Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri
Soal 1: SBMPTN 2017 Kode 106/124
(A) $2sin \ x \ .cos(sin^2x)$
(B) $2sin \ 2x \ .cos(sin^2x)$
(C) $sin^ \ x \ .cos(sin^2x)$
(D) $sin^2 \ 2x \ .cos(sin^2x)$
(E) $sin \ 2x \ .cos(sin^2x)$
PEMBAHASAN:
Untuk menyelesaian soal ini, kita terapkan aturan rantai:
$f'(x)=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv}.\frac{dv}{du}.\frac{du}{dx}$
- untuk $sin(sin^2x)$
Misalkan: $u=sin \ x \ $, maka $\frac{du}{dx}=cos \ x\ $
- $untuk f(x) = sin \ u^2 \ $ sehingga $\frac{dv}{du}=2u$
Misalkan: $v=u^2$, maka $\frac{dv}{du}=2v $
- $untuk f(x) = sin v$ maka $\frac{df}{dv}=cos \ v \ $
Sehingga,
$=cos \ v \ . \ 2u \ . \ cos \ x \ $
$=cos \ u^2 \ . \ 2.sin \ x \ . \ cos \ x \ $
$=cos \ (sin^2 \ x \ ). \ 2sin \ x \ . \ cos \ x \ $
$=cos \ (sin^2 \ x \ ). \ sin \ 2x \ $
$=sin \ 2x \ cos \ (sin^2 \ x \ ) $
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 2: SPMB 2005 Regional II
(A) $\frac{1-sin \ x \ }{sin^2x}$
(B) $\frac{1-sin \ x \ }{cos \ x \ -1}$
(C) $\frac{2}{cos \ x \ +1}$
(D) $\frac{2}{sin \ x \ -1}$
(E) $\frac{1}{cos \ x \ -1}$
PEMBAHASAN:
Misalkan:
Misalkan:
$u = 1 + cos \ x \ $ maka $u' = -sin \ x \ $
$v=sin \ x \ $, maka $v'=cos \ x \ $
$f(x)= \frac{u}{v}$
$f'(x)= \frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f'(x)= \frac{(-sin \ x \ )(sin \ x \ )-(1+ cos \ x \ )(cos \ x \ )}{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-sin^2 \ x \ - cos \ x \ - cos^2 \ x \ )}{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-(sin^2 \ x \ + cos^2 \ x \ )- cos \ x \ }{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-1- cos \ x \ }{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-(1+ cos \ x \ )}{1-cos^2 \ x \ }$
$v=sin \ x \ $, maka $v'=cos \ x \ $
$f(x)= \frac{u}{v}$
$f'(x)= \frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f'(x)= \frac{(-sin \ x \ )(sin \ x \ )-(1+ cos \ x \ )(cos \ x \ )}{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-sin^2 \ x \ - cos \ x \ - cos^2 \ x \ )}{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-(sin^2 \ x \ + cos^2 \ x \ )- cos \ x \ }{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-1- cos \ x \ }{sin^2 \ x \ }$
$= \frac{-(1+ cos \ x \ )}{1-cos^2 \ x \ }$
$= \frac{-(1+ cos \ x \ )}{(1-cos \ x \ )(1+cos \ x \ )}$
$= \frac{-1}{(1-cos \ x \ )}$
$= \frac{1}{(cos \ x \ -1)}$
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 3: SPMB 2005 Kode 520 Regional II
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) $-1\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{2} + \sqrt{3}$
(E) $-1\frac{1}{2} + \sqrt{3}$
PEMBAHASAN:
Misalkan:
$u = sin \ x \ $ maka $u' = cos \ x \ $
$v=cos \ 3x \ $, maka $v'=-3sin \ 3x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x)= (cos \ x \ )(cos \ 3x \ )+(sin \ x \ )(-3sin \ 3x \ )$
$f'(x)= cos \ x \ . \ cos \ 3x \ - sin \ x \ . \ 3sin \ 3x \ $
$v=cos \ 3x \ $, maka $v'=-3sin \ 3x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x)= (cos \ x \ )(cos \ 3x \ )+(sin \ x \ )(-3sin \ 3x \ )$
$f'(x)= cos \ x \ . \ cos \ 3x \ - sin \ x \ . \ 3sin \ 3x \ $
maka
$f'(\frac{1}{6}\pi)= cos \ (\frac{1}{6}\pi) \ . \ cos \ 3(\frac{1}{6}\pi) \ - sin \ (\frac{1}{6}\pi) \ . \ 3sin \ 3(\frac{1}{6}\pi) \ $
$= cos \ 30^0 \ . \ cos \ 90^0 \ - 3sin \ 30^0 \ . sin \ 90^0 \ $
$= \frac{1}{2}\sqrt{3} \ . \ 0 - 3(\frac{1}{2}) \ . \ (1)$
$f'(\frac{1}{6}\pi)= cos \ (\frac{1}{6}\pi) \ . \ cos \ 3(\frac{1}{6}\pi) \ - sin \ (\frac{1}{6}\pi) \ . \ 3sin \ 3(\frac{1}{6}\pi) \ $
$= cos \ 30^0 \ . \ cos \ 90^0 \ - 3sin \ 30^0 \ . sin \ 90^0 \ $
$= \frac{1}{2}\sqrt{3} \ . \ 0 - 3(\frac{1}{2}) \ . \ (1)$
$= -\frac{3}{2}$
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 4: UM UGM 2005 Kode 621
(A) $\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+ \frac{3\pi}{4} \right )$
(B) $\frac{\sqrt{2}}{4}\left ( 1+ \frac{3\pi}{4} \right )$
(C) $\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1- \frac{3\pi}{4} \right )$
(D) $\frac{\sqrt{2}}{2}\left (\frac{3\pi}{4}-1 \right )$
(E) $-\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+ \frac{3\pi}{4} \right )$
PEMBAHASAN:
Misalkan:
$u = x$ maka $u' = 1$
$v=sin \ 3x \ $, maka $v'=3cos \ 3x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x)= (1)(sin \ 3x \ )+(x)(3cos \ 3x \ )$
$f'(x)= sin \ 3x \ + 3x.cos \ 3x \ $
$v=sin \ 3x \ $, maka $v'=3cos \ 3x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x)= (1)(sin \ 3x \ )+(x)(3cos \ 3x \ )$
$f'(x)= sin \ 3x \ + 3x.cos \ 3x \ $
maka
$f'(\frac{\pi}{4})= sin \ 3(\frac{\pi}{4}) \ + 3(\frac{\pi}{4}).cos \ 3(\frac{\pi}{4}) \ $
$= sin \ 135^0 \ + 3(\frac{\pi}{4}) . cos \ 135^0 \ $
$= \frac{\sqrt{2}}{2} + 3(\frac{\pi}{4})(-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(\frac{\pi}{4})(\frac{\sqrt{2}}{2})$
$f'(\frac{\pi}{4})= sin \ 3(\frac{\pi}{4}) \ + 3(\frac{\pi}{4}).cos \ 3(\frac{\pi}{4}) \ $
$= sin \ 135^0 \ + 3(\frac{\pi}{4}) . cos \ 135^0 \ $
$= \frac{\sqrt{2}}{2} + 3(\frac{\pi}{4})(-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(\frac{\pi}{4})(\frac{\sqrt{2}}{2})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1- \frac{3\pi}{4} \right )$
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 5: UMPTN 1994 Rayon B
Jika $f(x) = x cos \ x \ $ maka $f'(x+\frac{\pi}{2})=...$(A) $-sin \ x \ -xcos \ x \ + \frac{\pi}{2}cos \ x \ $
(B) $-sin \ x \ -xcos \ x \ - \frac{\pi}{2}cos \ x \ $
(C) $-sin \ x \ +xcos \ x \ - \frac{\pi}{2}cos \ x \ $
(D) $-sin \ x \ +xcos \ x \ + \frac{\pi}{2}cos \ x \ $
(E) $-cos \ x \ -xsin \ x \ + \frac{\pi}{2}cos \ x \ $
PEMBAHASAN:
Karena $f(x) = cos \ (x+\frac{\pi}{2}) \ = -sin \ x \ $ dan $f(x) = sin \ (x+\frac{\pi}{2}) \ = cos \ x \ $, maka
$f(x) = x cos \ x \ $
$f(x+\frac{\pi}{2}) =(x+\frac{\pi}{2}) cos \ (x+\frac{\pi}{2}) \ $
$f(x+\frac{\pi}{2}) =-(x+\frac{\pi}{2}) sin \ x \ $, maka
Misalkan:
$u = -(x+\frac{\pi}{2})$ maka $u' = -1$
$v=sin \ x \ $, maka $v'=cos \ x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x+\frac{\pi}{2})= (-1)(sin \ x \ )+[-(x+\frac{\pi}{2})].cos \ x \ )$
$f'(x+\frac{\pi}{2})= -sin \ x \ -(x+\frac{\pi}{2}).cos \ x \ $
$f'(x+\frac{\pi}{2})= -sin \ x \ -xcos \ x \ - \frac{\pi}{2}.cos \ x \ $
Pilihan jawabannya adalah (B)
$v=sin \ x \ $, maka $v'=cos \ x \ $
$f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$
$f'(x+\frac{\pi}{2})= (-1)(sin \ x \ )+[-(x+\frac{\pi}{2})].cos \ x \ )$
$f'(x+\frac{\pi}{2})= -sin \ x \ -(x+\frac{\pi}{2}).cos \ x \ $
$f'(x+\frac{\pi}{2})= -sin \ x \ -xcos \ x \ - \frac{\pi}{2}.cos \ x \ $
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 6: SIMAK UI 2012 Kode 523
(A) $sin \ 2x \ $
(B) $-cos \ 2x \ $
(C) $2cos \ 2x \ $
(D) $2sin \ x \ $
(E) $-2 cos \ x \ $
PEMBAHASAN:
Bentuk $\lim_{x\rightarrow \infty }h\left \{ f'\left ( x+\frac{1}{h} \right )-f'(x) \right \}$ ini sama dengan turunan kedua dari fungsi $f(x)$ yaitu $f''(x)$. Maka
$f(x) = sin^2 \ x \ $
$f'(x) = 2sin \ x \ cos \ x \ $ (turunan pertama)
Untuk menentukan turunan keduanya kita gunakan konsep $f(x)= u \ . \ v$
$f'(x)= u'v+uv'$.
$f'(x)= u'v+uv'$.
Misalkan:
$u = 2sin \ x \ $ maka $u' = 2 cos \ x \ $
$v=cos \ x \ $, maka $v'=-sin \ x \ $
$v=cos \ x \ $, maka $v'=-sin \ x \ $
$f''(x) = (2cos \ x \ )(2cos \ x \ )+(2sin \ x \ )(-sin \ x \ )$
$f''(x) = 2cos^2 \ x \ - 2sin^2 \ x \ $
$f''(x) = 2(cos^2 \ x \ - sin^2 \ x \ )$
$f''(x) = 2cos \ 2x \ $
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 7: SBMPTN 2015 Kode 541
(A) $\frac{4\pi}{12} <x< \frac{13\pi}{12}$
(B) $\frac{5\pi}{24} <x< \frac{13\pi}{24}$
(C) $\frac{7\pi}{6} <x< \frac{11\pi}{6}$
(D) $\frac{5\pi}{24} <x< \frac{11\pi}{24}$
(E) $\frac{5\pi}{12} <x< \frac{11\pi}{12}$
PEMBAHASAN:
Pertama kita tentukan terlebih dahulu turunan pertama dari fungsi $f(x) = \sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}$, yaitu
$f'(x) = \frac{1}{2}(-2cos \ 2x \ . \ 2sin \ 2x \ + 1)(cos^2 \ 2x \ +x)^{-\frac{1}{2}}$
$f'(x) = \frac{(-2\times 2cos \ 2x \ . \ sin \ 2x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}}$
$f'(x) = \frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}}$
Agar $f(x)$ naik $f'(x)>0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}} >0$
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:
$f'(x)=0$
$f'(x) = \frac{1}{2}(-2cos \ 2x \ . \ 2sin \ 2x \ + 1)(cos^2 \ 2x \ +x)^{-\frac{1}{2}}$
$f'(x) = \frac{(-2\times 2cos \ 2x \ . \ sin \ 2x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}}$
$f'(x) = \frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}}$
Agar $f(x)$ naik $f'(x)>0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}} >0$
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:
$f'(x)=0$
$\frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}} =0$
$-2sin \ 4x \ + 1=0$
$2sin \ 4x \ = 1$
$sin \ 4x \ = \frac{1}{2}$
$sin \ 4x \ = sin \ (\frac{\pi}{6}) \ $
$4x = \frac{\pi}{6}+k.2 \pi$
$x = \frac{\pi}{24}+k.\frac{\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{24}, \frac{13\pi}{12}, \frac{25 \pi}{24}, . . .$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6}+k.2 \pi$
$4x = \frac{5\pi}{6} + k.2 \pi$
$x = \frac{5\pi}{24}+k.\frac{\pi}{2}$
$x = \frac{5\pi}{24}, \frac{17\pi}{24}, \frac{29 \pi}{24}, . . .$
Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai dan menetukan daerah atau batasan nilai yang mengakibatkan $f'(x)>0$.
(A) $-sin \ (k) \ $
(B) $cos \ (k) \ $
(C) $-sec^2 \ (k) \ $
(D) $sec^2 \ (k) \ $
(E) $cot \ (k) \ $
PEMBAHASAN:
Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $f(x) = |tan \ x \ |$ dapat kita tuliskan,
$|tan(x)|=\left\{\begin{matrix} tan (x) & untuk \ tan(x)\geqslant 0 \\ -tan (x) & untuk \ tan(x)< 0 \end{matrix}\right.$
Untuk $\frac{\pi}{2}<k<\pi$ maka $x$ berada di kuardan II diperoleh $tan \ (x) \ $ bernilai negatif sehingga $f(x)=-tan \ (x) \ $
Laju perubahan $f(x)$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\frac{df(x)}{dx}=-sec^2 \ x \ $, dan laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$ adalah $\frac{df(k)}{dx}=-sec^2 \ k \ $
Pilihan jawabannya adalah (C)
(A) $\frac{1}{4}cos^3 \ x \ $
(B) $-\frac{1}{4}cos^3 \ x \ $
(C) $\frac{1}{4}sin^3 \ x \ $
(D) $-4sin \ x \ cos \ x \ $
(E) $-4cos^3 \ x \ sin \ x \ $
PEMBAHASAN:
Misalkan $u =cos \ x \ $ maka $\frac{du}{dx} =-sin \ x \ $
dan $y =cos^4x = u^4 $ maka $\frac{dy}{du} =4u^3$
$\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$
$\frac{dy}{dx} =-sin \ x \ . 4u^3$
$\frac{dy}{dx} =-4cos^3 \ x \ .sin \ x \ $
Pilihan jawabannya adalah (E)
(A) $0$
(B) $4 sin^2 \ x \ $
(C) $4sin^2 \ x \ -2 $
(D) $4cos^2 \ x \ -2$
(E) $4cos^2 \ x \ -4$
PEMBAHASAN:
$y =(sin \ x \ + cos \ x \ )^2$
$y' =2(sin \ x \ + cos \ x \ )(cos \ x \ - sin \ x \ )$
$-2sin \ 4x \ + 1=0$
$2sin \ 4x \ = 1$
$sin \ 4x \ = \frac{1}{2}$
$sin \ 4x \ = sin \ (\frac{\pi}{6}) \ $
$4x = \frac{\pi}{6}+k.2 \pi$
$x = \frac{\pi}{24}+k.\frac{\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{24}, \frac{13\pi}{12}, \frac{25 \pi}{24}, . . .$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6}+k.2 \pi$
$4x = \frac{5\pi}{6} + k.2 \pi$
$x = \frac{5\pi}{24}+k.\frac{\pi}{2}$
$x = \frac{5\pi}{24}, \frac{17\pi}{24}, \frac{29 \pi}{24}, . . .$
Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai dan menetukan daerah atau batasan nilai yang mengakibatkan $f'(x)>0$.
Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A)$, $(B)$, $(C)$, $(D)$, $(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(B)$ $\frac{5\pi}{24} <x< \frac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.
Kita uji nilai $x$ dari $\frac{5\pi}{24} <x< \frac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\frac{12}{24}\pi=\frac{1}{2}\pi$, maka
$f'(x) = \frac{-2sin \ 4x \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2x \ +x}}$
$f'(x) = \frac{-2sin \ 4(\frac{1}{2}\pi) \ + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2(\frac{1}{2}\pi) \ +(\frac{1}{2}\pi)}}$
$f'(x) = \frac{0 + 1)}{2\sqrt{cos^2 \ 2(\frac{1}{2}\pi) \ +(\frac{1}{2}\pi)}} > 0$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 8: SIMAK UI 2010 Kode 205
(A) $-sin \ (k) \ $
(B) $cos \ (k) \ $
(C) $-sec^2 \ (k) \ $
(D) $sec^2 \ (k) \ $
(E) $cot \ (k) \ $
PEMBAHASAN:
Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $f(x) = |tan \ x \ |$ dapat kita tuliskan,
$|tan(x)|=\left\{\begin{matrix} tan (x) & untuk \ tan(x)\geqslant 0 \\ -tan (x) & untuk \ tan(x)< 0 \end{matrix}\right.$
Untuk $\frac{\pi}{2}<k<\pi$ maka $x$ berada di kuardan II diperoleh $tan \ (x) \ $ bernilai negatif sehingga $f(x)=-tan \ (x) \ $
Laju perubahan $f(x)$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\frac{df(x)}{dx}=-sec^2 \ x \ $, dan laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$ adalah $\frac{df(k)}{dx}=-sec^2 \ k \ $
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 9: SPMB 2002 Regional I
(A) $\frac{1}{4}cos^3 \ x \ $
(B) $-\frac{1}{4}cos^3 \ x \ $
(C) $\frac{1}{4}sin^3 \ x \ $
(D) $-4sin \ x \ cos \ x \ $
(E) $-4cos^3 \ x \ sin \ x \ $
PEMBAHASAN:
Misalkan $u =cos \ x \ $ maka $\frac{du}{dx} =-sin \ x \ $
dan $y =cos^4x = u^4 $ maka $\frac{dy}{du} =4u^3$
$\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$
$\frac{dy}{dx} =-sin \ x \ . 4u^3$
$\frac{dy}{dx} =-4cos^3 \ x \ .sin \ x \ $
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 10: SBMPTN 2002 Regional I
(A) $0$
(B) $4 sin^2 \ x \ $
(C) $4sin^2 \ x \ -2 $
(D) $4cos^2 \ x \ -2$
(E) $4cos^2 \ x \ -4$
PEMBAHASAN:
$y =(sin \ x \ + cos \ x \ )^2$
$y' =2(sin \ x \ + cos \ x \ )(cos \ x \ - sin \ x \ )$
$y' =2(cos^2 \ x \ - sin^2 \ x \ )$
$y' =2(cos^2 \ x \ -(1- cos^2 \ x \ ))$
$y' =2(2cos^2 \ x \ - 1)$
$y' =4cos^2 \ x \ - 2$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Pilihan jawabannya adalah (D)
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!