Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Soal 1: SIMAK UI 2009 Kode 924
$Diketahui\; fungsi$$mx^2-2x^2+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...

(A) $m<-3$
(B) $m<-2$
(C) $m< 1\frac{1}{5}$
(D) $m<2$
(E) $m>3$

PEMBAHASAN:
Pada soal dijelaskan bahwa fungsi $mx^2-2x^2+2mx+m-3$ berada di bawah sumbu $x$, artinya nilai fungsi selalu bernilai negatif, fungsi adalah definit positif.

Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif adalah $a<0$ dan $D<0$
$y=mx^2-2x^2+2mx+m-3$
$y=(m-2)x^2+2mx+m-3$

Syarat pertama $a<0$
$m-2<0$
   $m<2$

Syarat kedua $D<0$
$\begin{aligned} D&<0\\b^2-4ac&<0\\(2m)^2-4(m-2)(m-3)&<0\\4m^2-4m^2+20m-24&<0\\20m-24&<0\\5m-6&<0\\m&<\frac{6}{5}\end{aligned}$

Dengan mengambil irisan dari syarat pertama $m<0$ dan syarat kedua $m<\frac{6}{5}$, nilai $m$ yang mungkin adalah $m<\frac{6}{5}$

Pilihan yang sesuai adalah (C)

Soal 2: SIMAK UI 2012 Kode 221
Jika garis singgung parabola $y=4x-x^2$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^2-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

PEMBAHASAN:
Garis singgung parabola $y=4x-x^2$ di titik $M(1,3)$ adalah $y=mx+n$

Kita cari nilai gradien $m$ dengan menggunakan turunan pertama dari $y=4x-x^2$ yaitu $m=y'=4-2x$.

Nilai gradien $m$ di titik $(1,3)$ adalah $m=4-2(1)=2$.

Untuk nilai gradien $m=2$ dan melalui titik $(1,3)$ persamaan garis singgung adalah $y=2x+1$.

Garis $y=2x+1$ juga menyinggung kurva $y=x^2-6x+k$, sehingga antara garis $y=2x+1$ dan kurva $y=x^2-6x+k$ berlaku:

$\begin{aligned} x^2-6x+k&=2x+1\\x^2-6x-2x+k-1&=0\\x^2-8x+k-1&=0\\\end{aligned}$

Karena garis dan kurva bersingungan maka:
$\begin{aligned}D&=0\\b^2-4ac&=0\\(-8)^2-4(1)(k-1)&=0\\64-4k+4&=0\\4k&=68\\k&=17\end{aligned}$

maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 3: SBMPTN 2013 Kode 427
Jika grafik fungsi $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$x$ negatif, maka...
(A) $a>0, b>0$ dan $c>0$
(B) $a<0, b<0$ dan $c>0$
(C) $a<0, b>0$ dan $c<0$
(D) $a>0, b>0$ dan $c<0$
(E) $a<0, b>0$ dan $c>0$

PEMBAHASAN:
Titik puncak $(8,4)$ berada pada kuadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva terbuka kebawah $a<0$, karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu $x$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah $a<0$ maka nilai $b$ bisa kita tafsir dari titik 
$x_p=\frac{-b}{2a}$ 
$8=\frac{-b}{2a}$${\mathrm{Karena\; nilai}}^{}$$-\frac{b}{2a}=8$ dan $a<0$ maka $b>0$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva memotong sumbu $y$ positif $(c>0)$. Karena tidak mungkin kurva dari titik $(8,4)$ dan terbuka kebawah melalui sumbu $y$ negatif.

Kesimpulanya  adalah $a<0$, $b>0$ dan $c<0$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 4: SBMPTN 2014 Kode 631
Jika $a>0$, maka grafik fungsi $f(x)=ax^2+2ax+2$.
(A) Berada di atas sumbu-$X$
(B) Berada di bawah sumbu-$X$
(C) Menyinggung sumbu-$X$
(D) Memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda
(E) Memotong sumbu-$X$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ dengan $x_1>0$ dan $x_2>0$

PEMBAHASAN:
Pada grafik fungsi $f(x)=ax^2+2ax+2$, Diskrimasinya adalah
$\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\&=(2a)^2-4(a)(2)\\&=4a^2-8a\\D&=4a(a-2)\end{aligned}$

Jika $a>0$ maka $D=4a(a-2)$ akan selalu lebih besar dari nol $D>0$.

Berdasarkan batasan nilai $a>0$ dan $D>0$ maka fungsi $f(x)=ax^2+2ax+2$ selalu memotong sumbu-$X$ di dua titik yang berbeda. Dengan titik potong yang mungkin adalah $(x_1,0)$ dan $x_2,0$ dengan $x_1<0$ dan $x_2>0$ 

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)

Soal 5: UM UGM 2019 Kode 634
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^2+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $b,-a$  dengan $a \neq b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah...
(A) $9$
(B) $3$
(C) $-\frac{1}{9}$
(D) $-\frac{1}{2}$
(E) $-1$

PEMBAHASAN:
Dari soal fungsi kuadrat $f(x)=9x^2+ax-b$ melalui titik $(a,-b)$ dan $b,-a$, maka kita peroleh:

Untuk $(a,-b)$:
$\begin{aligned} f(a)&=9(a)^2+a(a)-b\\-b&=10a^2-b\\0&=10a^2\\a&=0\end{aligned} $

Untuk $(a,-b)$ dan $a=0$:
$\begin{aligned} f(b)&=9(b)^2+a(b)-b\\-a&=9b^2+ab-b\\0&=9b^2+(0)b-b\\b(9b-1)&=0\end{aligned}$

maka $b=0$ dan $b=\frac{1}{9}$

Fungsi kuadrat menjadi $f(x)=9x^2+(0)x-\frac{1}{9}=9x^2-\frac{1}{9}$, dengan titik puncaknya adalah

$\begin{aligned}y_p&=\frac{-D}{4a}\\&=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\\&=\frac{-\left ( 0-4(9)\left ( -\frac{1}{9} \right ) \right )}{4(9)}\\&=\frac{-4}{36}=-\frac{1}{9}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 6: UM UGM 2019 Kode 634
Diketahui kurva $f(x)=px^2+(p+2)x+(p+q-1)$ memotong sumbu-$y$ di titik $P(0,-1)$ dan memotong sumbu-$x$ di titik $Q$ dan $R$. Jika absis titik tengah $QR$ adalah $\frac{3}{2}$, titik puncak kurva tersebut adalah...
(A) $\left ( \frac{3}{2},\frac{1}{8} \right )$
(B) $\left ( \frac{3}{2},\frac{1}{4} \right )$
(C) $\left ( \frac{3}{2},\frac{3}{4} \right )$
(D) $\left ( \frac{3}{2},\frac{7}{8} \right )$
(E) $\left ( \frac{3}{2},\frac{7}{4} \right )$

PEMBAHASAN:
Dari soal dijelaskan bahwa kurva $f(x)=px^2+(p+2)x+(p+q-1)$ memotong sumbu-$y$ di titik $P(0,-1)$, sehingga berlaku:

$\begin{aligned}-1&=p(0)^2+(p+2)(0)+(p+q-1)\\-1&=p+q-1\\p=-q\end{aligned}$

Karena $p=-q$ maka fungsi $f(x)=px^2+(p+2)x+(p+q-1)$ menjadi

$\begin{aligned}f(x)&=px^2+(p+2)x+(p+q-1)\\&=px^2+(p+2)x+(p-p-1)\\f(x)&=px^2+(p+2)x-1\end{aligned}$

Kurva $f(x)$ memotong sumbu-$x$ di $Q$ dan $R$ dan absis titik tengah $QR$ adalah $\frac{3}{2}$ sehingga $x=\frac{3}{2}$ adalah sumbu simetri sehingga berlaku:

$\begin{aligned}x_{p}&=-\frac{b}{2a}\\\frac{3}{2}&=-\frac{p+2}{2p}\\-2p-4&=6p\\-2p-6q=4\\-8p&=4\\p&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x)&=px^2+(p+2)x+(p+q-1)\\f(x)&=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x-1\\f\left ( \frac{3}{2} \right )&=-\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2} \right )^2+\frac{3}{2}\left ( \frac{3}{2} \right )-1\\&=-\frac{9}{8}+\frac{9}{4}-1\\&=\frac{1}{8}\end{aligned}$

Pilihan Jawaban yang sesuai adalah (A)

Soal 7: UTBK-SBMPTN 2019  
Diketahui grafik fungsi kuadrat $f$ mempunyai sumbu simteri $x=4$. Jika grafik fungsi $f$ melalui titik $(2,0)$ dan $(0,3)$, maka ordinat titik puncak grafik fungsi $f$ adalah...
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-2$
(E) $-1$

PEMBAHASAN:
Fungsi kuadrat yang diperoleh jika titik puncaknya $(x_p,y_p)$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ adalah $y=a(x-x_p)^2+y_p$.

Dengan titik puncak $(4,y_p)$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(2,0)$ maka kita peroleh:

$\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\0&=a(2-4)^2+y_p\\0&=4a+y_p\\y_p&=-4a\end{aligned}$

Dengan titik puncak $(4,y_p)$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(0,3)$ maka kita peroleh:

$\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\3&=a(0-4)^2+y_p\\3&=16a+y_p\\y_p&=3-16a\end{aligned}$

Dari kedua nilai $y_p$ di atas kita peroleh
$\begin{aligned}3-16a&=-4a\\-16a+4a&=-3\\-12a&=-3\\a&=\frac{-3}{-12}=\frac{1}{4}\end{aligned}$

maka $y_p=-4a=-4(-\frac{1}{4})=-1$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 8: UM UGM 2014 Kode 512 
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di $A(1,0)$ dan $B(2,0)$. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0,4)$ dan puncaknya di titik $(p,q)$, maka $\$p+q=...\$$(A) $1$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $2$
(D) $\frac{5}{2}$
(E) $3$

PEMBAHASAN:
Kita selesaiakan dengan menggunakan konsep Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Kita terlebih dahulu mencari nilai $a$,
Pertama substitusi titik potong $A(1,0)$ dan $B(2,0)$:
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$y=a(x-1)(x-2)$

karena fungsi kuadrat melalui titik $(0,4)$, maka
$\begin{aligned}4&=a(0-1)(0-2)\\4&=2a\\a&=2\end{aligned}$

Karena $a=2$, maka kita peroleh fungsi kuadratnya adalah
$\begin{aligned}y&=a(x-1)(x-2)\\&=2(x-1)(x-2)\\&=2(x^2-3x+4)\\y&=2x^2-6x+8\end{aligned}$

Sumbu simetri dan titik potong fungsi kuadrat ini adalah
$\begin{aligned}\left ( x_p,y_p \right )&=\left ( -\frac{b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )\\&=\left ( -\frac{-6}{2(2)},-\frac{(6)^2-4(2)(4)}{4(2)} \right )\\&=\left ( \frac{3}{2},-\frac{1}{2} \right )\\(p,q)&=\left ( \frac{3}{2},-\frac{1}{2} \right )\end{aligned}$

maka $p+q=\frac{3}{2}+(-\frac{1}{2})=1$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 9: UM UGM 2015 Kode 622 
$Parabola$$y=ax^2+bx+c$, $a>0$ memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$, $p \neq 0$. Nilai $c-b>0$ terpenuhi apabila...
(A) $\frac{3}{2}<p<0$
(B) $p<-\frac{3}{2}$ atau $p>0$
(C) $p<-\frac{3}{2}$ atau $p>\frac{3}{2}$
(D) $0<p<\frac{3}{2}$
(E) $p<0$ atau $p>\frac{3}{2}$

PEMBAHASAN:
Parabola memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$, maka:
$\begin{aligned}y=ax^2+bx+c& \equiv y=(x-p)(x-2p)\\ax^2+bx+c& \equiv x^2-3px+2p^2\end{aligned}$

Sehingga nilai $a=1$, $b=-3p$ dan $c=2p^2$
$\begin{aligned}c-b&>0\\2p^2&>-3p\\2p^2+3p&>0\\p(2p+3)&>0\end{aligned}$

Nilai $p$ yang memenuhi adalah $-\frac{3}{2}<p<0$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 10: UM UGM 2017 Kode 723 
$Berdasarkan\; perkiraan\; kebutuhan\; ketela\; kota$$P$$pada\; x\; tahun\; setelah$$2017$ $sebesar:$$h(x)= 180x^2+540x+1080$ kwintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar $f(x)=720x+20880$ kwintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun...

(A) $2020$
(B) $2023$
(C) $2028$
(D) $2029$
(E) $2032$

PEMBAHASAN:
Untuk mengetahui kapan kota $P$ akan mendatangkan ketela, kita coba dengan mencari kapan banyak produksi sama dengan banyak kebutuhan. Ketika kebutuhan sama dengan produksi maka berlaku;

$\begin{aligned}h(x)&=f(x)\\180x^2+540x+1080&=720x+20880\\180x^2+540x+1080-720x-20880&=0\\180x62-180x-19800&=0\\x^2-x-110&=0\\(x+10)(x-11)&=0\\x=-10 \ atau \ x=11 \end{aligned}$

Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh nilai $x=11$ atau $x=-10$ (TIDAK MEMENUHI).

Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah produksi dan kebutuhan ketela sama, terjadi $11$ tahun dari tahun $2017$ yaitu $2028$.

Sehingga kota $P$ akan mendatangkan ketela mulai tahun $2029$.

Pilihan jawaban adalah (D)