Soal dan Pembahasan Persamaan Garis

Soal 1: SBMPTN 2015 Kode 605
Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=3x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^2+4x+5$, maka garis $g$ memotong sumbu-$y$ di titik...

(A) $(0,-4)$
(B) $(0,-1)$
(C) $(0,0)$
(D) $(0,1)$
(E) $(0,4)$

PEMBAHASAN:

Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama $m_1=m_2$, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=3x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_1=m_g=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^2+4x+5$ maka $m_2=y'=2x+4$

Dari nilai $m_2=y'= 2x+4$ dan $m_1=2$ dapat kita tentukan nilai $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{aligned} m_1&=m_2\\2x+4&=2\\2x&=-2\\x&=-1\end{aligned}$, 
maka 
$\begin{aligned} y&=x^2+4x+4\\&=(-2)^2+4(-1)+4\\&=1-4+5\\y&=2\end{aligned}$

Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah:
$\begin{aligned} y-y_1&=m(x-x_1)\\y-2&=2(x-(-1))\\y-2&=2(x+1)\\y&=2x+4\end{aligned}$

Jadi, garis $g:y= 2x+4$ memotong sumbu-$y$ (ketika $x=0$) di titik $(0,4)$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 2: SIMAK UI 2011 Kode 213
Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ adalah titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah...

(A) $\frac{11}{10}$
(B) $\frac{11\sqrt{10}}{10}$
(C) $\frac{91\sqrt{10}}{10}$
(D) $\frac{10}{91}$
(E) $\frac{121\sqrt{10}}{10}$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep:

Jarak titik $(x_1,y_1)$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah 

$d=\left | \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}  \right |$

Dari soal titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,8)$ merupakan jarak titik $(3,8)$ dengan garis $y=3x+10$.

Jarak titik $(3,8)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah

$\begin{aligned} d&=\left | \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}  \right | \\&=\left | \frac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2}}  \right | \\&=\left | \frac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}}  \right |\\&=\left | \frac{-11}{\sqrt{10}}  \right |\\d&=\frac{11}{10}\sqrt{10}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 3: SBMPTN 2014 Kode 677
Garis $l$ mempunyai gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^2+px+1$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah...

(A) $y=2x-3$
(B) $y=2x-1$
(C) $y=2x$
(D) $y=2x+2$
(E) $y=2x+4$

PEMBAHASAN:
Persamaan umum garis linear adalah $y=mx+b$. Dari soal gradien garisnya adalah $m=2$ maka kita misalkan garis $l$ adalah $l:y=2x+b$

Karena garis $l:y=2x+b$ menyinggung $y=f(x)=-x^2+px+1$ di $x=1$ maka:
$\begin{aligned} m_l&=y'\\2&=-2x+p\\2&=-2+p\\p&=4\end{aligned}$

Garis $l:y=2x+b$ menyinggung $y=-x^2+4x+1$ di $x=1$, maka
$y=-(1)^2+4(1)+1=4$

Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka:
$\begin{aligned}y&=2x+b\\4&=2(1)+b\\b&=2\end{aligned}$

maka garis $l$ adalah $y= 2x+2$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 4: UM UGM 2014 Kode 522
Kurva $y=3x-3x^2$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah...
(A) $x-9y-9=0$
(B) $x-9y+9=0$
(C) $9x-y-9=0$
(D) $9x-y+9=0$
(E) $9x+y-9=0$

PEMBAHASAN:
Kurva $y=3x-3x^2$ memotong sumbu $X$ di titik $P$, artinya $y=0$, maka
$\begin{aligned}3x-\frac{3}{x^2}&=0\\3x^3-3&=0\\x^3-1&=0\\(x-1)(x^2+x+1)&=0\end{aligned}$

Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka titik $P$ adalah $(1,0)$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga dapat kita peroleh:

$\begin{aligned}m&=f'(x)\\&=3+\frac{6}{x^3}\\&=3+\frac{6}{(1)^3}\\m&=9\end{aligned}$

Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-0&=9(x-1)\\y&=9x-9\\9x-y-9=0\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 5: SIMAK UI 2011 Kode 214
Tiga buah garis lurus $l_1$, $l_2$, $l_3$, dan $l_4$ mempunyai gradien masing-masing $2$, $3$, $4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis adalah $\frac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_2$ adalah...

(A) $117x-39=4$
(B) $117x+39=4$
(C) $117x-39=-4$
(D) $39x-117=4$
(E) $39x+117=-4$

PEMBAHASAN:
Persamaan umum persamaan garis adalah $y=mx+b$, maka untuk tiga garis lurus $l_1$, $l_2$, $l_3$, dan $l_4$ yang mempunyai gradien masing-masing $2$, $3$, $4$ dan memotong sumbu $Y(x=0)$ sehingga persamaan ketiga garis dapat kita tuliskan sebagai, 

• $l_1:y=2x+b$, 
• $l_2:y=3x+b$ dan 
• $l_3:y=4x+b$.

Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X(y=0)$ dari ketiga garis adalah $\frac{1}{9}$, maka dapat kita tuliskan:

• $l_1:y=2x+b$, saat $y=0$ maka berlaku $0=2x+b$ atau $x=-\frac{1}{2}a$
• $l_2:y=3x+b$, saat $y=0$ maka berlaku $0=3x+b$ atau $x=-\frac{1}{3}a$
• $l_3:y=4x+b$, saat $y=0$ maka berlaku $0=4x+b$ atau $x=-\frac{1}{4}a$

maka:
$\begin{aligned}\frac{1}{9}&=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a\\\frac{1}{9}&=-\frac{6+4+3}{12}a\\\frac{1}{9}&=-\frac{13a}{12}\\a&=-\frac{12}{(9)(13)}=-\frac{4}{39}\end{aligned}$

Persamaan $l_2:y=3x+a$ adalah $l_2:y=3x-\frac{4}{39}$ 

atau $39y=117x-4⇒117x-39y=4$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 6: SIMAK UI 2009 Kode 931
Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
(A) $x+y-7=0$
(B) $x-y+7=0$
(C) $x-y+1=0$
(D) $x+y-1=0$
(E) $x+y+1=0$

PEMBAHASAN:
Persamaan garis $l$ kita dapatkan dengan mencari determinan matriks $A$ yang berordo $3 \times 3$ yang nilainya sama dengan nol.
$det(A)=\left|\begin{array}{ccc|cc}1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\x & y & 1 & x & y \\2 & 1 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$

Persamaan garis $l$ adalah
$\begin{aligned}(1\cdot y\cdot3+1\cdot1\cdot2+2\cdot x \cdot1)-(2\cdot y \cdot 2+ 1\cdot1\cdot1+ 1 \cdot x \cdot3)&=0\\(3y+2+2x)-(4y+1+3x)&=0\\3y+2+2x-4y-1-3x&=0\\1-y-x&=0\\y&=-x+1\end{aligned}$

kita dapatkan gradien garisnya adalah $m=-1$ maka persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$ adalah
$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-4&=-1(x-3)\\y-4&=3-x\\x+y-7&=0\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 7: SBMPTN 2014 Kode 677
Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^2-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat...
(A) $\frac{1}{4p^2}-1$
(B) $-\frac{1}{4p^2}+1$
(C) $-\frac{1}{4p^2}-1$
(D) $\frac{p^2-1}{4}$
(E) $\frac{1}{4p^2}+1$

PEMBAHASAN:
Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^2-1$, maka:

untuk titik $P$: $x=2p$, $y=(2p)^2-1=4p^2-1$, koordinat titik $P$ adalah $(2p, 4p^2-1)$

untuk titik $Q$: $x=-3p$, $y=(-3p)^2-1=9p^2-1$, koordinat titik $Q$ adalah $(-3p, 9p^2-1)$

Gradien garis $PQ$ adalah
$\begin{aligned}m_{PQ}&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{9p^2-1-(4p^2-1)}{-3p-2p}\\&=\frac{5p^2}{5p}\\m_{PQ}&=p\end{aligned}$

Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+b$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka 
$\begin{aligned}m_{PQ}\cdot m_g&=-1\\p\cdot m_g&=-1\\m_g&=-\frac{1}{p}\end{aligned}$

Diketahui juga $g:y=-\frac{1}{p}x+b$ menyinggung garis $y=x^2-1$, maka
$\begin{aligned}-\frac{1}{p}x+b&=x^2-1\\x^2+\frac{1}{p}x-b-1&=0\\\end{aligned}$

Untuk mencari nilai $b$ kita gunakan konsep determinan sama dengan nol $(D=0)$, maka
$\begin{aligned}D&=0\\b^2-4ac&=0\\\frac{1}{p^2}-4(1)(-b-1)&=0\\\frac{1}{p^2}+4b+4&=0\\4b&=-\frac{1}{p^2}-4\\b&=-\frac{1}{4p^2}-1\end{aligned}$

Persamaan garis $g$ adalah
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{p}x+b\\&=-\frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2}-1\\y&=-\frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2}-1\end{aligned}$

garis $g$ memotong sumbu-$Y$ artinya $x=0$, maka ordinatnya atau titik $y$-nya adalah
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{p}(0)-\frac{1}{4p^2}-1\\y&=-\frac{1}{4p^2}-1\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 8: SNMPTN 2008 Kode 211
Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-x+1$ maka $a+b=...$
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$

PEMBAHASAN:
Gradien garis sama dengan turunan pertama fungsi kurva, maka garis singgung kurva $f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-x+1$ pada titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{aligned}m&=f'(x)\\&=\frac{3}{2}x^2+x-1\\&=\frac{3}{2}(2)^2+(2)-1\\m&=7\end{aligned}$

Persamaan garisnya adalah:
$\begin{aligned}(y-y_1)&=m(x-x_1)\\(y-5)&=7(x-2)\\y&=7x-14+5\\y&=7x-9\end{aligned}$

Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 9: UM UGM 2019 Kode 624
Jika garis singgung kurva $y=x^3-3x^2-9x$ di titik $(a,b)$ mempunyai gradien $15$, maka nilai $a+b$ yang mungkin adalah...
(A) $0$
(B) $-2$
(C) $-4$
(D) $-6$
(E) $-8$

PEMBAHASAN:
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b\right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y=x^3-3x^2-9x$ memppunyai gradien $m=15$ di $(a,b)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{aligned}m&=f'(x)\\15&=3x^2-6x-9\\15&=3(a)^2-6(a)-9\\0&=3a^2-6a-24\\a^2-2a-8&=0\\(a+2)(a-4)&=0\end{aligned}$
maka $a=-2$ atau $a=4$

Untuk $a=4=x$ maka $b=y=4^3-3(4)^2-9(4)=-20$, maka nilai $a+b=-16$
Untuk $a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^3-3(-2)^2-9(-2)=-2$, maka nilai $a+b=-4$

Pilihan yang sesuai adalah (C) 

Soal 10: UTBK TKA SAINTEK 2019 
Diberikan fungsi $f(x)=2x^3+3x^2+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
(A) $\frac{5}{\sqrt{37}}$
(B) $\frac{4}{\sqrt{37}}$
(C) $\frac{3}{\sqrt{37}}$
(D) $\frac{2}{\sqrt{37}}$
(E) $\frac{1}{\sqrt{37}}$

PEMBAHASAN:
Gradien garis $m$ sama dengan turunan pertama fungsi kurva $f(x)$ atau $m=f'(x)$

Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^3+3x^2+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:

$\begin{aligned}m&=f'(x)\\m&=6x^2+6x+6\\\end{aligned}$

untuk $x=a$ gradiennya $m=6a^2+6a+6$ 
untuk $x=a+1$ gradiennya $m=6(a+1)^2+6(a+1)+6$ 

Kita bisa tuliskan kembali menjadi:

$\begin{aligned}6a^2+6a+6&=6(a+1)^2+6(a+1)+6\\6a^2+6a+6&=6a^2+12a+6+6a+6+6\\6a^2+6a+6&=6a^2+18a+18\\-12&=12a\\a&=-1\end{aligned}$

Untuk $x=a$ kita peroleh $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6(-1)^2+6(-1)+6=6$, persamaan garis adalah:

$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-0&=6(x+1)\\y&=6x+6\end{aligned}$

Untuk $x=a+1$ kita peroleh $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6(0)^2+6(0)+6=6$, persamaan garis adalah:

$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-5&=6(x+0)\\y&=6x+5\end{aligned} $

Jarak kedua garis adalah jarak titik $(-1,0)$ pada garis $y=6x+6$ ke garis $y=6x+5$, yaitu:

$\begin{aligned} d&=\left | \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}  \right | \\&=\left | \frac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^2+(1)^2}}  \right | \\&=\left | \frac{1}{\sqrt{36+1}}  \right |\\d&=\left | \frac{1}{\sqrt{37}}  \right |\\\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (E)