Soal 1: SBMPTN 2015 Kode 605
Jika garis g sejajar dengan garis y=3x+7 dan menyinggung kurva y=x2+4x+5, maka garis g memotong sumbu-y di titik...
(B) (0,−1)
(C) (0,0)
(D) (0,1)
(E) (0,4)
Diketahui juga bahwa garis g menyinggung kurva y=x2+4x+5 maka m2=y′=2x+4
Dari nilai m2=y′=2x+4 dan m1=2 dapat kita tentukan nilai x dan y saat m=2 yaitu
m1=m22x+4=22x=−2x=−1,
maka
y=x2+4x+4=(−2)2+4(−1)+4=1−4+5y=2
Garis g adalah garis yang melalui titik (−1,2) dan gradien m=2, maka persamaan garis g adalah:
y−y1=m(x−x1)y−2=2(x−(−1))y−2=2(x+1)y=2x+4
Jadi, garis g:y=2x+4 memotong sumbu-y (ketika x=0) di titik (0,4)
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 2: SIMAK UI 2011 Kode 213
Titik pada garis y=3x+10 yang terdekat dengan titik (3,8) adalah titik P. Jarak titik dan (3,8) adalah...
(B) 11√1010
(C) 91√1010
(D) 1091
(E) 121√1010
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep:
Jarak titik (3,8) dengan garis −3x+y−10=0 adalah
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 3: SBMPTN 2014 Kode 677
Garis l mempunyai gradien 2. Jika l menyinggung grafik fungsi f(x)=−x2+px+1 di x=1, maka persamaan l adalah...
(A) y=2x−3
(B) y=2x−1
(C) y=2x
(D) y=2x+2
(E) y=2x+4
Persamaan umum garis linear adalah y=mx+b. Dari soal gradien garisnya adalah m=2 maka kita misalkan garis l adalah l:y=2x+b
Karena garis l:y=2x+b menyinggung y=f(x)=−x2+px+1 di x=1 maka:
ml=y′2=−2x+p2=−2+pp=4
Garis l:y=2x+b menyinggung y=−x2+4x+1 di x=1, maka
y=−(1)2+4(1)+1=4
Untuk x=1 nilai y=4 maka:
y=2x+b4=2(1)+bb=2
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 4: UM UGM 2014 Kode 522
Kurva y=3x−3x2 memotong sumbu X di titik P. Persamaan garis singgung kurva di titik P adalah...
(A) x−9y−9=0
(B) x−9y+9=0
(C) 9x−y−9=0
(D) 9x−y+9=0
(E) 9x+y−9=0
PEMBAHASAN:
Kurva y=3x−3x2 memotong sumbu X di titik P, artinya y=0, maka
3x−3x2=03x3−3=0x3−1=0(x−1)(x2+x+1)=0
Salah satu nilai x yang memenuhi adalah x=1 maka titik P adalah (1,0)
Untuk sebuah fungsi f(x) gradien di titik (a,b) adalah turunan pertama fungsi untuk x=a yaitu m=f′(a), sehingga dapat kita peroleh:
m=f′(x)=3+6x3=3+6(1)3m=9
Garis singgung kurva di titik P(1,0) adalah:
y−y1=m(x−x1)y−0=9(x−1)y=9x−99x−y−9=0
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 5: SIMAK UI 2011 Kode 214
Tiga buah garis lurus l1, l2, l3, dan l4 mempunyai gradien masing-masing 2, 3, 4. Ketiga garis ini memotong sumbu Y di titik yang sama. Jika jumlah nilai x dari titik potong dengan sumbu X dari ketiga garis adalah 19, maka persamaan garis l2 adalah...
(A) 117x−39=4
(B) 117x+39=4
(C) 117x−39=−4
(D) 39x−117=4(E) 39x+117=−4
PEMBAHASAN:
Persamaan umum persamaan garis adalah y=mx+b, maka untuk tiga garis lurus l1, l2, l3, dan l4 yang mempunyai gradien masing-masing 2, 3, 4 dan memotong sumbu Y(x=0) sehingga persamaan ketiga garis dapat kita tuliskan sebagai,
- l1:y=2x+b,
- l2:y=3x+b dan
- l3:y=4x+b.
- l1:y=2x+b, saat y=0 maka berlaku 0=2x+b atau x=−12a
- l2:y=3x+b, saat y=0 maka berlaku 0=3x+b atau x=−13a
- l3:y=4x+b, saat y=0 maka berlaku 0=4x+b atau x=−14a
maka:
19=−12a−13a−14a19=−6+4+312a19=−13a12a=−12(9)(13)=−439
Persamaan l2:y=3x+a adalah l2:y=3x−439
atau 39y=117x−4⇒117x−39y=4
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 6: SIMAK UI 2009 Kode 931
Diketahui adalah garis yang dinyatakan oleh det(A)=0 dimana A=(112xy1213), persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah...
(A) x+y−7=0
(B) x−y+7=0
(C) x−y+1=0
(D) x+y−1=0
(E) x+y+1=0
PEMBAHASAN:
Persamaan garis l kita dapatkan dengan mencari determinan matriks A yang berordo 3×3 yang nilainya sama dengan nol.
det(A)=|11211xy1xy21321|=0
Persamaan garis l adalah
(1⋅y⋅3+1⋅1⋅2+2⋅x⋅1)−(2⋅y⋅2+1⋅1⋅1+1⋅x⋅3)=0(3y+2+2x)−(4y+1+3x)=03y+2+2x−4y−1−3x=01−y−x=0y=−x+1
kita dapatkan gradien garisnya adalah m=−1 maka persamaan garis sejajar l melalui (3,4) adalah
y−y1=m(x−x1)y−4=−1(x−3)y−4=3−xx+y−7=0
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 7: SBMPTN 2014 Kode 677
Titik P dan Q masing-masing mempunyai absis 2p dan −3p terletak pada parabola y=x2−1. Jika garis g tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis g memotong sumbu Y di titik berordinat...
(A) 14p2−1
(B) −14p2+1
(C) −14p2−1
(D) p2−14
(E) 14p2+1
PEMBAHASAN:
Titik P dan Q masing-masing mempunyai absis 2p dan −3p terletak pada parabola y=x2−1, maka:
untuk titik P: x=2p, y=(2p)2−1=4p2−1, koordinat titik P adalah (2p,4p2−1)
untuk titik Q: x=−3p, y=(−3p)2−1=9p2−1, koordinat titik Q adalah (−3p,9p2−1)
Gradien garis PQ adalah
mPQ=y2−y1x2−x1=9p2−1−(4p2−1)−3p−2p=5p25pmPQ=p
Garis g kita misalkan g:y=mx+b dan garis PQ tegak lurus maka
mPQ⋅mg=−1p⋅mg=−1mg=−1p
Diketahui juga g:y=−1px+b menyinggung garis y=x2−1, maka
−1px+b=x2−1x2+1px−b−1=0
Untuk mencari nilai b kita gunakan konsep determinan sama dengan nol (D=0), maka
D=0b2−4ac=01p2−4(1)(−b−1)=01p2+4b+4=04b=−1p2−4b=−14p2−1
Persamaan garis g adalah
y=−1px+b=−1px−14p2−1y=−1px−14p2−1
garis g memotong sumbu-Y artinya x=0, maka ordinatnya atau titik y-nya adalah
y=−1p(0)−14p2−1y=−14p2−1
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 8: SNMPTN 2008 Kode 211
Jika P(2,5) merupakan titik singgung dari garis y=ax+b pada kurva f(x)=12x3+12x2−x+1 maka a+b=...
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) −1
(E) −2
PEMBAHASAN:
Gradien garis sama dengan turunan pertama fungsi kurva, maka garis singgung kurva f(x)=12x3+12x2−x+1 pada titik P(2,5) adalah
m=f′(x)=32x2+x−1=32(2)2+(2)−1m=7
Persamaan garisnya adalah:
(y−y1)=m(x−x1)(y−5)=7(x−2)y=7x−14+5y=7x−9
Karena y=ax+b≡y=7x−9 maka a+b=−2
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 9: UM UGM 2019 Kode 624
Jika garis singgung kurva y=x3−3x2−9x di titik (a,b) mempunyai gradien 15, maka nilai a+b yang mungkin adalah...
(A) 0
(B) −2
(C) −4
(D) −6
(E) −8
PEMBAHASAN:
Untuk sebuah fungsi f(x) gradien di titik adalah turunan pertama fungsi untuk x=a yaitu m=f′(a), sehingga Kurva y=x3−3x2−9x memppunyai gradien m=15 di (a,b) dapat kita tuliskan:
m=f′(x)15=3x2−6x−915=3(a)2−6(a)−90=3a2−6a−24a2−2a−8=0(a+2)(a−4)=0
maka a=−2 atau a=4
Untuk a=4=x maka b=y=43−3(4)2−9(4)=−20, maka nilai a+b=−16
Untuk a=−2=x maka b=y=(−2)3−3(−2)2−9(−2)=−2, maka nilai a+b=−4
Pilihan yang sesuai adalah (C)
Soal 10: UTBK TKA SAINTEK 2019
Diberikan fungsi f(x)=2x3+3x2+6x+5. Garis singgung kurva y=f(x) di titik dengan absis x=a dan x=a+1 saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
(A) 5√37
(B) 4√37
(C) 3√37
(D) 2√37
(E) 1√37
PEMBAHASAN:
Gradien garis m sama dengan turunan pertama fungsi kurva f(x) atau m=f′(x)
Garis yang menyinggung fungsi f(x)=2x3+3x2+6x+5 di x=a dan x=a+1 adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:
m=f′(x)m=6x2+6x+6
untuk x=a gradiennya m=6a2+6a+6
untuk x=a+1 gradiennya m=6(a+1)2+6(a+1)+6
Kita bisa tuliskan kembali menjadi:
6a2+6a+6=6(a+1)2+6(a+1)+66a2+6a+6=6a2+12a+6+6a+6+66a2+6a+6=6a2+18a+18−12=12aa=−1
Untuk x=a kita peroleh x=−1 maka y=0 dan gradien garis singgung adalah m=y′=6(−1)2+6(−1)+6=6, persamaan garis adalah:
y−y1=m(x−x1)y−0=6(x+1)y=6x+6
Untuk x=a+1 kita peroleh x=0 maka y=5 dan gradien garis singgung adalah m=y′=6(0)2+6(0)+6=6, persamaan garis adalah:
y−y1=m(x−x1)y−5=6(x+0)y=6x+5
Jarak kedua garis adalah jarak titik (−1,0) pada garis y=6x+6 ke garis y=6x+5, yaitu:
d=|ax1+by1+c√a2+b2|=|(−6)(−1)+(1)(0)−5√(−6)2+(1)2|=|1√36+1|d=|1√37|
Pilihan jawabannya adalah (E)