Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga
Soal 1: SPMB 2005
$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2 + x +1)}=. . .$(A) $-8$
(B) $-4$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $4$
(E) $8$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2 + x +1)}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{-8x^3+...}{2x^3 + ...)}$
$=\frac{-8}{2}=-4$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 2: UM UGM 2003
Nilai dari limit fungsi $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6} \right )-\left (\sqrt{2x^2+2x-1} \right )=. . .$(A) $\frac{3}{2} \sqrt{2}$
(B) $\frac{3}{4} \sqrt{2}$
(C) $-\frac{3}{2} \sqrt{2}$
(D) $-\frac{3}{4} \sqrt{2}$
(E) $3$
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan rumus alternatif yaitu:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c} \right )-\left (\sqrt{ax^2+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, maka
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6} \right )-\left (\sqrt{2x^2+2x-1} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{5-2}{2\sqrt{2}}$
$=\frac{3}{2\sqrt{2}}= \frac{3}{4} \sqrt{2}$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
(A) $-4$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $4$
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan rumus alternatif yaitu:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c} \right )-\left (\sqrt{ax^2+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, maka
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-(x+1) \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-\sqrt{(x+1)^2} \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-\sqrt{x^2+2x+1} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{0-2}{2\sqrt{1}}$
$=\frac{-2}{2}= -1$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
(A) $-\frac{1}{2}(3\sqrt{2}-4)$
(B) $-\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
(C) $0$
(D) $\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
(E) $\frac{1}{2}(3\sqrt{2}-4)$
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan rumus alternatif yaitu:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c} \right )-\left (\sqrt{ax^2+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, maka
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{(2x-1)(x+2)}-(x\sqrt{2}+1) \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{(2x-1)(x+2)}-\sqrt{(x\sqrt{2}+1)^2} \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{2x^2+3x-2}-\sqrt{2x^2+2\sqrt{2}x+1} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$=\frac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (C)
(A) $\frac{20}{3}$
(B) $\frac{10}{3}$
(C) $-\frac{10}{3}$
(D) $-\frac{20}{3}$
(E) $\infty$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} 2x\left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 2x\sqrt{9+\frac{10}{x}}-(2x).3 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{9.4x^2+\frac{10}{x}.4x^2}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{36x^2+40x}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{\left ( 6x+\frac{40}{12} \right )^2}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( 6x+\frac{40}{12}-6x \right )$
$=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{5-2}{2\sqrt{2}}$
$=\frac{3}{2\sqrt{2}}= \frac{3}{4} \sqrt{2}$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 3: UMB PT 2013 Kode 372
Nilai dari limit fungsi $\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-(x+1) \right ) =...$(A) $-4$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $4$
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan rumus alternatif yaitu:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c} \right )-\left (\sqrt{ax^2+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, maka
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-(x+1) \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-\sqrt{(x+1)^2} \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{x^2-4}-\sqrt{x^2+2x+1} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{0-2}{2\sqrt{1}}$
$=\frac{-2}{2}= -1$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 4: SMPB 2004
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{(2x-1)(x+2)}-(x\sqrt{2}+1) \right ) =...$(A) $-\frac{1}{2}(3\sqrt{2}-4)$
(B) $-\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
(C) $0$
(D) $\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
(E) $\frac{1}{2}(3\sqrt{2}-4)$
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan rumus alternatif yaitu:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c} \right )-\left (\sqrt{ax^2+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, maka
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{(2x-1)(x+2)}-(x\sqrt{2}+1) \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{(2x-1)(x+2)}-\sqrt{(x\sqrt{2}+1)^2} \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left (\sqrt{2x^2+3x-2}-\sqrt{2x^2+2\sqrt{2}x+1} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$=\frac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{1}{4}(3\sqrt{2}-4)$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (C)
Soal 5: UTBK SBMPTN 2019
Nilai $\lim_{x\rightarrow \infty} 2x\left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}-3} \right )=. . .$(A) $\frac{20}{3}$
(B) $\frac{10}{3}$
(C) $-\frac{10}{3}$
(D) $-\frac{20}{3}$
(E) $\infty$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} 2x\left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 2x\sqrt{9+\frac{10}{x}}-(2x).3 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{9.4x^2+\frac{10}{x}.4x^2}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{36x^2+40x}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{\left ( 6x+\frac{40}{12} \right )^2}-6x \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( 6x+\frac{40}{12}-6x \right )$
$=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 6: UM UGM 2005 Kode 821
$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$ sama dengan . . .(A) $2$
(B) $1$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $0$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\times \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^2}+\sqrt{\frac{x}{x^2}}}}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{\infty }+\sqrt{\frac{1}{\infty }}}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{0+\sqrt{0}}}}$
$=1$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
(A) $-2011$
(B) $-2017$
(C) $-2019$
(D) $-2021$
(E) $-2027$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2017}+\sqrt{4x^2-20x+2018}-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{\left ( 3x+\frac{18}{6} \right )^2}+\sqrt{\left ( 2x-\frac{20}{4} \right )^2}-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( (3x+3)+(2x-5)-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 3x+3+2x-5-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( -2-2019 \right )$
$=-2021$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)
(A) $5$
(B) $9$
(C) $12$
(D) $16$
(E) $24$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-8x+b \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-(8x-b) \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-\sqrt{(8x-b)^2} \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^2} \right )=\frac{3}{2}$
$\frac{a+16b}{2\sqrt{64}}=\frac{3}{2}$
$\frac{a+16b}{16}=\frac{3}{2}$
$24=a+16b$
Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$
$=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{0+\sqrt{0}}}}$
$=1$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 7: UTBK SBMPTN 2019
Nilai $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2017}+\sqrt{4x^2-20x+2018}-5x-2019 \right )=. . .$(A) $-2011$
(B) $-2017$
(C) $-2019$
(D) $-2021$
(E) $-2027$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2017}+\sqrt{4x^2-20x+2018}-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{\left ( 3x+\frac{18}{6} \right )^2}+\sqrt{\left ( 2x-\frac{20}{4} \right )^2}-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( (3x+3)+(2x-5)-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 3x+3+2x-5-5x-2019 \right )$
$=\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( -2-2019 \right )$
$=-2021$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)
Soal 8: SIMAK UI 2010 Kode 203
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-8x+b \right )=\frac{3}{2}$. Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah . . .(A) $5$
(B) $9$
(C) $12$
(D) $16$
(E) $24$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-8x+b \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-(8x-b) \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-\sqrt{(8x-b)^2} \right )=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax-7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^2} \right )=\frac{3}{2}$
$\frac{a+16b}{2\sqrt{64}}=\frac{3}{2}$
$\frac{a+16b}{16}=\frac{3}{2}$
$24=a+16b$
Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$
dan $b$ yang memenuhi persamaan
$24=a+16b$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 9: SIMAK UI 2010 Kode 508
(A) $\frac{1}{16}$
(B) $\frac{1}{8}$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) $16$
(E) $32$
PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^x.2^1-3^x.3^{-2}+4^x.4^1}{2^x.2^{-1}-3^x.3^1+4^x.4^{-1}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^x.2-3^x.\frac{1}{9}+4^x.4}{2^x.\frac{1}{2}-3^x.3+4^x.\frac{1}{4}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^x.2-3^x.\frac{1}{9}+4^x.4}{2^x.\frac{1}{2}-3^x.3+4^x.\frac{1}{4}} \times \frac{\frac{1}{4^x}}{\frac{1}{4^x}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{2^x}{4^x}.2-\frac{3^x}{4^x}.\frac{1}{9}+\frac{4^x}{4^x}.4}{\frac{2^x}{4^x}.\frac{1}{2}-\frac{3^x}{4^x}.3+\frac{4^x}{4^x}.\frac{1}{4}}$
$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2^x}.2-(\frac{3}{4})^x.\frac{1}{9}+4}{\frac{1}{2^x}.\frac{1}{2}-(\frac{3}{4})^x.3+\frac{1}{4}}$
$=\frac{\frac{1}{2^\infty }.2-(\frac{3}{4})^\infty .\frac{1}{9}+4}{\frac{1}{2^\infty }.\frac{1}{2}-(\frac{3}{4})^\infty .3+\frac{1}{4}}$
$=\frac{0.2-0 .\frac{1}{9}+4}{0.\frac{1}{2}-0 .3+\frac{1}{4}}$
$=\frac{4}{\frac{1}{4}}$
$=4\times 4=16$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)
Soal 10: UM UGM 2005 Kode 821
Nilai $\lim_{x\rightarrow \infty}x^2\left ( sec \frac{2}{x}-1 \right )=...$(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep identitas trogonometri dasar
- $cos(\frac{1}{2}\pi - x) = sin \ x \ $
- $cos \ 2x \ = cos^2 \ x \ - sin^2 \ x \ $
- $cos \ 2x \ = 1 - 2 sin^2 \ x \ $
- $cos \ x \ = 1 - 2 sin^2 \ \frac{1}{2}x \ $
Misalkan $\frac{1}{x}=p$ sehingga $\frac{1}{p}=x$ karena $x→\infty$ maka $p→0$
$\lim_{x\rightarrow \infty}x^2\left ( sec \frac{2}{x}-1 \right )$$=\lim_{x\rightarrow \infty}x^2\left ( sec \left (\ 2 \ . \ \frac{1}{x} \right )-1 \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{p^2}\left ( sec \left (\ 2 \ . \ p \right )-1 \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{p^2}\left ( sec \ 2p -1 \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{p^2}\left ( \frac{1}{cos \ 2p \ } -1 \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{p^2}\left ( \frac{1-cos \ 2p \ }{cos \ 2p \ } \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{p^2}\left ( \frac{2sin^2 \ 2p \ }{cos \ 2p \ } \right )$
$=\lim_{p\rightarrow 0}\left ( \frac{2sin^2 \ 2p \ }{p^2} \times \frac{1}{cos \ 2p \ } \right )$
$=2 \times \frac{1}{cos \ 0 \ }$
$= 2$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)
$=\lim_{p\rightarrow 0}\left ( \frac{2sin^2 \ 2p \ }{p^2} \times \frac{1}{cos \ 2p \ } \right )$
$=2 \times \frac{1}{cos \ 0 \ }$
$= 2$
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!