Soal dan Pembahasan Persamaan Garis


Soal 1: SBMPTN 2015 Kode 605
Jika garis g sejajar dengan garis y=3x+7 dan menyinggung kurva y=x2+4x+5, maka garis g memotong sumbu-y di titik...


(A) (0,4)
(B) (0,1)
(C) (0,0)
(D) (0,1)
(E) (0,4)

PEMBAHASAN:
Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama m1=m2, dan garis g sejajar dengan garis y=3x+7 maka gradien garis g adalah m1=mg=2.

Diketahui juga bahwa garis g menyinggung kurva y=x2+4x+5 maka 
m2=y=2x+4

Dari nilai m2=y=2x+4 dan m1=2 dapat kita tentukan nilai x dan y saat m=2 yaitu
m1=m22x+4=22x=2x=1
maka 
y=x2+4x+4=(2)2+4(1)+4=14+5y=2

Garis g adalah garis yang melalui titik (1,2) dan gradien m=2, maka persamaan garis g adalah:
yy1=m(xx1)y2=2(x(1))y2=2(x+1)y=2x+4

Jadi, garis 
g:y=2x+4 memotong sumbu-y (ketika x=0) di titik (0,4)

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 2: SIMAK UI 2011 Kode 213
Titik pada garis y=3x+10 yang terdekat dengan titik (3,8) adalah titik P. Jarak titik dan 
(3,8) adalah...

(A) 1110
(B) 111010
(C) 911010
(D) 1091
(E) 1211010

PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep:
Jarak titik (x1,y1) dengan garis ax+by+c=0 adalah 

d=|ax1+by1+ca2+b2|

Dari soal titik P terletak pada garis y=3x+10 dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik (3,8), sehingga jarak titik P dengan titik (3,8) merupakan jarak titik (3,8) dengan garis y=3x+10.

Jarak titik (3,8) dengan garis 3x+y10=0 adalah
d=|ax1+by1+ca2+b2|=|(3)(3)+(1)(8)10(3)2+(1)2|=|9+8109+1|=|1110|d=111010

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 3: SBMPTN 2014 Kode 677
Garis l mempunyai gradien 2. Jika l menyinggung grafik fungsi f(x)=x2+px+1 di x=1, maka persamaan l adalah...

(A) y=2x3
(B) y=2x1
(C) y=2x
(D) y=2x+2
(E) y=2x+4

PEMBAHASAN:
Persamaan umum garis linear adalah 
y=mx+b. Dari soal gradien garisnya adalah m=2 maka kita misalkan garis l adalah l:y=2x+b

Karena garis 
l:y=2x+b menyinggung y=f(x)=x2+px+1 di x=1 maka:
ml=y2=2x+p2=2+pp=4

Garis 
l:y=2x+b menyinggung y=x2+4x+1 di x=1, maka
y=(1)2+4(1)+1=4

Untuk 
x=1 nilai y=4 maka:
y=2x+b4=2(1)+bb=2

maka garis l adalah y=2x+2

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 4: UM UGM 2014 Kode 522
Kurva y=3x3x2 memotong sumbu X di titik P. Persamaan garis singgung kurva di titik P adalah...
(A) x9y9=0
(B) x9y+9=0
(C) 9xy9=0
(D) 9xy+9=0
(E) 
9x+y9=0

PEMBAHASAN:
Kurva y=3x3x2 memotong sumbu X di titik P, artinya 
y=0, maka
3x3x2=03x33=0x31=0(x1)(x2+x+1)=0

Salah satu nilai x yang memenuhi adalah x=1 maka titik P adalah (1,0)

Untuk sebuah fungsi 
f(x) gradien di titik (a,b) adalah turunan pertama fungsi untuk x=a yaitu m=f(a), sehingga dapat kita peroleh:

m=f(x)=3+6x3=3+6(1)3m=9

Garis singgung kurva di titik 
P(1,0) adalah:
yy1=m(xx1)y0=9(x1)y=9x99xy9=0

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 5: SIMAK UI 2011 Kode 214
Tiga buah garis lurus 
l1, l2, l3, dan l4 mempunyai gradien masing-masing 2, 3, 4. Ketiga garis ini memotong sumbu Y di titik yang sama. Jika jumlah nilai x dari titik potong dengan sumbu X dari ketiga garis adalah 19, maka persamaan garis l2 adalah...

(A) 117x39=4
(B) 117x+39=4
(C) 117x39=4
(D) 39x117=4

(E) 
39x+117=4

PEMBAHASAN:
Persamaan umum persamaan garis adalah 
y=mx+b, maka untuk tiga garis lurus l1, l2, l3, dan l4 yang mempunyai gradien masing-masing 2, 3, 4 dan memotong sumbu Y(x=0) sehingga persamaan ketiga garis dapat kita tuliskan sebagai, 

  • l1:y=2x+b
  • l2:y=3x+b dan 
  • l3:y=4x+b.
Jika jumlah nilai dari titik potong dengan sumbu X(y=0) dari ketiga garis adalah 19, maka dapat kita tuliskan:

  • l1:y=2x+b, saat y=0 maka berlaku 0=2x+b atau x=12a
  • l2:y=3x+b, saat y=0 maka berlaku 0=3x+b atau x=13a
  • l3:y=4x+b, saat y=0 maka berlaku 0=4x+b atau x=14a

maka:
19=12a13a14a19=6+4+312a19=13a12a=12(9)(13)=439

Persamaan l2:y=3x+a adalah l2:y=3x439 

atau 39y=117x4117x39y=4

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 6: SIMAK UI 2009 Kode 931
Diketahui adalah garis yang dinyatakan oleh 
det(A)=0 dimana A=(112xy1213), persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah...
(A) x+y7=0
(B) xy+7=0
(C) xy+1=0
(D) x+y1=0
(E) x+y+1=0

PEMBAHASAN:
Persamaan garis l kita dapatkan dengan mencari determinan matriks A yang berordo 3×3 yang nilainya sama dengan nol.
det(A)=|11211xy1xy21321|=0

Persamaan garis l adalah
(1y3+112+2x1)(2y2+111+1x3)=0(3y+2+2x)(4y+1+3x)=03y+2+2x4y13x=01yx=0y=x+1

kita dapatkan gradien garisnya adalah m=1 maka persamaan garis sejajar l melalui (3,4) adalah
yy1=m(xx1)y4=1(x3)y4=3xx+y7=0

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 7: SBMPTN 2014 Kode 677
Titik P dan Q masing-masing mempunyai absis 2p dan 3p terletak pada parabola y=x21. Jika garis g tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis g memotong sumbu Y di titik berordinat...
(A) 14p21
(B) 14p2+1
(C) 14p21
(D) p214
(E) 14p2+1

PEMBAHASAN:
Titik P dan Q masing-masing mempunyai absis 2p dan 3p terletak pada parabola y=x21, maka:

untuk titik P: x=2p, y=(2p)21=4p21, koordinat titik P adalah (2p,4p21)

untuk titik Q: x=3p, y=(3p)21=9p21, koordinat titik Q adalah (3p,9p21)

Gradien garis PQ adalah
mPQ=y2y1x2x1=9p21(4p21)3p2p=5p25pmPQ=p

Garis g kita misalkan g:y=mx+b dan garis PQ tegak lurus maka 
mPQmg=1pmg=1mg=1p

Diketahui juga g:y=1px+b menyinggung garis y=x21, maka
1px+b=x21x2+1pxb1=0

Untuk mencari nilai b kita gunakan konsep determinan sama dengan nol (D=0), maka
D=0b24ac=01p24(1)(b1)=01p2+4b+4=04b=1p24b=14p21

Persamaan garis g adalah
y=1px+b=1px14p21y=1px14p21

garis g memotong sumbu-Y artinya x=0, maka ordinatnya atau titik y-nya adalah
y=1p(0)14p21y=14p21

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 8: SNMPTN 2008 Kode 211
Jika P(2,5) merupakan titik singgung dari garis y=ax+b pada kurva f(x)=12x3+12x2x+1 maka a+b=...
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

PEMBAHASAN:
Gradien garis sama dengan turunan pertama fungsi kurva, maka garis singgung kurva f(x)=12x3+12x2x+1 pada titik P(2,5) adalah
m=f(x)=32x2+x1=32(2)2+(2)1m=7

Persamaan garisnya adalah:
(yy1)=m(xx1)(y5)=7(x2)y=7x14+5y=7x9

Karena y=ax+by=7x9 maka a+b=2

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 9: UM UGM 2019 Kode 624
Jika garis singgung kurva y=x33x29x di titik (a,b) mempunyai gradien 15, maka nilai a+b yang mungkin adalah...
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8

PEMBAHASAN:
Untuk sebuah fungsi f(x) gradien di titik adalah turunan pertama fungsi untuk x=a yaitu m=f(a), sehingga Kurva y=x33x29x memppunyai gradien m=15 di (a,b) dapat kita tuliskan:
m=f(x)15=3x26x915=3(a)26(a)90=3a26a24a22a8=0(a+2)(a4)=0
maka a=2 atau a=4

Untuk a=4=x maka b=y=433(4)29(4)=20, maka nilai a+b=16
Untuk a=2=x maka b=y=(2)33(2)29(2)=2, maka nilai a+b=4

Pilihan yang sesuai adalah (C) 

Soal 10: UTBK TKA SAINTEK 2019 
Diberikan fungsi f(x)=2x3+3x2+6x+5. Garis singgung kurva y=f(x) di titik dengan absis x=a dan x=a+1 saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
(A) 537
(B) 437
(C) 337
(D) 237
(E) 137

PEMBAHASAN:
Gradien garis m sama dengan turunan pertama fungsi kurva f(x) atau m=f(x)

Garis yang menyinggung fungsi f(x)=2x3+3x2+6x+5 di x=a dan x=a+1 adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:


m=f(x)m=6x2+6x+6

untuk x=a gradiennya m=6a2+6a+6 
untuk x=a+1 gradiennya m=6(a+1)2+6(a+1)+6 

Kita bisa tuliskan kembali menjadi:

6a2+6a+6=6(a+1)2+6(a+1)+66a2+6a+6=6a2+12a+6+6a+6+66a2+6a+6=6a2+18a+1812=12aa=1

Untuk x=a kita peroleh x=1 maka y=0 dan gradien garis singgung adalah m=y=6(1)2+6(1)+6=6, persamaan garis adalah:

yy1=m(xx1)y0=6(x+1)y=6x+6

Untuk x=a+1 kita peroleh x=0 maka y=5 dan gradien garis singgung adalah m=y=6(0)2+6(0)+6=6, persamaan garis adalah:

yy1=m(xx1)y5=6(x+0)y=6x+5

Jarak kedua garis adalah jarak titik (1,0) pada garis y=6x+6 ke garis y=6x+5, yaitu:

d=|ax1+by1+ca2+b2|=|(6)(1)+(1)(0)5(6)2+(1)2|=|136+1|d=|137|
Pilihan jawabannya adalah (E)