Turunan Hasil Kali Fungsi-fungsi

• Jika f(x) = u(x).v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x) dan v’(x), maka turunan f’(x) adalah

            f'(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)

• Jika f(x) = u(x).v(x).w(x), dengan u(x), v(x) dan w(x) masing-masing adalah fungsi dari x yang memiliki turunan u’(x), v’(x) dan w’(x) maka turunan f’(x) adalah

           f'(x) = u’(x).v(x).w(x) + u(x).v’(x).w(x) + u(x).v(x).w’(x)

Bukti:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left [\frac{u(x+h)\times v(x+h)-u(x)\times v(x)}{h}  \right ]$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left [\frac{u(x+h)\times v(x+h)-u(x)\times v(x)+u(x+h)\times v(x)-u(x)\times v(x)}{h}  \right ]$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left [ u(x+h)\times \frac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\times \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \right ]$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}u(x+h)\times \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0}v(x)\times \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$

$f'(x) =u(x)\times v'(x)+u'(x)\times v(x) $. Terbukti

Contoh Soal 1

Carilah turunan fungsi f'(x) dari setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = (x³ - 9x + 4)(10x + 2)

b. f(x) = ($\sqrt{x}$- x²)(x³ + 8)

c. f(x) = (x⁴ + 1)(x³ + 3)(x² - 4)

Jawab:

kita selesaikan soal ini dengan menggunakan konsep turunan hasil kali yaitu jika $f(x) =u(x)\times v(x)$ maka turunannya adalah $f'(x) =u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x) $

a. f(x) = (x² - 9x + 4)(10x + 2)

u = (x² - 9x + 4) → u' = 2x - 9

v = 10x + 2 → v' = 10, maka 

$f'(x) =u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x) $

$f'(x) =(2x - 9)\times (10x + 2)+(x^2 - 9x + 4)\times (10) $

f'(x) = 20x² - 4x - 90x - 18 + 10x² - 90x + 40

f'(x) = 30x² - 176x + 22

b. f(x) = ($\sqrt{x}$- x²)(x³ + 8)

u = $\sqrt{x}$- x² → u' = $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} -2x$

v = x³ + 8 → v' = 3x², maka 

$f'(x) =u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x) $

$f'(x) =(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} -2x)(x^3 + 8)+(\sqrt{x} - x^2)(3x^2) $

$f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+4x^{-\frac{1}{2}}-2x^4-16x+3x^{\frac{5}{2}}-3x^4$

$f'(x)=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{\sqrt{x}}-5x^4-16x$

$f'(x)=\frac{7}{2}x^2\sqrt{x}+\frac{4}{x}\sqrt{x}-5x^4-16x$

c. f(x) = (x⁴ + 1)(x³ + 3)(x² - 4)

u = x⁴ + 1 → u' = 4x³ 

v = x³ + 3 → v' = 3x²

w = x² - 4 → w' = 2x maka 

f'(x) = u’(x).v(x).w(x) + u(x).v’(x).w(x) + u(x).v(x).w’(x)

f'(x) = (4x³)(x³ + 3)(x² - 4) + (x⁴ + 1)(3x²)(x² - 4) + (x⁴ + 1)(x³ + 3)(2x)

f'(x) = 4x⁸ - 16x⁶ + 12x⁵ - 48x³ + 3x⁸ - 12x⁶ + 3x⁴ - 12x² + 2x⁸ + 6x⁵ + 2x⁴ + 6x

f'(x) = 9x⁸ - 28x⁶ + 18x⁵ + 5x⁴ - 48x³ - 12x²  + 6x