Soal dan Pembahasan Teori Peluang

Soal 1: UTBK-SBMPTN 2019  
Dinda memiliki password yang terdiri dari satu huruf diantara huruf-huruf $a$, $i$, $u$, $e$, $o$. Peluang Dianda gagal mengetikkan password-nya adalah...

(A) $\frac{5}{7}$
(B) $\frac{4}{5}$
(C) $\frac{3}{5}$
(D) $\frac{2}{5}$
(E) $\frac{1}{5}$

PEMBAHASAN:
Pasaword Dinda hanya terdiri dari satu huruf saja sehingga $n(E)=1$. Hasil yang mungkin terketik adalah $a$, $i$, $u$, $e$, $o$, banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=5$.

Peluang Dinda gagal adalah:
$\begin{aligned}P(E')&=1-P(E)\\ &= 1-\frac{n(E)}{n(S)}\\&=1-\frac{1}{5}\\&=\frac{4}{5}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 2: UTBK-SBMPTN 2019  
Dua buah dadu dilempar sekaligus. Peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$ adalah...

(A) $\frac{9}{36}$
(B) $\frac{10}{36}$
(C) $\frac{11}{36}$
(D) $\frac{12}{36}$
(E) $\frac{13}{36}$

PEMBAHASAN:
Pada pelemparan dua buah dadu hasil yang mungkin atau ruang sampelnya adalah: $(1,1)$$,$$(1,2)$$,$$(1,3)$$,\cdots$$(5,6)$$,$$(6,6)$. Banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=36$. Hasil yang diharapkan muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$.

Untuk mempermudah cukup kita analisis kelipatan tiga lebih dari $5$ yaitu yang jumlahnya $6,9,12$ anggotanya adalah: $(1,5)$$,$$(2,4)$$,$$(3,3)$$,$$(4,2)$$,$$(5,1)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, dan $(6,6)$. Banyak anggota kejadian yang diharapkan atau $n(E)=10$.

Peluang kejadian $E$, 
$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{10}{36}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 3: UTBK-SBMPTN 2019  
Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=54$. Jika diambil dua bola secara sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah $\frac{18}{35}$, maka $m+n=...$

(A) $9$
(B) $15$
(C) $21$
(D) $29$
(E) $55$

PEMBAHASAN:
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola  

$\begin{aligned}n(S)&=C_{2}^{m+n} \\ &= \frac{(m+n)!}{2!(m+n-2)!}\\&= \frac{(m+n)(m+n-1)(m+n-2)!)}{2(m+n-2)!}\\
&=\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}\end{aligned}$

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu: 
$\begin{aligned}n(E)&=C_{1}^{m}.C_{1}^{n} \\&= \frac{m!}{1!(m-1)!}.\frac{n!}{1!(n-1)!}\\&=m.n\end{aligned}$

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\frac{18}{35}$, sehingga berlaku: 

$\begin{aligned}P(E)&=\frac{n(E)}{n(S)} \\\frac{18}{35} &= \frac{mn}{\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}}\\\frac{18}{35}&=\frac{2.(54)}{(m+n)(m+n-1)}\\(m+n)(m+n-1)&=(35)(6)\\(m+n)(m+n-1)&=(7)(5)(3)(2)\\(m+n)(m+n-1)&=(15)(14)\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 4: UTBK-SBMPTN 2019  
Di dalam sebuah kotak terdapat $m$ bola merah dan $n$ bola putih dengan $m+n=16$. Jika bola diambil dua bola sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna adalah $\frac{1}{2}$. Nilai dari $m^2+n^2$ adalah...

(A) $200$
(B) $160$
(C) $146$
(D) $136$
(E) $128$

PEMBAHASAN:
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola  

$\begin{aligned}n(S)&=C_{2}^{m+n} = C_{2}^{16}\\ &= \frac{16!}{2!(16-2)!}\\
&=120\end{aligned}$

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu: 
$\begin{aligned}n(E)&=C_{1}^{m}.C_{1}^{n} \\&= \frac{m!}{1!(m-1)!}.\frac{n!}{1!(n-1)!}\\&=m.n\end{aligned}$

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\frac{1}{2}$, sehingga berlaku: 

$\begin{aligned}P(E)&=\frac{n(E)}{n(S)} \\\frac{1}{2} &= \frac{mn}{120}\\mn&=60\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}m^2+n^2&=(m+n)^2-2mn \\ &= 16^2-2(60)\\&=256-120\\&=136\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 5: UTBK-SBMPTN 2019  
Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil dua bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambilnya sedikitnya $1$ bola merah adalah $15$, maka banyaknya bola biru adalah...

(A) $1$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $7$
(E) $9$

PEMBAHASAN:
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $2$ bola dari $10$ bola  

$\begin{aligned}n(S)&=C_{2}^{16}\\ &= \frac{10!}{2!(10-2)!}\\&= \frac{10.9.8!}{2!8!}\\
&=45\end{aligned}$

Hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola merah, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola merah dari banyak bola merah atau terambil satu bola merah dari banyak bola merah dan satu bola biru dari banyak bola biru.

Jika kita misalkan banyak bola merah adalam $m$, sehingga banyak bola biru adalah $10-m$ sehingga banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:

$\begin{aligned}n(E)&=C_{2}^{m}+C_{1}^{m}.C_{1}^{10-m} \\&= \frac{m(m-1)(m-2)!}{2!(m-2)!}.\frac{m(m-1)!}{1!(m-1)!}.\frac{(10-m)!}{1!(10-m-1)!}\\&=\frac{m(m-1)}{2}+m.(10-m)\\&=\frac{m^2-m}{2}+\frac{20m-2m^2}{2}\\&=\frac{-m^2+19m}{2}\end{aligned}$

Peluang kejadian $E$ adalah $15$, sehingga berlaku: 

$\begin{aligned}P(E)&=\frac{n(E)}{n(S)} \\\frac{1}{5} &= \frac{\frac{-m^2+19m}{2}}{45} \\ \frac{1}{5} &= \frac{-m^2+19m}{2(45)}\\\frac{18}{90} &=\frac{-m^2+19m}{90}\\-m^2+19m &=18\\m^2-19m+19& =0 \\(m-18)(m-1)&=0\\m = 18 \ atau \ m = 1\end{aligned}$

Banyak bola biru saat $m=1$ adalah $10-1=9$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 6: SIMAK UI 2012 Kode 221 
Sebuah dadu dilempar sebanyak $6$ kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan $5$ dalam minimal $5$ kali pelemparan adalah...

(A) $\frac{13}{729}$
(B) $\frac{12}{729}$
(C) $\frac{11}{729}$
(D) $\frac{3}{729}$
(E) $\frac{2}{729}$

PEMBAHASAN:
Pada sebuah dadu bermata enam $S=${$1,2,3,4,5,6$}, peluang muncul angka $\geqslant 5$ dalam sekali percobaan adalah $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Dari $6$ kali percobaan muncul angka $\geqslant 5$ minimal $5$ kali, sehingga hal ini mungkin terjadi pada dua kemungkinan yaitu: 

• muncul $5$ kali $\geqslant 5$ dan $1$ kali $<5$, sehingga peluangnya adalah
• muncul $6$ kali $\geqslant 5$, sehingga peluangnya adalah $C_{6}^{6}.\left ( \frac{1}{3} \right )^6$.

Total peluang kejadian yang diharapkan adalah: 
$\begin{aligned}P(E)&=C_{5}^{6}.\left ( \frac{1}{3} \right )^5.C_{1}^{1}.\left ( \frac{2}{3} \right )^1 \\ &= 6.\frac{1}{3^5}.1.\frac{2}{3}+1.\frac{1}{3^6} \\ &= \frac{12}{3^6}+\frac{1}{3^6} \\&= \frac{13}{3^6}=\frac{13}{729}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 7: Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539
Joni melakukan pelemparan $3$ koin seimbang dan menyingkirkan koin yang menghasilkan angka. Selanjutnya Pino melakukan pelemparan koin yang tersisa jika ada. Peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah...

(A) $\frac{3}{64}$
(B) $\frac{3}{16}$
(C) $\frac{15}{64}$
(D) $\frac{5}{16}$
(E) $\frac{27}{64}$

PEMBAHASAN:

• Anggota Ruang sampel untuk $1$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $2$ yaitu $A$ dan $H$  
• Anggota Ruang sampel untuk $2$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $4$ yaitu $AA$, $AH$, $HA$, $HH$ 
• Anggota Ruang sampel untuk $3$koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $8$ yaitu $AAA$, $AAH$, $AHA$, $AHH$, $HAA$, $HAH$,  $HHA$, $HHH$ 

Pino melakukan pelemparan setelah Joni melakukan pelemparan, artinya Pino  melakukan pelemparan dengan syarat Joni sudah melakukan pelemparan.  

• Jika hasil pelemparan Joni adalah $3$ huruf, $\text{peluangnya}$$\frac{1}{8}$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\frac{3}{8}.\frac{1}{8}=\frac{3}{64}$ 
• Jika hasil pelemparan Joni adalah $2$ huruf, $\text{peluangnya}$$\frac{3}{8}$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\frac{2}{4}.\frac{3}{8}=\frac{6}{32}$ 
• Jika hasil pelemparan Joni adalah $1$ huruf, $\text{peluangnya}$ $\frac{3}{8}$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah $\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{3}{16}$ 

Total peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah $\frac{3}{64}+\frac{6}{32}+\frac{3}{16}=\frac{27}{64}$  

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 8: SBMPTN 2015 Kode 510
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\frac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah... 

(A) $\frac{23}{180}$
(B) $\frac{26}{180}$
(C) $\frac{29}{180}$
(D) $\frac{32}{180}$
(E) $\frac{35}{180}$

PEMBAHASAN:
Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\frac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $M_{1}$ dan di kelas II $M_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\frac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II. 

$\begin{aligned}P(M_{1} \cap \ M_{2})&=P(M_{1}).P(M_{2})\\ \frac{7}{36}&= \frac{M_{1}}{30}.\frac{M_{2}}{30} \\ \frac{7}{36}&= \frac{M_{1}.M_{2}}{900} \\\frac{7.(25)}{900}&=\frac{M_{1}.M_{2}}{900} \end{aligned}$

Dari kesamaan diatas dapat kita ambil kesimpulan yang mungkin adalah
$M_{1}=7$ dan $M_{2}=25$ atau $M_{1}=25$ dan $M_{2}=7$

Peluang terpilih keduanya perempuan ketika terpilih perempuan dari kelas I dan perempuan di kelas II. 

$\begin{aligned}P(PP)&=P(P_{1}).P(P_{2})\\ &= \frac{23}{30}.\frac{5}{30} \\ &= \frac{115}{900} = \frac{23}{180}\ \end{aligned}$

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (A)

Soal 9: SBMPTN 2017 Kode 106
Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ... 

(A) $0,04$
(B) $0,10$
(C) $0,16$
(D) $0,32$
(E) $0,40$

PEMBAHASAN:
Kemungkinan terambil $1$ bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I:
dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah 

$\frac{3}{15}.\frac{12}{15}+\frac{12}{15}.\frac{3}{15}=\frac{8}{25}$ 

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah 

$\frac{4}{8}.\frac{4}{8}=\frac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\frac{8}{25}.\frac{1}{4}=\frac{2}{25}$

Kasus II:
dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah 

$\frac{12}{15}.\frac{12}{15}=\frac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah
$\frac{4}{8}.\frac{4}{8}+\frac{4}{8}.\frac{4}{8}=\frac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\frac{16}{25}.\frac{2}{4}=\frac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua 

$\frac{2}{35}+\frac{8}{25}=\frac{10}{25}=0,4$ 

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 10: UM UGM 2014 Kode 522
Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$ dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah... 

(A) $0,082$
(B) $0,092$
(C) $0,504$
(D) $0,82$
(E) $0,92$

PEMBAHASAN:
Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga peluang Ali tidak lulus $P(A')=0,3$

Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga peluang Budi tidak lulus $P(B)=0,2$
Peluang Dian lulus $P(D)=0,9$ sehingga peluang Dian tidak lulus $P(D')=0,1$
Peluang kejadian $E$ hanya satu yang lulus adalah $P(A \cap B' \cap D')$ atau $P(A' \cap B \cap D')$ atau $P(A' \cap B' \cap D)$

$\begin{aligned}P(E)&=P(A \cap B' \cap D')+P(A' \cap B \cap D')+P(A' \cap B' \cap D)\\ &= 0,7\ . \ 0,2 \ . \ 0,1+0,3\ . \ 0,8 \ . \ 0,1+0,3\ . \ 0,2 \ . \ 0,9\\ &= 0,14+0,24+0,54\\ & =0,92\ \end{aligned}$

Pilihan yang benar adalah (E)