Rumus Umum Turunan Fungsi dan Pembahasan Soal

Definisi:

Misalkan fungsi y = f(x) terdefinisi (diferensiabel) untuk setiap nilai x dalam daerah asal D_f = {x|x ∊ R}, maka turunan f(x) terhadap x tentukan oleh rumus:

$f'(x) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ atau $f'(x) =\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

Jika nilai limit itu ada

Catatan:

• $f'(x) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dikenal sebagai rumus umum turunan fungsi f(x)
• f’(x) (dibaca: “f aksen x” dinamakan fungsi turunan atau fungsi derivatif dari fungsi f(x) terhadap x. Kita dapat menentukan nilai f’(c) dengan cara mensubtitusikan x = c ke f’(x).
• Upaya mencari f’(x) dari f(x) dinamakan operasi penurunan atau pendiferensialan fungsi f(x).

Lambang atau Notasi Turunan

Lambang lain untuk turunan adalah y', $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}f(x)$  (atau$\frac{df}{dx}$),  D_xy  (atau Dy), D_xf(x) atau (Df). Lambang $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df}{dx}$dikenal sebagai notasi Leibniz diambil dari nama lengkap seorang pakar matematika berkebangsaan Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibniz (1647 – 1716).

Sedangkan lambang atau notasi turunan f'(x)   diperkenalkan oleh seorang pakar matematika berkebangsaan Perancis yang bernama Joseph Louis Lagrange (1738 – 1813). 

Notasi Leibniz $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df}{dx}$ dapat dijabarkan sebagai berikut.

Perubahan pada variabel x sebesar  𝜟x  mengakibatkan perubahan nilai fungsi f(x) sebesar 𝜟y = 𝜟f = f( x + 𝜟x) – f(x) maka:

 $f'(x) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Selanjutnya dengan mengganti h dengan 𝜟x  , diperoleh:

 $f'(x) =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Notasi $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ditulis dengan lambang $\frac{dy}{dx}$ dan notasi $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$ ditulis dengan lambang $\frac{df}{dx}$.

Catatan:

1. Turunan pertama fungsi  f (x) = x² dapat dituliskan sebagai berikut.

a. f’(x) = 2x  b. f’ = 2x c. $\frac{df}{dx}$ = 2x d. Df = D(x2) = 2x

e. $\frac{d}{dx}(x^2)$= 2x f. Dxf(x) = Dx(x2) = 2x g. $\frac{dx^2}{dx}$ = 2x

2. Turunan pertama fungsi y = x²  dapat ditulis sebagai berikut.

a. y’(x) = 2x  b. $\frac{dy}{dx}$= 2x c. $\frac{dx^2}{dx}$ = 2x

d. $\frac{d}{dx}(x^2)$= 2x  e. Dxy = Dx(x2) = 2x  f. Dy = D(x2) = 2x

Contoh Soal 1

Carilah turunan f’(x) untuk setiap fungsi f’(x) berikut ini.

(a) f(x) = 2x + 3

(b) f(x) = x² – x + 3

(c) f(x) = $\frac{2}{x-3}$

(d) f(x) = $\sqrt{x^2+1}$ 

Jawab:

(a) f(x) = 2x + 3

Cara I:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h) + 3-(2x+3)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2x+2h + 3-2x-3)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}2 = 2$

Pembahasan Cara II di Sini :

Cara II:

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{2t +3-(2x+3)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{2t+ 3-2x-3)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{2(t-x))}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}2 = 2$

(b) f(x) = x² – x + 3

Cara I:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)^2-(x+h)+2-(x^2 -x+2)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x-h+2-x^2+x-2}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2hx+h^2-h}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}(2x+h-1)$

$f'(x) = 2x+0-1=2x-1$

Pembahasan Cara II di Sini :

Cara II:

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{t^2-t+2-(x^2 -x+2)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{t^2+x^2-t+x}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{(t-x)(t+x)-(t-x)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}(t+x-1)$

$f'(x) = x+x-1=2x-1$

(c) f(x) = $\frac{2}{x-3}$

Cara I:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{x+h-3}-\frac{2}{x-3}}{h}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-2h}{h(x+h-3)(x-3)}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h-3)(x-3)}$

$f'(x) =\frac{-2}{(x+0-3)(x-3)}$

$f'(x) = \frac{-2}{(x-3)^2}$

Pembahasan Cara II di Sini:

 Cara II:

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{\frac{2}{t-3}-\frac{2}{x-3}}{t-x}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{2x-6-2t+6}{(t-x)(t-3)(x-3)}$

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{-2(t-x)}{(t-3)(x-3)(t-x)}$

$f'(x) =\frac{-2}{(x-3)(x-3)}$

$f'(x) = \frac{-2}{(x-3)^2}$

(d) f(x) = $\sqrt{x^2+1}$ 

Cara I:

$f'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{h}$

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{h}\times \frac{\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2hx+h^2+1-x^2-1}{h\left ( \sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2hx+h^2}{h\left ( \sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2x+h}{\left ( \sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\frac{2x+0}{\left ( \sqrt{(x+0)^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Cara II:

$f'(x) = \lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

$f'(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{\sqrt{t^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{t-x}$

$f'(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{\sqrt{t^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{t-x}\times \frac{\sqrt{t^2+1}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{t^2+1}+\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{t^2+1-x^2-1}{(t-x)\left ( \sqrt{t^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{(t-x)(t+x)}{\left ((t-x) \sqrt{t^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\frac{t+x}{\left ( \sqrt{t^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\frac{x+x}{\left ( \sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1} \right )}$

$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$