1 = - 1 dan log 0,01 = -2]

Oleh karena itu, logaritma angka antara 0,01 dan 0,1 terletak di antara -2 dan - 1. Itu adalah,

log 0,0252 = - 1 ∙ ..... = - 2+ bagian desimal positif.

Demikian pula, logaritma angka antara 0,001 dan 0,01 terletak di antara - 3 dan -2 dan seterusnya.

Dari pembahasan di atas terlihat bahwa logaritma bilangan positif terdiri dari dua bagian. Satu bagian adalah integral yang mungkin nol atau bilangan bulat apa pun (positif atau negatif) dan bagian lainnya adalah desimal non-negatif.

Bagian integral dari logaritma umum disebut karakteristik dan bagian desimal non-negatif disebut mantissa.

Misalkan, log 39,2 = 1,5933, maka 1 adalah karakteristik dan 5933 adalah mantisa dari logaritma.

Jika log 0,009423 = - 3 + 0,9742, maka - 3 adalah karakteristik dan 0,9742 adalah mantissa dari logaritma.

Karena log 3 = 0,4771 dan log 10 = 1, maka karakteristik dari log 3 adalah 0 dan mantisa dari log 10 adalah 0.

 

Penentuan Ciri dan Mantis:

Karakteristik logaritma bilangan ditentukan dengan inspeksi dan mantissa dengan tabel logaritmik.

(i) Untuk mencari karakteristik logaritma bilangan yang lebih besar dari 1:

Karena, log 1 = 0 dan log 10 = 1, maka logaritma angka antara 1 dan 10 (yaitu, yang bagian integralnya hanya terdiri dari satu digit) terletak antara 0 dan 1.

Misalnya, setiap bilangan 5, 8.5, 9.64 terletak di antara 1 dan 10 (lihat bahwa bagian integral dari masing-masing bilangan tersebut hanya terdiri dari satu digit); karenanya logaritma mereka terletak antara 0 dan 1 yaitu,

log 5 = 0 + bagian desimal positif = 0 ∙ ……

log 8,5 = 0 + bagian desimal positif = 0 ∙… ..

log 9,64 = 0 + bagian desimal positif = 0 ∙… ..

Karenanya, karakteristik dari masing-masing log 5, log 8,5 atau log 9,64 adalah 0.

Sekali lagi, logaritma angka yang bagian integralnya hanya terdiri dari dua digit (yaitu, dari angka antara 10 dan 100) terletak di antara 1 dan 2 (log 10 = 1 dan log 100 = 2).

 

Misalnya, bagian integral dari masing-masing bilangan 36, 86,2, 90,46 terdiri dari dua digit; karenanya logaritma mereka terletak antara 1 dan 2, yaitu,

log 36 = 1 + bagian desimal positif = 1 ∙ ……

log 86,2 = 1 + bagian desimal positif = 1 ∙ ……

log 90,46 = 1 + bagian desimal positif = 1 ∙ ……

Oleh karena itu karakteristik dari masing-masing log 36, log 86,2 atau log 90,46 adalah 1.

 

Demikian pula ciri logaritma bilangan yang bagian integralnya terdiri dari 3 digit adalah 2. Secara umum ciri logaritma bilangan yang bagian integralnya terdiri dari n digit adalah n - 1. Dengan demikian, kita memiliki aturan sebagai berikut :

Karakteristik logaritma bilangan yang lebih besar dari 1 adalah positif dan kurang dari jumlah digit di bagian integral bilangan tersebut.

Angka (M)	8	32,64	459,6	7483
Jumlah digit di bagian integral dari M	1	2	3	4
Karateristik log M	1 – 1 = 0	2 – 1 = 1	3 – 1 = 2	4 – 1 = 3

 

(ii) Untuk mencari karakteristik logaritma bilangan yang terletak di antara 0 dan 1:

Karena, log 0,1 = -1 dan log 1 = 0, maka logaritma angka antara 0,1 dan 1 berada di antara -1 dan 0. Misalnya, masing-masing dari 0,5; 0,62, atau 0,976 berada di antara 0,1 dan 1; karenanya logaritma mereka berada antara -1 dan 0, yaitu,

log 0,5 = -0 ∙ ..... = -1 + bagian desimal positif = 1 ∙… ..

log 0,62 = -0 ∙…. = -1 + bagian desimal positif = 1 ∙… ..

log 0,976 = -0 ∙… .. = - 1 + bagian desimal positif = 1 ∙… ..

[Perhatikan bahwa bilangan antara (- 1) dan 0 berbentuk (-0, ……), seperti (-0.246),

(-0,594) dll. Tetapi (- 0,246) dapat dinyatakan sebagai berikut:

- 0,246 = -1 + 1 -0,246 = -1 + 0,754 = -1+ bagian desimal positif.

Ini adalah konvension untuk merepresentasikan mantissa dari logaritma angka sebagai positif.

Untuk alasan ini, bilangan yang berada di antara (- 1) dan 0 dinyatakan dalam bentuk di atas.

Sekali lagi, (-1) + .754 ditulis sebagai 1.754. Jelasnya, bagian integral dalam 1,754 adalah negatif [yaitu, (- 1)] tetapi bagian desimalnya positif. 1,754 dibaca sebagai batang 1 poin 7, 5, 4. Perhatikan bahwa, (-1,754) dan (1,754) tidak sama. 1,754 = - 1 + 0,754 tetapi (-1,754) = - 1 - 0,754]

Oleh karena itu, karakteristik dari masing-masing log 0,5, log 0,62 atau log 0,976 adalah (- 1).

Sekali lagi, angka yang memiliki satu nol di antara tanda desimal dan angka penting pertama terletak di antara 0,01 dan 0,1. Oleh karena itu, logaritmanya akan berada di antara (-2) dan (- 1) [Sejak, log 0,01 = - 2 dan log 0,1 = - 1].

Misalnya, masing-masing 0,04, 0,056, 0,0934 terletak di antara 0,01 dan 0,1 (lihat bahwa ada satu nol antara tanda desimal dan digit signifikan pertama di semua angka) sehingga, logaritmanya akan berada di antara (- 2) dan (- 1), yaitu

log 0,04 = - 1 ∙ ……. = -2 + bagian desimal positif = 2 ∙ ………….

log 0,056 = -1 ∙ ……. = -2 + bagian desimal positif = 2 ∙ ………… ..

log 0,0934 = -1 ∙ ……. = -2 + bagian desimal positif = 2 ∙ ………… ..

Begitu pula dengan ciri logaritma bilangan yang memiliki dua buah nol di antara tanda desimal dan bilangan signifikan pertama adalah (- 3). Secara umum ciri logaritma bilangan yang memiliki n nol antara tanda desimal dan bilangan signifikan pertama adalah - (n + 1).

Karenanya, kami memiliki aturan berikut:

Karakteristik logaritma bilangan positif kurang dari 1 adalah negatif dan secara numerik lebih besar 1 daripada jumlah nol antara tanda desimal dan bilangan signifikan pertama dari bilangan tersebut.

 

Contoh:

Angka (M)	0,5	0,024	0,0076	0,000948
Jumlah digit di bagian integral dari M	0	1	2	3
Karateristik log M	-(0 + 1) = -1	-(1 + 1) = -2	-(2 + 1) = -3	-(3 + 1) = -4

 

(iii) Untuk menemukan mantissa [menggunakan tabel-log]:

Setelah menentukan karakteristik logaritma bilangan positif dengan pemeriksaan, mantisanya ditentukan oleh tabel logaritmik. Di akhir buku diberikan tabel empat angka dan lima angka. Tabel empat angka memberikan nilai mantissa benar ke 4 tempat desimal.

Demikian pula, tabel log lima angka atau sembilan angka memberikan nilai mantissa benar ke lima atau sembilan tempat desimal. Dengan menggunakan salah satu dari mereka, kita dapat menemukan mantissa f logaritma persekutuan dari sebuah bilangan yang terletak antara 1 hingga 9999, Jika bilangan tersebut berisi lebih dari 4 digit signifikan maka untuk mencari mantisa dengan tabel, kita dapat memperkirakannya hingga 4 angka penting untuk perhitungan kasar atau kita dapat menggunakan prinsip bagian proporsional untuk perhitungan yang lebih tepat. Dalam tabel, mantissa benar ke tempat desimal tertentu diberikan tanpa koma desimal. Harus diingat bahwa mantisa logaritma persekutuan sebuah bilangan tidak bergantung pada posisi titik desimal dalam bilangan tersebut. Faktanya, titik desimal dari angka tersebut dibuang ketika mantissa ditentukan oleh tabel-log.

Misalnya, mantra dari masing-masing angka 6254, 625,4, 6,254 atau 0,006254 adalah sama.

Mengamati tabel log yang diberikan di akhir buku kita melihat bahwa itu dibagi menjadi empat bagian berikut:

 

  (a) di kolom paling kiri nomor yang berkisar dari 10 sampai 99;

  (b) angka mulai dari 0 sampai 9 di baris paling atas;

  (c) angka empat digit (dalam tabel log empat angka) di bawah setiap angka dari baris paling atas;

  (d) kolom selisih rata-rata.

Misalkan kita mencari mantisa dari (i) log 6 (ii) log 0.048 (iii) log 39,2 dan (iv) log 523,4 dengan tabel log.

 

(i) log 6

Karena mantisa dari log 6 dan log 600 sama, maka kita harus melihat mantisa dari log 600. Sekarang kita temukan angka 60 di kolom bagian (a) tabel; Selanjutnya kita bergerak secara horizontal ke kanan ke kolom yang dipimpin oleh 0 dari bagian (b) dan membaca angka 7782 di bagian (c) tabel (lihat tabel-log angka empat). Jadi mantissa dari log 6 adalah 0,7782.

 

(ii) log 0,048

Karena mantisa dari logaritma persekutuan tidak bergantung pada posisi titik desimal, maka untuk mencari mantisa dari log 0,048 kita akan mencari mantisa dari log 480. Seperti pada (i) pertama-tama kita temukan gambar 48 di kolom bagian (a) meja; Selanjutnya kita pindah secara horizontal ke kanan ke kolom yang dipimpin oleh 0 bagian (b) dan membaca angka 6812 pada bagian (c) tabel. Jadi mantra dari log 0,048 adalah 0,6812.

 

(iii) log 39,2

Demikian pula, untuk mencari mantisa dari log 39,2 kita akan mencari mantisa dari log 392. Seperti pada (i), kita temukan gambar 39 pada kolom bagian (a); Selanjutnya kita pindah secara horizontal ke kanan ke kolom yang dipimpin oleh 2 bagian (b) dan membaca angka 5933 pada bagian (c) tabel. Jadi mantra dari log 39,2 adalah 0,5933

 

(iv) log 523,4

Dengan cara yang sama, pertama-tama kita membuang koma desimal pada 523,4. Sekarang kita temukan gambar 52 di kolom bagian (a); Selanjutnya kita pindah secara horizontal ke kanan ke kolom yang dikepalai oleh 3 bagian (b) dan membaca angka 7185 pada bagian (c) tabel. Sekali lagi kita bergerak sepanjang garis horizontal yang sama lebih jauh ke kanan ke kolom yang dipimpin oleh 4 perbedaan rata-rata dan membaca angka 3 di sana. Jika 3 ini ditambah dengan 7185, maka kita akan mendapatkan mantissa dari log 523,4. Jadi mantra dari log 523,4 adalah 0,7188.

 

CATATAN:

Jelas, karakteristik dari log 6, log 0,048, log 39,2 dan log 523,4 masing-masing adalah 0, (-2), 1 dan 2.

Oleh karena itu, kami memiliki,

log 6 = 0,7782,

log 0,048 = 2,6812,

log 39,2 = 1,5933 dan

log 523,4 = 2,7188.

MATEMATIKA #LOGARITMA

☺Pengertian Logaritma

☺Konversi Bilangan Berpangkat (Eksponensial) dan Logaritma

☺Sifat-Sifat (Aturan) Logaritma dan Contoh Soalnya

☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 1

☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 2

☺Logaritma Umum dan Logaritma Alami (Natural)

☺Antilogaritma