Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar

Soal 1: SBMPTN 2018 Kode 527

Hasil dari $\int \left ( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right )dx$, adalah . . .
(A) $\frac{16}{x}+2x^3 +C$
(B) $\frac{16}{x}-2x^3 +C$
(C) $-\frac{16}{x}-x^3 +C$
(D) $-\frac{8}{x}+2x^3 +C$
(E) $\frac{8}{x}-2x^3 +C$

PEMBAHASAN:

Kita gunakan aturan dasar integral untuk menyelesaikan soal ini yaitu $\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, $n\neq -1$.

$\int \left ( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right )dx$
$=\int \left ( \frac{-16}{x^2}-\frac{6x^4}{x^2} \right )dx$
$=\int (-16x^{-2}-6x^{4-2})dx$
$=\int (-16x^{-2}-6x^{2})dx$
$=\frac{-16}{-2+1}x^{-2+1}-\frac{6}{2+1}x^{2+1}+C$
$=16x^{-1}-2x^3+C$
$=\frac{16}{x}-2x^3+C$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 2: SNMPTN 2011 Kode 678

Diketahui $\int f(x)dx=\frac{1}{4}ax^2+bx+c$. Jika $f(a)=\frac{a+2b}{2}$ dan $f(b)=6$, maka fungsi $f(x) = . . .$
(A) $\frac{1}{2}x+4$
(B) $2x+4$
(C) $\frac{1}{2}x-4$
(D) $x+4$
(E) -$\frac{1}{2}x+4$

PEMBAHASAN:
Untuk $\int f(x)dx=\frac{1}{4}ax^2+bx+c$ dapat kita tentukan $f(x)dx=\frac{1}{2}ax+b$

Untuk $f(a)=\frac{a+2b}{2}$, maka berlaku:
$f(x)dx=\frac{1}{2}ax+b$
$f(a)dx=\frac{1}{2}a(a)+b$
$\frac{a+2b}{2}=\frac{1}{2}a(a)+b$
$a+2b=a^2+2b$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0$ atau $a=1$

Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $f(x)=\frac{1}{2}ax+b$ menjadi $f(x)=\frac{1}{2}x+b$.

Untuk $f(b)= 6$, kita peroleh:
$f(x)dx=\frac{1}{2}x+b$
$f(b)dx=\frac{1}{2}b+b$
$6=\frac{3}{2}b$
$b=4$

Kita dapatkan $f(x)=\frac{1}{2}x+4$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 3: SBMPTN 2018 Kode 526

Hasil dari $\int \left (2x- \frac{1}{2x}  \right )^2 dx$ adalah . . .
(A) $\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2x}-2x+C$
(B) $\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2x}-2x+C$
(C) $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2x}+2x+C$
(D) $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2x}-2x+C$
(E) $\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{2x}-2x+C$

PEMBAHASAN:
$\int \left (2x- \frac{1}{2x}  \right )^2 dx$
$=\int \left (4x^2- 2+\frac{1}{4x^2}  \right ) dx$
$=\int \left (4x^2- 2+4x^{-2}  \right ) dx$
$=\frac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\frac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1}+C$
$=\frac{4}{3}x^3-2x-\frac{1}{4x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 4: SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 226

$\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}dx=...$
(A) $3x-2x\sqrt{x}+C$
(B) $2x-3x\sqrt{x}+C$
(C) $3x\sqrt{x}-2x+C$
(D) $2x\sqrt{x}-3x+C$
(E) $3x+2x\sqrt{x}+C$

PEMBAHASAN:
$\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}dx$
$=\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}} \times \frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}dx$
$=\int \frac{3(1-x)(1-\sqrt{x})}{1-x}dx$
$=3\int (1-\sqrt{x})dx$
$=3\left ( x-\frac{2}{3}x\sqrt{x} \right )+C$
$=3x-2x\sqrt{x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 5: SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 229

$\int 9x^2\sqrt{x^3-1}dx=...$
(A) $\frac{1}{3}(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(B) $(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(C) $2(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(D) $3(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(E) $9(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$

PEMBAHASAN:
Misalkan:
$u=x^3-1$ maka $\frac{du}{dx}=3x^2⇒du=3x^2dx$

Soal ini dapat kita tuliskan menjadi

$\int 9x^2\sqrt{x^3-1}dx$
$=\int 3.3x^2\sqrt{x^3-1}dx$
$=\int 3\sqrt{x^3-1}.3x^2dx$
$=\int 3\sqrt{u}du$
$=3.\frac{2}{3}.(u)\sqrt{u}+C$
$=3.\frac{2}{3}.(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
$=2(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 6: SBMPTN 2018 Kode 527

$\int \left (\frac{x^4-1}{x^3+x}  \right )dx=...$
(A) $\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{x}-2x+C$
(B) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-2x+C$
(C) $\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{x}+2x+C$
(D) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-x+C$
(E) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-x+C$

PEMBAHASAN:
$\int \left (\frac{x^4-1}{x^3+x}  \right )dx=...$
$=\int \left (\frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x(x^2+1)}  \right )^2dx$
$=\int \left (\frac{(x^2-1) }{x }  \right )^2dx$
$=\int \left (\frac{x^2}{x }-\frac{1}{x}  \right )^2dx$
$=\int \left (x-x^{-1}  \right )^2dx$
$=\int \left (x^2-2+x^{-2}  \right )dx$
$=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$
$=\frac{1}{3}x^3-2x-\frac{1}{x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 7: UTBK SBMPTN 2019  

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx= . . .$
(A) $-5$
(B) $-3$
(C) $0$
(D) $4$
(E) $6$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan:

• $\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$ 
• $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$ 

$\int_{b}^{a}f(x)dx=5⇒\int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0⇒\int_{a}^{c}f(x)dx=0$

maka
$\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
$\int_{a}^{c}f(x)dx=-5+0=-5$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 8: UTBK SBMPTN 2019  

Jika diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap. Jika nilai $\int_{-5}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$ dan $\int_{2}^{4}f(x)dx=2$, maka $\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx= . . .$

(A) $-7$
(B) $-3$
(C) $0$
(D) $3$
(E) $7$

PEMBAHASAN:
Konsep: Pada fungsi genap berlaku:

• $f(-x)=f(x)$
• Ciri fungsi genap adalah: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$
• Bentuk grafik fungsi simetris dengan pusat sumbu $y$

Pada soal disampaikan bawah $f(x)$ merupakan fungsi genap dan $3x^2$ adalah fungsi genap karena $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:

$\int_{-5}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$
$2\int_{0}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$
$\int_{0}^{5}(f(x)+3x^2)dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ \int_{0}^{5}3x^2dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ |3x^2|_{0}^{5}dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ 125=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx=5$

$\int_{0}^{5}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{4}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$5=\int_{0}^{2}f(x)dx+2+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$5-2=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$3=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 9: UTBK SBMPTN 2019  

Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int_{-3}^{6}f(x)dx=-6$, maka $\int_{3}^{9}f(x)dx= . . .$

(A) $-4$
(B) $-6$
(C) $-8$
(D) $-10$
(E) $-12$

PEMBAHASAN:
Konsep:

• $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$ 
• Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx= \int_{a}^{b}f(x)dx$
• Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)'$

Karena $f(x+3)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $3$, sehingga berlaku:

$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{6}f(x)dx$

dari soal

$\int_{-3}^{6}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{6}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3-3}^{6-3}f(x+3)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx=-6$
$3\int_{-3}^{0}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx=-2$

maka:

$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{6}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{6}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3-3}^{6-3}f(x+3)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{0}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= -2+(-2)=-4$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 10: SBMPTN 2018 Kode 420

Nilai $\int_{0}^{2}(3x+9)\sqrt{x^2+6x}dx$ adalah . . .

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

PEMBAHASAN:
Misalkan: 
$u = x^2+6x$
$\frac{du}{dx} = 2x+6$
$\frac{du}{dx} = 2(x+3)$
$\frac{du}{2} = (x+3)$

maka

$\int_{0}^{2}(3x+9)\sqrt{x^2+6x}dx$
$=\int_{0}^{2}3(x+3)\sqrt{x^2+6x}dx$
$=\int_{0}^{2}3\sqrt{x^2+6x}(x+3)dx$
$=\int_{0}^{2}3\sqrt{u}\frac{du}{2}$
$=\frac{3}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{u}du$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}u\sqrt{u} \right ]_{0}^{2}$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}(x^2+6x)\sqrt{x^2+6x} \right ]_{0}^{2}$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}((2)^2+6(2))\sqrt{(2)^2+6(2)} \right ]_{0}^{2}-[0]$
$=16\sqrt{16}=64$

Pilihan jawabannya adalah (E)