Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar

Soal 1: SPMB 2004

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^3 -8}{x^2 + x - 6}=. . .$
(A) $\frac{3}{4}$
(B) $\frac{2}{5}$
(C) $1\frac{1}{3}$
(D) $2\frac{2}{5}$
(E) $6$

PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^3 -8}{x^2 + x - 6}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x^2 +2x+4)}{(x-2)(x+3)}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 +2x+4}{x+3}$
$= \frac{(2)^2 +2(2)+4}{(2)+3}=\frac{12}{5}$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)

Soal 2: UMB PTN 2018 Kode 270

$\lim_{t\rightarrow 2} \frac{4t^4 +4t-72}{(t-2)(t^2 + 3t +2)}=. . .$
(A) $\frac{11}{4}$
(B) $\frac{11}{3}$
(C) $11$
(D) $22$
(E) $33$

PEMBAHASAN;
$\lim_{t\rightarrow 2} \frac{4t^4 +4t-72}{(t-2)(t^2 + 3t +2)}$
$=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{4(t-2)(t^3 + 2t^2 +4t+9)}{(t-2)(t^2 + 3t +2)}$
$=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{4(t^3 + 2t^2 +4t+9)}{(t^2 + 3t +2)}$
$=\frac{4[(2)^3 + 2(2)^2 +4(2)+9)}{(2)^2 + 3(2) +2}$
$=\frac{(4).(33)}{12}=11$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (C)

Soal 3: SBMPTN 2016 Kode 355

Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 +2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab = . . . $ 
(A) $-35$
(B) $-30$
(C) $-15$
(D) $-3$
(E) $-1$

PEMBAHASAN:
Untuk $\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 +2ax+b}{x-2}=-2$ jika kita subtitusikan nilai $x=2$ maka nilai $x^2 +2ax+b$ haruslah sama dengan nol, karena jika $x^2+2ax+b$ tidak sama dengan nol, maka nilai limitnya sama dengan tak hingga.

Karena nilai $x^2 +2ax+b$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya maka berlaku:

$x^2+2ax+b \equiv (x-2)(mx +n)$
$x^2+2ax+b \equiv mx^2 + nx-2mx-2n$
$x^2+2ax+b \equiv mx^2 +(n-2m)x-2n$

maka, $1 = m$, $2a = n - 2m$ dan $b=-2n$

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 +2ax+b}{x-2}=-3$
$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+n)}{x-2}=-3$
$\lim_{x\rightarrow 2} (x+n)=-3$
$2+n = -3$
$n=-5$

Untuk $n = -5$, maka $b=10$ dan $a=-\frac{7}{2}$

Nilai $ab=-\frac{7}{2} \times 10 = -35$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (A)

Soal 4: UMPTN 1998 Rayon C

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2n} -x}{1-x}=. . .$
(A) $2n-1$
(B) $1-2n$
(C) $2n$
(D) $2n-2$
(E) $2n+2$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan Aturan L'Hospital.
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2n} -x}{1-x}$
$=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(2n)x^{2n-1}-1}{-1}$
$= \frac{(2n)(1)^{2n-1}-1}{-1}$
$= \frac{2n-1}{-1}$
$= -2n+1$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)

Soal 5: SPMB 2004

$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=. . .$
(A) $0$
(B) $3$
(C) $6$
(D) $12$
(E) $15$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan beberapa sifat aljabar:

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$
• $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = a-b^2$
• $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b$

$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$
$=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x-3}$
$=\lim_{x\rightarrow 3} (\sqrt{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})$
$=(2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) =12$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)

Soal 6: UMB PTN 2014 Kode 672

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{3-\sqrt{2x +5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=. . .$
(A) $-2$
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) $0$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $2$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan beberapa sifat aljabar:

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$
• $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = a-b^2$
• $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b$ 

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{3-\sqrt{2x +5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{3-\sqrt{2x +5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \frac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(3-\sqrt{2x +5})(x+1+\sqrt{2x+5})}{(x+1)^2-(2x+5)}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(3-\sqrt{2x +5})(x+1+\sqrt{2x+5})}{x^2-2x+1-2x-5}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(3-\sqrt{2x +5})(x+1+\sqrt{2x+5})}{x^2-4} \times \frac{3+\sqrt{2x +5}}{3+\sqrt{2x +5}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(9-2x-5)(x+1+\sqrt{2x+5})}{(x-2)(x+2)(3+\sqrt{2x +5})}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{-2(x-2)(x+1+\sqrt{2x+5})}{(x-2)(x+2)(3+\sqrt{2x +5})}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{-2(x+1+\sqrt{2x+5})}{(x+2)(3+\sqrt{2x +5})}$
$=\frac{-2(2+1+\sqrt{2(2)+5})}{(2+2)(3+\sqrt{2(2) +5})}$
$=\frac{-2(3+3)}{(2+2)(3+3)}=-\frac{1}{2}$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)

Soal 7: SPMB 2004

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=. . .$
(A) $0$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $8$
(E) $10$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan beberapa sifat aljabar:

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$
• $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = a-b^2$
• $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b$ 

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(x-2)}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(x-2)}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2(x-2)}{x-2}$
$=\lim_{x\rightarrow 2} (\sqrt{x}+\sqrt{2})^2$
$=(\sqrt{2}+\sqrt{2})^2$
$=(2\sqrt{2})^2=8$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)

Soal 8: SPMB 2005 Kode 370

$\lim_{x\rightarrow q} \frac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}}=. . .$
(A) $3\sqrt{q}$
(B) $\sqrt{q}$
(C) $q$
(D) $q\sqrt{q}$
(E) $3q$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan beberapa sifat aljabar:

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$
• $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = a-b^2$
• $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b$ 

$\lim_{x\rightarrow q} \frac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}}$
$=\lim_{x\rightarrow q} \frac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}}$
$=\lim_{x\rightarrow q} \frac{x^2 +x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^2}{x-q}$

$=\lim_{x\rightarrow q} \frac{(x-q)(x+q)+\sqrt{qx}(x-q)}{x-q}$

$=\lim_{x\rightarrow q} \left [ (x+q)+\sqrt{qx} \right ]$

$= \left [ (q+q)+\sqrt{q(q)} \right ]$
$=2q+q=3q$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)

Soal 9: SPMB 2007 Kode 341

$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^2 -16}{5-\sqrt{x^2 + 9}}=. . .$
(A) $-20$
(B) $-10$
(C) $0$
(D) $8$
(E) $20$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan beberapa sifat aljabar:

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$
• $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = a-b^2$
• $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b$ 

$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^2 -16}{5-\sqrt{x^2 + 9}}$
$=\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^2 -16}{5-\sqrt{x^2 + 9}} \times \frac{5+\sqrt{x^2 + 9}}{5+\sqrt{x^2 + 9}}$
$=\lim_{x\rightarrow 4} \frac{(x^2 -16)(5+\sqrt{x^2 + 9})}{25-(x^2 + 9)}$

$=\lim_{x\rightarrow 4} \frac{(x^2 -16)(5+\sqrt{x^2 + 9})}{16-x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow 4} -(5+\sqrt{x^2 + 9})$

$=-(5+\sqrt{4^2 + 9})$

$=-(5+\sqrt{25}) =-10$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)

Soal 10: SPMB 2007 Kode 741

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{2-x}-x}{x^2 -x}=. . .$
(A) $-1\frac{1}{2}$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $1\frac{1}{2}$

PEMBAHASAN:
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{2-x}-x}{x^2 -x}$
$=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{2-x}-x}{x^2 -x} \times \frac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x}$
$=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2-x+x^2}{(x^2 -x)(\sqrt{2-x}+x)}$

$=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x+2)(x-1)}{x(x -1)(\sqrt{2-x}+x)}$

$=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x+2)}{x(\sqrt{2-x}+x)}$

$= \frac{(1+2)}{(1)(\sqrt{2-1}+1)}$

$= \frac{3}{2}$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)