Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Soal 1: SBMPTN 2018 Kode 527
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\frac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...

(A) $\frac{1}{15}$
(B) $\frac{2}{15}$
(C) $\frac{1}{5}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $\frac{8}{15}$

PEMBAHASAN:
Misalkan empat suku barisan geometri dengan $r=\frac{1}{2}$ adalah 
$U_1=a$, $U_2=\frac{1}{2}a$, $U_3=\frac{1}{4}a$, $U_4=\frac{1}{8}a$, maka
$\begin{aligned} a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a+\frac{1}{8a}&=1\\\frac{8+4+2+1}{a}&=1\\15a&=8\\a&=\frac{8}{15}\end{aligned}$

Misalkan tiga suku barisan aritmetika dengan beda $b$ adalah
$u_1-b$, $u_1$, dan $u_1+b$, maka
$\begin{aligned}u_1-b+u_1+u_1+b&=1\\3u_1&=1\\u_1&=\frac{1}{3}\end{aligned}$

Karena $u_1$ barisan geometri sama dengan $u_3$ barisan aritmetika, maka
$\begin{aligned}\frac{1}{3}+b&=\frac{8}{15}\\b&=\frac{8}{15}-\frac{1}{3}\\&=\frac{8}{15}-\frac{5}{15}\\&=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 2: SBMPTN 2017 Kode 226
Perbandingan suku ke-$6$ terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah $\frac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-$3$ dan suku ke-$4$ adalah $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
(A) $30$
(B) $40$
(C) $50$
(D) $60$
(E) $70$

PEMBAHASAN:
Dari soal diketahui:
$\begin{aligned}\frac{u_6}{u_1}&=\frac{1}{32}\\\frac{ar^5}{a}&=\frac{1}{32}\\r^5&=\left (\frac{1}{2}  \right )^5\\r&=\frac{1}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}u_3+u_4&=15\\ar^2+ar^3&=15\\\frac{1}{4}a+\frac{1}{8}a&=15\\\frac{3}{8}a&=15\\a&=\frac{120}{3}=40\end{aligned}$

Barisan geometri adalah $40$$,$$20$$,$$10$$,$$5$$,\cdots$ dan jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah $70$.

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 3: SBMPTN 2014 Kode 631
Diketahui $p$$,$$x$$,$$y$ merupakan bilangan real dengan $x>0$. Jika $p$$,$$x$$,$$y$$,$$15x^2$ membentuk barisan geometri, maka $p^6x^{-3}=...$
(A) $125$
(B) $50$
(C) $25$
(D) $7$
(E) $5$

PEMBAHASAN:
Kita dapat gunakan hubungan yang berlaku pada barisan geometri untuk menyelesaikan soal di atas yaitu, $U_{2}^{2}=U_1 \cdot U_3$ atau $U_{3}^{2}=U_2 \cdot U_4$.
Maka untuk barisan $p$$,$$x$$,$$y$$,$$15x^2$, berlaku:

$\begin{aligned}U_{2}^{2}&=U_1\cdot U_3\\x^2&=py\\y&=\frac{x^2}{p}\end{aligned}$

$\begin{aligned}U_{3}^{2}&=U_2\cdot U_4\\y^2&=\frac{1}{5}x^2\cdot x\\\left ( \frac{x^2}{p} \right )^2&=\frac{1}{5}x^3\\\frac{x}{p^2}&=\frac{1}{5}\\p^2&=5x\\p^2x^{-1}&=5\\\left ( p^2x^{-1} \right )^3&=5^3\\p^6x^{-3}&=125\end{aligned}$

Pilihan jawaban adalah (A)

Soal 4: SBMPTN 2013 Kode 124
Diketahui $a$$,$$b$$,\text{dan}$$c$ berturut-turut adalah suku ke-$2$, ke-$3$ dan ke-$4$ suatu barisan geometri dengan $b>0$, Jika $\frac{ac}{b+2}=1$, maka nilai $b$ adalah...
(A) $1$
(B) $2$
(C) $\frac{5}{2}$
(D) $3$
(E) $\frac{7}{2}$

PEMBAHASAN:
Barisan $a$$,$$b$$,\text{dan}$$c$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}b^2&=c\\\frac{ac}{b+2}&=1\\ac&=b+2\\b^2&=b+2\\b^2-b-2&=0\\(b+1)(b-2)&=0\\b=-1 \ atau \ b=2\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 5: UM UGM 2019 Kode 634
Tiga bilangan real $a$$,$$b$$,$ dan $c$ dengan $c<a$ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahannnya adalah $-14$ dan hasil perkaliannya adalah $216$. Nilai $c$ adalah...
(A) $-2$
(B) $-6$
(C) $-14$
(D) $-18$
(E) $-20$

PEMBAHASAN:
Bilangan real $a$$,$$b$$,\text{dan}$$c$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku $b^2=a \cdot c$. Hasil perkalian ketiga bilangan tersebut adalah $a \cdot b \cdot c = 216$, maka:
$\begin{aligned}a \cdot c&=b^2\\a \cdot b \cdot c &=b^3\\216&=b^3\\b&=\sqrt[3]{216}\\&=6\end{aligned}$
sehingga $a \cdot c=b^2=(6^2=36)$

Hasil jumlah ketiga bilangan barisan geometri adalah $-14$, 
$\begin{aligned}a+b+c&=-14\\a+6+c&=-14\\a+c&=-20\\a+\frac{36}{a}&=-20\\a^2+36&=-20a\\a^2+20a+36&=0\\(a+18)(a+2)&=0\\a=-18 \ atau \ a=-2\end{aligned}$
Untuk $a=-2$ maka $c=-18$ atau sebaliknya, karena $c<a$ maka $c=-18$.

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 6: UM UGM 2019 Kode 624
Misalkan $U_n$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $U_3-U_2=6$ dan $U_4-U_2=18$, maka $U_5+U_3=...$
(A) $40$
(B) $50$
(C) $60$
(D) $70$
(E) $80$

PEMBAHASAN:
Suku ke-$n$ barisan geometri: $a$, $ar$, $ar^2$, $ar^3$, . . . $ar^n$. Suku ke-$2$, ke-$3$ dan ke-$4$ berturut-turut adalah $U_2= ar$, $U_3=ar^2$, dan $U_4=ar^3$

Dari soal diketahui $U_3-U_2=6$, maka
 $\begin{aligned}U_3-U_2&=6\\ar^2-ar&=6\\ar(r-1)&=6\\\end{aligned}$

dan $U_4-U_2=18$, 
$\begin{aligned}U_4-U_2&=18\\ar^3-ar&=18\\ar(r^2-1)&=18\\ar(r-1)(r+1)&=18\\6(r+1)&=18\\r+1&=3\\r&=2\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}ar(r-1)&=6\\a(2)(2-1)&=6\\2a&=6\\a&=3\end{aligned}$

Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{aligned}U_5+U_3&=ar^4+ar^2\\&=(3)(2)^4+(3)(2)^2\\&=48+12=60\end{aligned}$

Pilihan yang sesuai adalah (C)

Soal 7: SNMPTN 2011 Kode 171
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$. Jika bilangan yang terkecil ditambah $7$ dan bilangan yang terbesar ditambah $2$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
(A) $56$
(B) $54$
(C) $52$
(D) $50$
(E) $48$

PEMBAHASAN:
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$, Misal bilangan itu adalah $a$$,$$a+16$$,$$a+32$ dan barisan berubah menjadi $a+7$$,$$a+16$$,$$a+32+2$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}(a+16)^2&=(a+7)(a+34)\\a^2+32a+256&=a^2+41a+238\\32a-41a+256-238&=0\\-9a+18&=0\\9a&=18\\a&=2\\\end{aligned}$

Jumlah bilangan adalah:
$\begin{aligned}a+a++16+a+32&=3a+48\\&=3(2)+48\\&=54\end{aligned}$

Soal 8: SIMAK UI 2013 Kode 333
Diketahui bilangan $a$$,$$b$$,$$c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a$$,$$b$$,$$c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a$$,$$b+2$$,$$c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
(A) $\frac{14}{9}$
(B) $\frac{20}{9}$
(C) $\frac{32}{9}$
(D) $\frac{40}{9}$
(E) $\frac{80}{9}$

PEMBAHASAN:

• Dari barisan geometri $a$$,$$b$$,$$c$  kita peroleh $b^2=ac$$\text{(1)}$
• Dari barisan aritmetika $a$$,$$b$$,$$c-2$  kita peroleh $2b=a+c-2$  $\text{(2)}$
• Dari barisan geometri $a$$,$$b+2$$,$$c+10$ kita peroleh $(b+2)^2=a(c+10)$ $\text{(3)}$

Jika kita subsitusi $\text{pers.}\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ ke $\text{pers.}\left(3\right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{aligned}a(c+10)&=(b+2)^2\\ac+10a&=b^2+4b+4\\ac+10a&=ac+2(a+c-2)+4\\2a+2c-4+4&=10a\\a+c&=10a\\c&=4a \end{aligned}$

$\begin{aligned}a+c-2&=2b\\a+4a-2&=2b\\5a&=2b+2\\a&=\frac{2b+2}{5}\end{aligned}$

Nilai $a$ dan $c$ kita subtitusikan ke persamaan (1), kita peroleh
$\begin{aligned}b^2&=ac\\&=a(4a)\\&=4\left ( \frac{2b+2}{5} \right )^2\\&=4\left ( \frac{4b^2+8b+4}{25} \right )\\25b^2&=16b^2+32b+16\\9b^2-32b-16&=0\end{aligned}$

Dari persamaan kuadrat dalam variabel $b$ dengan akar-akarnya adalah $b_1$ dan $b_2$, maka jumlah nilai $b$ yang mungkin adalah jumlah akar-akar persamaan kuadrat $9b^2-32b-16=0$ yaitu $b_1+b_2=-\frac{-32}{9}=\frac{32}{9}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 9: SNMPTN 2018 Kode 417
Diberikan barisan geometri $u_n$, dengan $u_3+u_4=4(u_1+u_2)$ dan $u_1u_4=4u_2$. Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah...

(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $5$
(D) $10$
(E) $15$

PEMBAHASAN:
Dari Barisan Geometri yang memenuhi $u_3+u_4=4(u_1+u_2)$ dan $u_1u_4=4u_2$ kita peroleh;
$\begin{aligned}u_3+u_4&=4(u_1+u_2)\\ar^2+ar^3&=4(a+ar)\\ar^2+ar^3&=4a+4ar\\r^2+r^3&=4+4r\\r^3+r^2-4r-4&=0\\(r+1)(r+2)(r-1)&=0\\r=-1, r =-2 \ atau \ r=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}u_1u_4&=4u_2\\a\cdot ar^3&=4(ar)\\ar^2&=4\end{aligned}$

Untuk $r=-1$ maka $a=4$ Barisan Geometri: $4,-1,4,-4,...$ 

Untuk $r=-2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,-2,4,-8,...$ 

Untuk $r=2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1, 2, 4, 8, ...$

Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah: $0$, $-5$ atau $15$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 10: UM UGM 2019 Kode 934

Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha$. Titik $C_1$ merupakan titik sehingga $\bigtriangleup ACC_1$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_1= \alpha$. Titik $C_2$ dipilih sehingga $\bigtriangleup AC_1C_2$ siku-siku di $C_1$ dan $\angle C_1AC_2= \alpha$, dan seterusnya.
Panjang $AC_1$, $AC_2$, $AC_3$$,\cdots$ , merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai $\frac{a}{r}$ adalah...

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

PEMBAHASAN:
Pada segitiga siku-siku $ABC$ dapat kita peroleh $AC=5$, 
$sin \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$ dan $cos \alpha = \frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$

Pada segitiga siku siku $ACC_2$ kita peroleh:
$\begin{aligned}cos \ \alpha&=\frac{AC}{AC_1}\\\frac{4}{5}&=\frac{5}{AC_1}\\AC_1&=\frac{25}{4}\end{aligned}$

Pada segitiga siku-siku $AC_1C_2$ dapat kita peroleh:
$\begin{aligned}cos \ \alpha&=\frac{AC_1}{AC_2}\\\frac{4}{5}&=\frac{\frac{25}{4}}{AC_2}\\AC_2&=\frac{125}{16}\end{aligned}$

Karena $AC_1$$,$$AC_2$$,$$AC_3$,$\cdots$ , merupakan barisan geometri maka dapat kita peroleh

$a=AC_1=\frac{25}{4}$ dan 

$\begin{aligned}r&=\frac{AC_2}{AC_1}\\&=\frac{\frac{125}{16}}{\frac{25}{4}}\\&=\frac{125}{16}\cdot \frac{4}{5}\\r&=\frac{5}{4}\end{aligned}$

Sehingga Nilai:
$\begin{aligned}\frac{a}{r}&=\frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}\\&=\frac{25}{4}\cdot \frac{4}{5}\\r&=5\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)