Contoh soal 9:
Tunjukkan bahwa, 2log 10 - 8log 125 = 1.
Jawab:
Kita memiliki,
8log 125 = 8log 53 = 3 8log 5
= 3 ∙ (1/5log 8) = 3 ∙ (1 / 5log 23) = 3 ∙ {1/(3 5log 2)} = 2log 5
Oleh karena itu,
2log 10 - 8log 125 = 2log 10 - 8log 125 = 2log 10 - 2log 5
= 2log (10/5) = 2log 2 = 1. Terbukti.
Contoh soal 10:
Jika log x/(y - z) = log y/(z - x) = log z/(x - y)
tunjukkan bahwa, xxyyzz = 1
Jawab:
Misalkan, log x/(y - z) = log y/(z - x) = log z/(x - y) = k
Oleh karena itu, log x = k(y - z) ⇔ x log x = kx(y - z)
atau, log xx = kx (y - z) ... (1)
Demikian pula, log yy = ky(z - x) ... (2)
dan log zz = kz(x - y) ... (3)
Sekarang, menambahkan (1), (2) dan (3) kita dapatkan,
log xx + log yy + log zz = k(xy - xz + yz - xy + zx - yz)
atau, log (xxyyzz) = k × 0 = 0 = log 1
Oleh karena itu, xxyyzz = 1. Terbukti.
Contoh soal 11:
Jika a2 - x ∙ b5x = ax + 3 ∙ b3x tunjukkan bahwa, x log (b/a) = (1/2) log a.
Jawab:
a2 - x ∙ b5x = ax + 3 ∙ b3x
Oleh karena itu, b5x/b3x = ax + 3/a2 - x
atau, b5x - 3x = ax + 3 - 2 + x
atau, b2x = a2x + 1 atau, b2x = a2x ∙ a
atau, (b/a)2x = a
atau, log (b/a)2x = log a (mengambil logaritma di kedua sisi)
atau, 2x log (b/a) = log a
atau, x log (b/a) = (1/2) log a (Terbukti.)
Contoh soal 12:
Sekarang, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi yang kita dapatkan,
⇒ alog p = 1/(2 xlog a)
⇒ alog p = (1/2) alog x
⇒ alog p = alog x½
⇒ alog p = alog √x
Contoh soal 13:
Jawab:
Misalkan, alog x = p, alog y = q dan alog z = r
Kemudian, berdasarkan soal, y = a1/(1 – p) ... ……… .. (1)
dan z = a1/(1 – q) .............. (2)
Sekarang, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi (1) kita dapatkan,
alog y = alog a1/(1 - p)
atau, q = 1/(1 - p), [karena aloa a = 1]
Sekali lagi, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi (2) kita dapatkan,
alog z = alog a1/(1 - q)
atau, r = 1/(1 - q)
atau, 1 - q = 1/r
atau, 1 - 1/(1 – p) = 1/r
atau, 1 - 1/r = 1/(1 – p)
atau, (r - 1)/r = 1/(1 – p)
atau, 1 – p = r/(r – 1)
atau, p = 1 – r /(r – 1) = 1/(1 – r)
atau, alog x = 1/(1 – alog z)
Contoh soal 14:
Jika x, y, z berada di G. P., buktikan bahwa, alog x + alog z = 2/(ylog a) [x, y, z, a > 0).
Jawab:
Menurut soal, x, y, z ada di G. P.
Oleh karena itu, y/x = z/y atau, zx = y2
Sekarang, mengambil logaritma ke basis a (> 0) dari kedua sisi yang kita dapatkan,
alog zx = alog y2 [karena x, y, z > 0]
atau, alog x + alog z = 2 alog y
= 2/(ylog a) [karena alog y × ylog a = 1] Terbukti.
Contoh soal 15:
Selesaikan xlog 2 ∙ x/16log 2 = x/64log 2.
Jawab:
Misalkan, 2log x = a; maka, xlog 2 = 1/(2log x) = 1/a dan
x/16log 2 = 1/[2log (x/16)] = 1/(2log x - 2log 16) = 1/(2log x - 2log 24)
= 1/(a – 4) [karena, 2log 2 = 1]
Demikian pula, x/64log 2 = 1/[2log (x/64)] = 1/(2log x - 2log 64)
= 1/(a – 2log 26) = 1/(a - 6)
Oleh karena itu, persamaan yang diberikan menjadi,
1/a ∙ 1/(a – 4) = 1/(a – 6)
atau, a2 - 4a = a - 6
atau, a2 - 5a + 6 = 0
atau, a2 - 2a - 3a + 6 = 0
atau, a(a - 2) - 3(a - 2) = 0
atau, (a - 2)(a - 3) = 0
Oleh karena itu, a - 2 = 0 yaitu, a = 2
atau, a - 3 = 0 yaitu, a = 3
Ketika a = 2 maka, 2log x = 2 oleh karena itu, x = 22 = 4
Sekali lagi, jika a = 3 maka, 2log x = 3, oleh karena itu x = 23 = 8
Oleh karena itu solusi yang dibutuhkan adalah x = 4, x = 8.
MATEMATIKA #LOGARITMA
☺Konversi Bilangan Berpangkat (Eksponensial) dan Logaritma
☺Sifat-Sifat (Aturan) Logaritma dan Contoh Soalnya
☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 1
☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 2
☺Logaritma Umum dan Logaritma Alami (Natural)