Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi berikut ini diperoleh dari definisi turunan pertama fungsi

a. Turunan dari beberapa Fungsi Khusus

Turunan Fungsi Konstan

Jika f(x) = c, dengan c adalah kontanta real, maka turunan f(x) adalah f’(x) = 0.

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{c-c}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}0=0$. Terbukti

Turunan Fungsi Identitas

Jika f(x) = x (fungsi identitas), maka turunan f(x) adalah f’(x) = 1.

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x+h-x}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}1=1$. Terbukti

Turunan Fungsi Pangkat

Jika f(x) = axⁿ, dengan a ≠ 0, a adalah konstanta real, dan n bilangan real, maka turunan f(x) adalah f’(x) = anx^{n – 1} .

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{c(x+h)^n-cx^n}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{c\left ( x^n +nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+...+nxh^{n-1}+h^n \right )-cx^n}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{ch\left ( nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1} \right )}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}c\left ( nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1} \right )$

$= cnx^{n-1}$. Terbukti

b. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi

Jika f(x) = cu(x), dengan c adalah konstanta dan u(x) adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x), maka turunan dari f(x) adalah f’(x) = cu’(x).

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{cu(x+h)-cu(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$

$f'(x) =cu'(x)$. Terbukti

c. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-fungsi

Jika f(x) = u(x) ± v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan u’(x) dan v’(x), maka turunan f(x) adalah f’(x) = u’(x) ± v’(x).

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h)+v(x+h)-[u(x)+v(x)]}{h}$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left [\frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \frac{v(x+h)-v(x)}{h}  \right ]$

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$=u'(x) + v'(x)$. Terbukti

d. Turunan Hasil Kali Fungsi-fungsi 

👉 Klik disini

e. Turunan Hasil Bagi Fungsi-fungsi

👉 Klik disini

f. Turunan Fungsi f(x) = uⁿ(x)

👉 Klik disini

Contoh Soal 1

Carilah turunan dari setiap fungsi berikut:

a. f(x) = x3  b. f(x) = -x12 c. f(x) = 3x8 d. f(x) = -10x7 e. f(x) = $\pi $x16

f. f(x) = $-\sqrt{3}$x20 g. f(x) = $\frac{15}{x^3}$ h. f(x) = $8x^{\frac{5}{2}}$ i. f(x) = $2\sqrt[4]{x^{3}}$ j. f(x) = $\frac{5}{2\sqrt[3]{x^{2}}}$

Jawab:

a. f(x) = x³ 

⇒ f'(x) = (1)(3)x^3-1 = 3x²  

b. f(x) = -x¹²

⇒ f'(x) = (-1)(12)x^12-1 = -12x¹¹

c. f(x) = 3x⁸

⇒ f'(x) = (3)(8)x^8-1 = 24x⁷

d. f(x) = -10x⁷

⇒ f'(x) = (-10)(7)x^7-1 = -70x⁶

e. f(x) = $\pi $x¹⁶

⇒ f'(x) = ($\pi $)(16)x^16-1 = 12$\pi $x¹⁵

f. f(x) = $-\sqrt{3}$x²⁰

⇒ f'(x) = ($-\sqrt{3}$)(20)x^20-1 = $-20\sqrt{3}$x¹⁹

g. f(x) = $\frac{15}{x^3}$ = 15x^-3

⇒ f'(x) = (15)(-3)x^-3-1 = -45x^-4 = $-\frac{45}{x^4}$

h. f(x) = $8x^{\frac{5}{2}}$

⇒ f'(x) = (8)($\frac{5}{2}$)$x^{\frac{5}{2}-1}$ 

⇒ f'(x) = 20$x^{\frac{3}{2}}$ = $20x\sqrt{x}$

i. f(x) = $2\sqrt[4]{x^{3}}$ = $2x^{\frac{3}{4}}$

⇒ f'(x) = (2)($\frac{3}{4}$)$x^{\frac{3}{4}-1}$ 

⇒ f'(x) = $\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{4}}$ = $\frac{3}{2\sqrt[4]{x}}$

⇒ f'(x) = $\frac{3}{2x}\sqrt[4]{x^3}$

j. f(x) = $\frac{5}{2\sqrt[3]{x^{2}}}$ = $\frac{5}{2}x^{-\frac{2}{3}}$

⇒ f'(x) = $-\frac{5}{3}x^{-\frac{2}{3}-1}$

⇒ f'(x) = $-\frac{5}{3}x^{-1\frac{2}{3}}$ = $\frac{5}{3x\sqrt[3]{x^2}}$

⇒ f'(x) = $-\frac{5}{3x^2}\sqrt[3]{x}$

Contoh Soal 2

Carilah turunan f'(x) dari setiap fungsi berikut.

a. f(x) = (x2 + x)$\sqrt{x}$  b. f(x) = $\left ( \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2$

c. f(x) = $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$ d. f(x) = $\frac{x^2+4}{\sqrt{x}}$

Jawab:

a. f(x) = (x2 + x)$\sqrt{x}$ = $x^2\sqrt{x}+x\sqrt{x}=x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{3}{2}}$ ⇒ f'(x) = $\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}+\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}$ ⇒ f'(x) = $\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ ⇒ f'(x) = $\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt{x}$ b. f(x) = $\left ( \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2$ = x - 2 + $\frac{1}{x}$ = x - 2 + x-1 ⇒ f'(x) = 1 - 0 - x-2 ⇒ f'(x) = 1 - $\frac{1}{x^2}$ c. f(x) = $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$ = x - x2 ⇒ f'(x) = 1 - 2x d. f(x) = $\frac{x^2+4}{\sqrt{x}}$ = $x^{\frac{3}{2}}+4x^{-\frac{1}{2}}$ ⇒ f'(x) = $\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2x^{-1\frac{1}{2}}$ ⇒ f'(x) = $\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{2}{x\sqrt{x}}$