Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar

Soal 1: Soal SBMPTN 2018 KODE 527 

Diketahui $f(x) = ax^2 - 4x + 1$ dan $g(x) = 3x^2 + ax + 2$. Jika h(x) = f(x) + g(x) dan k(x) = f(x)g(x) dengan h'(x) = -3, maka nilai k'(0) adalah . . . .

(A) −7
(B) −4
(C) −3
(D) 0

(E) 2

Pembahasan:

Dari soal diberikan h(x) = f(x) + g(x) dan h’(x) = -3

Untuk f(x) = ax² – 4x + 1 maka f(0) = 1

f’(x) = 2ax – 4 maka f’(0) = -4

untuk g(x) = 3x² + ax + 2 maka g(0) = 2

g’(x) = 6x + a maka g’(0) = a

h(x) = f(x) + g(x)

h’(x) = f’(x) + g’(x)

h’(0) = f’(0) + g’(0)

Dari soal diberikan h’(x) = -3

–3 = –4 + a

a = –3  + 4 = 1

dari soal diberikan

k(x) = f(x)g(x)

k’(x) = f’(x)g(x) + g’(x)f(x)

k’(0) = f’(0)g(0) + g’(0)f(0)

k’(0) = (–4)(2) + (1)(1) = –7

Jadi, jawabannya adalah (A) –7

Soal 2: Soal UMB 2008 KODE 270 

Jika $f(x) = \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+1$, maka $f'\left (\frac{1}{2}  \right )$ = . . . .

(A) −20
(B) −16
(C) −12
(D) −8

(E) −4

Pembahasan

$f(x) = \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+1$

= $x^{-2} - x^{-1}+1$

$f'(x) = -2x^{-2-1} -(-1)x^{-1-1}+0$

=$-2x^{-3}+x^{-2}$

$f'\left ( \frac{1}{2} \right )=-2\left ( -\frac{1}{2} \right )^{-3}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}$

$=-2\left ( 2^{-1} \right )^{-3}+\left ( 2^{-1} \right )^{-2}$

$=-2\left ( 2 \right )^{3}+\left ( 2 \right )^{2}$

= −16 + 4 = −12

Jadi, jawabannya (C), −12

Soal 3: Soal SBMPTN 2018 KODE 526 

Diketahui $f(x) = ax^2 + 2x + 4$ dan $g(x) = x^2 + ax - 2$. Jika $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ dengan h'(0) = 1, maka nilai a adalah . . . .

(A) $2$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $0$
(D) $-\frac{1}{2}$

(E) $-2$

Pembahasan

untuk $f(x) = ax^2 + 2x + 4$ maka f(0) = 4

$f'(x) = 2ax + 2$ maka f'(0) = 2

untuk $g(x) = x^2 + ax - 2$ maka g(0) = -2

$g'(x) = 2x + a$ maka g'(0) = a

$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

$h'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$

$h'(0)=\frac{f'(0)g(0)-g'(0)f(0)}{g^2(0)}$

$1=\frac{2(-2)-0(a)}{(-2)^2}$

$1=\frac{-4-4a}{4}$

$4=-4-4a$

$8=-4a$

$a=\frac{8}{-4}=-2$

Jadi, jawabannya (E) -2</

Soal 4: Soal SPMB 2004 REGIONAL 1 

Turunan pertama dari fungsi $f(x) = (x-1)^2 (x+1)$ adalah f'(x) = . . . .

(A) $x^2-2x+1$
(B) $x^2+2x+1$
(C) $3x^2-2x-1$
(D) $3x^2-2x+1$

(E) $3x^2+2x+1$

Pembahasan

Cara I

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x) = (x-1)^2 (x+1)$, kita ubah fungsi f(x) ini menjadi 

$f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x+1)$ 

$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1$

$f(x) = x^3 - x^2 - x + 1$, maka

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$

Cara II

Kita gunakan aturan turunan perkalian yaitu jika f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv', maka dari fungsi $f(x) = (x-1)^2 (x+1)$, 

u = $(x-1)^2$ → u' = 2(x - 1)

v = (x + 1) → v' = 1, sehingga

f'(x) = u'v + uv'

f'(x) = 2(x - 1)(x + 1) + $(x-1)^2$

       = 2$(x^2 - 1)$ + $(x^2 - 2x + 1)$

       = $2x^2 - 2 + x^2 - 2x + 1$

f'(x) = $3x^2 - 2x - 1$

Jadi, jawabanya, (C) f'(x) = $3x^2 - 2x - 1$

Soal 5: Soal UTUL UGM 2005 KODE 821 

Turunan pertama dari $\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$ adalah . . . .

(A) $\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

(B) $\frac{x^2+21}{x^2\sqrt{x}}$ 

(C) $\frac{x^2-21}{2x^2\sqrt{x}}$ 

(D) $\frac{x^2}{x^2\sqrt{x}+21}$ 

(E) $\frac{x^2+21}{2x\sqrt{x}}$

Pembahasan:

Untuk menentukan turunan fungsi $\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$, kita gunakan konsep turunan fungsi pembagian yaitu jika, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka $f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

fungsi $\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}=\frac{x^2-7}{x.x^{\frac{1}{2}}}=\frac{x^2-7}{x^{\frac{3}{2}}}$

$u = x^2-7$ → u' = 2x

$v= x^{\frac{3}{2}}$ → $v'=\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, maka 

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

$f'(x) = \frac{(2x)\left (x^{\frac{3}{2}}  \right )-(x^2-7)\left (\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}  \right )}{(x^{\frac{3}{2}})^2}$

$f'(x) = \frac{2x^{\frac{5}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^3}$

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^3}$

$f'(x) = \frac{\left (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}  \right )(x^2+21)}{x^3}$

$f'(x) = \frac{(x^2+21)}{2x^{\frac{5}{2}}}$

$f'(x) = \frac{(x^2+21)}{2x^2x^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) =\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

Jadi, jawabannya (A) $\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

Soal 6: Soal SNMPTN 2007 KODE 541

Turunan pertama fungsi $y=\frac{2}{\sqrt{(3x^2+5)^3}}$ adalah y' = . . . .

(A) $\frac{-3}{\sqrt{(3x^2+5)^5}}$ 

(B) $\frac{-18x}{\sqrt{(3x^2+5)^5}}$ 

(C) $\frac{-3}{\sqrt{3x^2+5}}$ 

(D) $\frac{-18x}{\sqrt{3x^2+5}}$ 

(E) $\frac{18x}{\sqrt{3x^2+5}}$

Pembahasan:

Untuk menentukan turunan fungsi $y=\frac{2}{\sqrt{(3x^2+5)^3}}$, kita gunakan konsep turunan fungsi pembagian yaitu jika, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka $f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

fungsi $y=\frac{2}{\sqrt{(3x^2+5)^3}}=\frac{2}{(3x^2+5)^\frac{3}{2}}$

u = 2 → u' = 0

$v=(3x^2+5)^\frac{3}{2}$ → $v'=\frac{3}{2}(3x^2+5)^{\frac{1}{2}}(6x)=9x(3x^2+5)^{\frac{1}{2}}$, maka 

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

$f'(x) = \frac{(0)(3x^2+5)^\frac{3}{2} -(2)\left [9x(3x^2+5)^{\frac{1}{2}}\right ]}{\left [(3x^2+5)^\frac{3}{2}\right ]^2}$

$f'(x)=\frac{-18x(3x^2+5)^{\frac{1}{2}}}{(3x^2+5)^3}$

$f'(x)=\frac{-18x}{(3x^2+5)^{\frac{5}{2}}}$

$f'(x)=\frac{-18x}{(\sqrt{3x^2+5})^5}$

Jadi, jawabannya (B) $\frac{-18x}{(\sqrt{3x^2+5})^5}$

Soal 7: Soal SNMPTN 2008 KODE 301

Jika $f(x)=\frac{bx-a}{x+b}$, memenuhi f(1) = 1 dan f'(1) = 2, maka f(2) = . . . .

(A) −5
(B) −21
(C) −1
(D) 2

(E) 5

Pembahasan:

untuk f(1) = 1, kita dapatkan 

$f(x)=\frac{bx-a}{x+b}$

$f(1)=\frac{b(1)-a}{1+b}$

$1=\frac{b-a}{1+b}$

$1+b=b-1$

$a=-1$

kita gunakan aturan jika, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka $f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

maka untuk fungsi $f(x)=\frac{bx-a}{x+b}$

u = bx-a → u' = b

v = x + b → v' = 1

sehingga 

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

$f'(x) = \frac{b(x+b)-(bx-a)(1)}{(x+b)^2}$

$f'(x) = \frac{bx+b^2-bx-1}{(x+b)^2}$

$f'(x) = \frac{b^2-1}{(x+b)^2}$

$f'(1) = \frac{b^2-1}{(1+b)^2}$

$2 = \frac{b^2-1}{(x+b)^2}$

$2 = \frac{(b+1)(b-1)}{(1+b)^2}$

$2 = \frac{b-1}{1+b}$

$2+2b = b-1$

$b=-3$

untuk a = -1 dan b = -3, kita peroleh

$f(x)=\frac{bx-a}{x+b}$

$f(x)=\frac{-3x+1}{x-3}$

$f(2)=\frac{-3(2)+1}{2-3}$

$f(2)=\frac{-5}{-1}$

$f(2)=5$

Jadi, jawabannya (E) 5

Soal 8: Soal SBMPTN 2014 KODE 651

Diketahui f(0) = 1 dan f'(0) = 2. Jika $g(x) = \frac{1}{(2f(x)-1)^3}$ maka g'(0) = . . . .

(A) −12
(B) −10
(C) −6
(D) 8

(E) 12

Pembahasan:

kita gunakan aturan jika, $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka $g'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

untuk $g(x) = \frac{1}{(2f(x)-1)^3}$

u = 1 → u' = 0

$v = (2f(x)-1)^3$ → $v'=3(2f(x)-1)^2 . 2f'(x)$

$g'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2 (x)}$

$g'(x) = \frac{(0)(2f(x)-1)^3-(1)3(2f(x)-1)^2 . 2f'(x)}{(2f(x)-1)^6}$

$g'(x) = \frac{-6f'(x)-(2f(x)-1)^2}{(2f(x)-1)^6}$

$g'(0) = \frac{-6f'(0)-(2f(0)-1)^2}{(2f(0)-1)^6}$

$g'(0) = \frac{-6(2)-(2(-1)-1)^2}{(2(1)-1)^6}$

$g'(0) = \frac{-12}{1}$

$g'(0) = -12$

Jadi, jawabannya (A) -12

Soal 9: Soal SBMPTN 2014 KODE 677

Jika m dan n bilangan real dan fungsi $f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5$ memenuhi f'(1) = f'(-5) = 0, maka 3m - n = . . . .

(A) −6
(B) −4
(C) −2
(D) 2

(E) 4

Pembahasan:

$f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5$

$f'(x) = 3mx^2 + 4x - n $

$f'(1) = 3m(1)^2 + 4(1) - n $

$0 = 3m + 4 - n $ . . . . . . . . . .(1)

$f'(5) = 3m(5)^2 + 4(5) - n$

$0 = 75m + 20 - n$ . . .. . . . . (2)     

persamaan (1) dan (2) dikurangkan maka kita peroleh

     

$-72m = 24$

$m = \frac{24}{-72}$

$m = -\frac{1}{3}$ dan n = 3

maka

3m - n = 3$\left ( -\frac{1}{3} \right )$ - 3

3m - n = -4

Jadi, jawabannya adalah (B) -4

Soal 10: Soal SBMPTN 2018 KODE 527 

Jika $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$ dengan f(0) = f'(0) dan f'(-1) = 1, maka a + b = . . . .

(A) 4
(B) 2
(C) 0
(D) −2

(E) 2

Pembahasan:

dengan menggunakan aturan turunan pembagian yaitu jika $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, maka turunan fungsi f(x) ini diberikan oleh $f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

untuk fungsi $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$

u = ax + b → u' = a

v = $x^2 + 1$ → v' = 2x, maka dari $f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$f'(x)=\frac{(a)(x^2 + 1)-(ax+b)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x)=\frac{ax^2 + a-2ax^2 -2bx}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(0)=\frac{a(0)^2 + a-2a(0)^2 -2b(0))}{((0)^2 + 1)^2}$

$f'(0)=\frac{a}{1}=a$ dan 

$f'(-1)=\frac{a(-1)^2 + a-2a(-1)^2 -2b(-1))}{((-1)^2 + 1)^2}$

$1=\frac{a+a-2a+2b}{4}$

$f'(0)=\frac{a(0)^2 + a-2a(0)^2 -2b(0))}{((0)^2 + 1)^2}$

$4=2b$

$f'(0)=\frac{a(0)^2 + a-2a(0)^2 -2b(0))}{((0)^2 + 1)^2}$

$b=2$

dari soal diketahui f(0) = f'(0), maka

$f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$

$f(0) = \frac{a(0) + b}{(0)^2 + 1}$

$f(0) = \frac{b}{1} = f'(0) = a$

$a=b = 2$

maka a + b = 2 + 2 = 4

Jadi, jawabannya (A) 4

 Soal 11: Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan di R sehingga $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)(g(x)-g(x+h))}{k^2h}=\frac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x)(f(x) -f(x+h))}{(k^2-1)h}=\frac{x-1}{k+1}$ untuk k > 0, maka . . . .

(1) $(fg)'(0)=2k-1$
(2) $(fg)'(c)=(2k-1)(c-1)$
(3) $(fg)'(x+1)=(1-2k)x$
(4) $(fg)'(x^2)=(1-2k)(x^2-1)$

Pembahasan:

Dari soal diketahui $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)(g(x)-g(x+h))}{k^2h}=\frac{x-1}{k}$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-f(x+h)(g(x+h)-g(x))}{k^2h}=\frac{x-1}{k}$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-f(x+h)}{k^2}.\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{x-1}{k}$

$\frac{-f(x+0)}{k^2}.g'(x)=\frac{x-1}{k}$

$\frac{-f(x)}{k^2}.g'(x)=\frac{x-1}{k}$

$-f(x).g'(x)=k^2.\frac{x-1}{k}$

$f(x).g'(x)=-k(x-1)$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x)(f(x) -f(x+h))}{(k^2-1)h}=\frac{x-1}{k+1}$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-g(x)(f(x+h) -f(x))}{(k^2-1)h}=\frac{x-1}{k+1}$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-g(x)}{(k^2-1)}.\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h) -f(x)}{h}=\frac{x-1}{k+1}$

$\frac{-g(x)}{(k^2-1)}.f'(x)=\frac{x-1}{k+1}$

$-g(x).f'(x)=(k^2-1).\frac{x-1}{k+1}$

$g(x).f'(x)=-(k-1)(k-1)$

Pernyataan (1)

$(fg)'(0)=f'(0).g(0)+f(0).g'(0)$

$(fg)'(0)=-0(0-1)(k-1)-(0-1)k$

$(fg)'(0)=k-1+k$

$(fg)'(0)=2k-1$

Pernyataan (2)

$(fg)'(c)=f'(c).g(c)+f(c).g'(c)$

$(fg)'(c)=-(c-1)(k-1)-(c-1)k$

$(fg)'(c)=-(c-1)(k-1+k)$

$(fg)'(c)=-(c-1)(2k-1)$

Pernyataan (3)

$(fg)'(x+1)=f'(x+1).g(x+1)+f(x+1).g'(x+1)$

$(fg)'(x+1)=-(x+1-1)(k-1)-(x+1-1)k$

$(fg)'(x+1)=-x(k-1)+(x)k)$

$(fg)'(x+1)=-x(2k-1)$

$(fg)'(x+1)=x(1-2k)$

Pernyataan (4)

$(fg)'(x^2)=f'(x^2).g(x^2)+f(x^2).g'(x^2)$

$(fg)'(x^2)=-(x^2-1)(k-1)-(x^2-1)k$

$(fg)'(x^2)=-(x^2-1)(k-1+k)$

$(fg)'(x^2)=-(x^2-1)(2k-1)$

Share

Silakan Klik Jika beri Komentar