Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 2

 Contoh soal 9:

Tunjukkan bahwa, ²log 10 - ⁸log 125 = 1.

Jawab:

Kita memiliki,

⁸log 125 = ⁸log 5³ = 3 ⁸log 5

= 3 ∙ (1/⁵log 8) = 3 ∙ (1 / ⁵log 2³) = 3 ∙ {1/(3 ⁵log 2)} = ²log 5

Oleh karena itu,

²log 10 - ⁸log 125 = ²log 10 - ⁸log 125 = ²log 10 - ²log 5

= ²log (10/5) = ²log 2 = 1. Terbukti.

 

Contoh soal 10:

Jika log x/(y - z) = log y/(z - x) = log z/(x - y)

tunjukkan bahwa, x^xy^yz^z = 1

Jawab:

Misalkan, log x/(y - z) = log y/(z - x) = log z/(x - y) = k

Oleh karena itu, log x = k^{(y - z)} ⇔ x log x = kx(y - z)

atau, log x^x = kx (y - z) ... (1)

Demikian pula, log y^y = ky(z - x) ... (2)

dan log z^z = kz(x - y) ... (3)

Sekarang, menambahkan (1), (2) dan (3) kita dapatkan,

log x^x + log y^y + log z^z = k(xy - xz + yz - xy + zx - yz)

atau, log (x^xy^yz^z) = k × 0 = 0 = log 1

Oleh karena itu, x^xy^yz^z = 1. Terbukti.

 

Contoh soal 11:

Jika a^{2 - x} ∙ b^5x = a^{x + 3} ∙ b^3x tunjukkan bahwa, x log (b/a) = (1/2) log a.

Jawab:

a^{2 - x} ∙ b^5x = a^{x + 3} ∙ b^3x

Oleh karena itu, b^5x/b^3x = a^{x + 3}/a^{2 - x}

atau, b^{5x - 3x} = a^{x + 3 - 2 + x}

atau, b^2x = a^{2x + 1} atau, b^2x = a^2x ∙ a

atau, (b/a)^2x = a

atau, log (b/a)^2x = log a (mengambil logaritma di kedua sisi)

atau, 2x log (b/a) = log a

atau, x log (b/a) = (1/2) log a (Terbukti.)

 

Contoh soal 12:

Sekarang, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi yang kita dapatkan,

⇒ ^alog p = 1/(2 ^xlog a)

⇒ ^alog p = (1/2) ^alog x

⇒ ^alog p = ^alog x^½

⇒ ^alog p = ^alog √x

Contoh soal 13:

Jawab:

Misalkan, ^alog x = p, ^alog y = q dan ^alog z = r

Kemudian, berdasarkan soal, y = a^{1/(1 – p)} ... ……… .. (1)

dan z = a^{1/(1 – q)} .............. (2)

Sekarang, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi (1) kita dapatkan,

^alog y = ^alog a^{1/(1 - p)}

atau, q = 1/^{(1 - p)}, [karena ^aloa a = 1]

Sekali lagi, mengambil logaritma ke basis a dari kedua sisi (2) kita dapatkan,

^alog z = ^alog a^{1/(1 - q)}

atau, r = 1/(1 - q)

atau, 1 - q = 1/r

atau, 1 - 1/(1 – p) = 1/r

atau, 1 - 1/r = 1/(1 – p)

atau, (r - 1)/r = 1/(1 – p)

atau, 1 – p = r/(r – 1)

atau, p = 1 – r /(r – 1) = 1/(1 – r)

atau, ^alog x = 1/(1 – ^alog z)

Contoh soal 14:

Jika x, y, z berada di G. P., buktikan bahwa, ^alog x + ^alog z = 2/(^ylog a) [x, y, z, a > 0).

Jawab:

Menurut soal, x, y, z ada di G. P.

Oleh karena itu, y/x = z/y atau, zx = y²

Sekarang, mengambil logaritma ke basis a (> 0) dari kedua sisi yang kita dapatkan,

^alog zx = ^alog y² [karena x, y, z > 0]

atau, ^alog x + ^alog z = 2 ^alog y

                    = 2/(^ylog a) [karena ^alog y × ^ylog a = 1] Terbukti.

Contoh soal 15:

Selesaikan ^xlog 2 ∙ ^x/16log 2 = ^x/64log 2.

Jawab:

Misalkan, ²log x = a; maka, ^xlog 2 = 1/(²log x) = 1/a dan

^x/16log 2 = 1/[²log (x/16)] = 1/(²log x - ²log 16) = 1/(²log x - ²log 2⁴)

             = 1/(a ​​– 4) [karena, ²log 2 = 1]

Demikian pula, ^x/64log 2 = 1/[²log (x/64)] = 1/(²log x - ²log 64)

= 1/(a ​​– ²log 2⁶) = 1/(a ​​- 6)

Oleh karena itu, persamaan yang diberikan menjadi,

1/a ∙ 1/(a ​​– 4) = 1/(a ​​– 6)

atau, a² - 4a = a - 6

atau, a² - 5a + 6 = 0

atau, a² - 2a - 3a + 6 = 0

atau, a(a - 2) - 3(a - 2) = 0

atau, (a - 2)(a - 3) = 0

Oleh karena itu, a - 2 = 0 yaitu, a = 2

atau, a - 3 = 0 yaitu, a = 3

Ketika a = 2 maka, ²log x = 2 oleh karena itu, x = 2² = 4

Sekali lagi, jika a = 3 maka, ²log x = 3, oleh karena itu x = 2³ = 8

Oleh karena itu solusi yang dibutuhkan adalah x = 4, x = 8.

MATEMATIKA #LOGARITMA

☺Pengertian Logaritma

☺Konversi Bilangan Berpangkat (Eksponensial) dan Logaritma

☺Sifat-Sifat (Aturan) Logaritma dan Contoh Soalnya

☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 1

☺Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya 2

☺Logaritma Umum dan Logaritma Alami (Natural)

☺Antilogaritma