Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

Soal 1: SBMPTN 2015 Kode 634 
Jika semua akar-akar persamaan $x^2 - 6x + q=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah$\cdots$

(A) $5$
(B) $8$
(C) $9$
(D) $17$
(E) $22$

PEMBAHASAN:
Dari persamaan $x^2-6x+q=0$ yang akar-akarnya adalah bilangan bulat positif. Dari persamaan kuadrat kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya adalah 

$x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1}.x_{2}=q$.

Pasangan bilangan bulat yang memungkinkan jika dijumlahkan sama dengan $6$ adalah $3$ dan $3$ atau $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$.

Nilai $q$ yang mungkin adalah $1 \times 5=5$, $2 \times 4=8$ dan $3 \times 3=9$.

Jumlah nilai $q$ yang mungkin adalah $5+8+9=22$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 2: UM UGM 2017 Kode 723
Selisih akar-akar persamaan $x^2+2ax +\frac{4}{3}a=0$ adalah $1$. Selisih $a$ dan $\frac{4}{6}$ adalah$\cdots$(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{2}{3}$
(C) $\frac{5}{6}$
(D) $1$
(E) $\frac{5}{3}$

PEMBAHASAN:
Misalkan persamaan kuadrat $x^2+2ax +\frac{4}{3}a=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka

$\begin{aligned}|x_{1}-x_{2}|&=|\frac{\sqrt{D}}{a}|\\ 1&= \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\\ 1&=\frac{\sqrt{(2a)^2-4(1)(\frac{4}{3})a}}{1}\\1& =\sqrt{4a^2-\frac{16a}{3}}\\1& =4a^2-\frac{16a}{3}\\3& =12a^2-16a\\12a^a-16a-3 &=0\\\frac{1}{12}(12a-18)(12a+2)&=0\\12a-18&=0 \Rightarrow a=\frac{18}{12}=\frac{9}{6} \ dan \\12a+2&=0 \Rightarrow a=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}\end{aligned}$

maka selisih $a$ dan $\frac{4}{6}$ yang memenuhi adalah $\frac{4}{6}-(-\frac{1}{6})=\frac{5}{6}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 3: UM UGM 2019 Kode 934
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$

PEMBAHASAN:
Misalkan akar-akar $x^2-(3a-5)x+3=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ dimana $ \alpha = 3 \beta$ maka dapat kita tuliskan:

Hasil kali akar-akar,
$\begin{aligned} \alpha.\beta&=\frac{c}{a}\\ \alpha.3 \alpha &= \frac{3}{1}\\ \alpha^2 &=3\\ \alpha& =\pm 1\ \end{aligned}$

Hasil jumlah akar-akar,

$\begin{aligned} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\\ 4\alpha &= -\frac{-(3a-5)}{1}\\ 4\alpha &=3a-5\end{aligned}$

$\alpha=-1→-4=3a-5$
$1=3a$
$a=\frac{1}{3}$

$\alpha=1→4=3a-5$
$9=3a$
$a=3$

Hasil kali nilai $a$ yang memenuhi adalah $(\frac{1}{3}).(3)=1$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 4: UM UGM 2019 Kode 934
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^2-(2c-1)-c^3+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$(A) $-4\frac{3}{4}$
(B) $-3\frac{3}{4}$
(C) $-2\frac{3}{4}$
(D) $2\frac{3}{4}$
(E) $3\frac{3}{4}$

PEMBAHASAN:
Kita misalkan $u=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$, maka
$\begin{aligned} u&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\\&=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}\\&=\left ( -\frac{b}{a} \right )^2-2\left ( \frac{c}{a} \right )\\&=\left ( \frac{2c-1}{2} \right )^2-2\left ( \frac{-c^3+4}{2} \right )\\&=\frac{4c^2-4c+1}{4}+c^3-4\\&=c^2-c+\frac{1}{4}+c^3-4\\&=c^3+c^2-c-3\frac{3}{4} \end{aligned}$

Syarat mendapatkan nilai minimum atau maksimum kita cari dari turunan pertama dari $u'=0$

$\begin{aligned} u&=c^3+c^2-c-3\frac{3}{4}\\u'&=3c^2+2c-1\\0&=3c^2+2c-1\\\frac{1}{3}(3c+3)(3c-1)&=0 \end{aligned}$

maka kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\frac{1}{3}$

Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $u=c^3-c^2-c-3\frac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $\frac{1}{3}$.

$\begin{aligned} u'&=3c^2+2c-1\\u''&=6c+2\\u''(-1)&=6(-1)+2=-4\\\end{aligned}$, maka

$u''<0 →c=-1 \ pembuat \ maksimum \ $

$u''(\frac{1}{3})=6(\frac{1}{3})+2=4$

$u''>0 →c=\frac{1}{3} \ pembuat \ minimum \ $

Nilai maksimum $u$ adalah saat $c=-1$, sehingga kita peroleh:

$\begin{aligned} &=c^3-c^2-c-3\frac{3}{4}\\&=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-3\frac{3}{4}\\u&=1-3\frac{3}{4}=-2\frac{3}{4}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 5: UM UGM 2018 Kode 286
$Jika$$a>0$ $dan\; selisih\; akar-akar\; persamaan\; kuadrat$$5x^2-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^2-a=...$

(A) $1\frac{1}{9}$
(B) $3\frac{3}{4}$
(C) $4\frac{4}{9}$
(D) $7\frac{1}{2}$
(E) $8\frac{3}{4}$

PEMBAHASAN:
Misalkan persamaan kuadrat $5x^2-10ax+8a=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka

$\begin{aligned}|x_{1}-x_{2}|&=|\frac{\sqrt{D}}{a}|\\ 3&= \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{5}\\ 15&=\sqrt{10a^2-4(5)(8a)}\\225& =100a^2-160a\\45& =20a^2-32a\\0& =20a^2-32a-45\\(10a+9)(2a-5) &=0\end{aligned}$

maka $a=-\frac{9}{10}$ atau $a=\frac{5}{2}$

Karena $a>0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $\frac{5}{2}$, sehingga nilai dari

$a^2-a=(\frac{5}{2})^2-\frac{5}{2}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 6: SBMPTN 2018 Kode 517
Diketahui $x^2 + a^2x+b^2=0$ dengan $a>0$, $b>0$. Jika jumlah akar persamaan tersebut sama dengan $-(b+1)$ dan hasil perkalian akar-akarnya $a^2+5$, maka nilai $a+b-ab$ adalah...
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$

PEMBAHASAN:

Misalkan akar-akar $x^2 + a^2x+b^2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ maka,

Hasil jumlah akar-akar,

$\begin{aligned} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\\ -(b+1) &= -\frac{a^2}{1}\\ b+1&=a^2\end{aligned}$

Hasil kali akar-akar,
$\begin{aligned} \alpha.\beta&=\frac{c}{a}\\ a^2+5 &= \frac{b^2}{1}\\ a^2+5 &=b^2\\ b^2-a^2& =5\\ b^2-b-1&=5\\ b^2-b-6 &=0\\ (b+2)(b-3) &=0  \end{aligned}$

maka $b=-2$ dan $b=3$

Untuk $b=3$ kita peroleh $a^2=4$ atau $a=2$, sehingga dapat kita peroleh nilai

$a+b-ab=2+3-(2)(3)=-1$

Soal 7: SBMPTN 2018 Kode 526
Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar $x^2+2ax+b^2=0$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$, maka nilai $b^2$ adalah...
(A) $4a^2+10$
(B) $4a^2-10$
(C) $2a^2+5$
(D) $2a^2-5$
(E) $-2a^2+5$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2\\ 10&= \left ( -\frac{b}{a} \right )^2-2\left ( \frac{c}{a} \right )\\ 10&=\left ( -\frac{2a}{1} \right )^2-2\left ( \frac{b^2}{1} \right )\\10& =4a^2-2b^2\\2b^2&= 4a^2-10\\b^2& =2a^2-5\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 8: SIMAK UI 2018 Kode 636
Jika persamaan kuadrat $x^2-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah....
(A) $2$
(B) $1$
(C) $-1$
(D) $-2$
(E) $-3$

PEMBAHASAN:

Misalkan akar-akar $x^2-px+q=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ dan kedua akar ini berkebalikan artinya $ \alpha = \frac{1}{\beta}$, maka untuk

Hasil kali akar-akar,
$\begin{aligned} \alpha.\beta&=\frac{c}{a}\\ \frac{1}{\beta} \ . \ \beta &= \frac{q}{1}\\ q& =1 \end{aligned}$

Hasil jumlah akar-akar,

$\begin{aligned} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\\ \frac{1}{\beta}+\beta &= -\frac{-(p)}{1}\\ \frac{1}{\beta}+ \beta&=p\end{aligned}$

maka

$p-q=\beta + \frac{1}{\beta}-1$

karena akar-akar berkebalikan dan memiliki nilai negatif, agar $p-q$ bernilai maksimum ketika nilai $\beta$ paling kecil yaitu $\beta=-1$, sehingga nilai maksimum $p-q$ adalah
$p-q = -1-\frac{1}{-1}-1=-3$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 9: UM UGM 2017 Kode 823
Diketahui $p$ dan $q$ akar-akar persamaan $x^2+3x+k=0$, dengan $p<q$. Jika $\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah...
(A) $4$
(B) $2$
(C) $1$
(D) $-4$
(E) $-2$

PEMBAHASAN:
Karena akar-akar $x^2+3x+k=0$ adalah $p$ dan $q$ maka hasil jumlah, hasil kali dan selisih akar-akarnya adalah

$p+q=-\frac{b}{a}=-3$
$p.q=\frac{c}{a}=k$
$\begin{aligned} p-q&=\frac{b^2-4ac}{a}\\ &=\frac{\sqrt{3^2-4(1)(k)}}{1} \\ &=\sqrt{9-4k} \end{aligned}$

Dan dari soal
$\begin{aligned} \frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}&=-\frac{3}{2}\\\frac{q^2-1-p^2+1}{pq+p-p-1}&=-\frac{3}{2}\\\frac{(-3)(\sqrt{9-4k})}{k+\sqrt{9-4k}+-1} &=-\frac{3}{2}\\-6\sqrt{9-4k}&=-3k+3-3\sqrt{9-4k}\\3k-3&=3\sqrt{9-4k}\\k-1&=\sqrt{9-4k}\\k^2-2k+1&=9-4k\\k^2+2k-8&=0\\\end{aligned}$

maka dari persamaan kuadrat terakhir dalam $k$, kita peroleh $k_1+k_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-\frac{1}{2}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 10: SBMPTN 2014 Kode 631
Persamaan kuadrat $px^2 -qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\alpha= 4 \beta$. Jika grafik fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ mempunyai sumbu simetri $x=\frac{5}{2}$, maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah...
(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\frac{5}{2}$
(B) $\frac{1}{2}$ dan $\frac{5}{2}$
(C) $1$ dan $5$
(D) $\sqrt{2}$ dan $10$
(E) $2$ dan $10$

PEMBAHASAN:
Sumbu simetri dari fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ adalah $x_{p}=-\frac{b}{2a}$ maka,

$\frac{q}{2p}=\frac{5}{2}$ atau $q=5p$.

Dari persamaan $px^2 -qx+4=0$ kita peroleh

$\begin{aligned}\alpha + \beta&=-\frac{b}{a}\\ 4\beta + \beta&= -\frac{-q}{p}\\ 4\beta + \beta&=\frac{q}{p}\\ 5\beta& =\frac{5p}{p}\\5\beta& =5\\\beta& =1\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\alpha .\beta&=\frac{c}{a}\\ 4\beta . \beta&= \frac{4}{p}\\ 4&=\frac{4}{p}\\ p& =1\\q& =5p\\q& =(5)(1)=5\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)