Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika

Soal 1: UM UGM 2019 Kode 923/924
Misalkan $U_n$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmatika. Diketahui $U_1 \times U_2=10$ dan $U_1 \times U_3=16$. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakan bilangan positif, $U_{10}=...$

(A) $21$
(B) $23$
(C) $25$
(D) $27$
(E) $29$

PEMBAHASAN:
Suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika diberikan oleh $U_n=a+(n-1)b$, maka dengan data yang diketahui dari soal, 
$\begin{aligned}U_1 \times U_2&=10\\a\times \left [a+(2-1)b  \right ]&=10\\a\times (a+b)&=10\\a^2+ab&=10\\a^2&=10-ab\end{aligned}$
$\begin{aligned}U_1 \times U_3&=16\\a\times \left [a+(3-1)b  \right ]&=16\\a\times (a+2b)&=16\\a^2+2ab&=16\\10-ab+2ab&=16\\ ab&=16-10=6\end{aligned}$

$\begin{aligned}a^2&=10-ab\\&=10-6=4\\a&=2 \rightarrow b=3 \end{aligned}$
$\begin{aligned}U_{10}&=a+9b\\&=2+9(3)\\U_{10}&=29\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 2: UTBK 2019 
Diketahui barisan aritmatika dengan $U_k$ menyatakan suku ke $k$. Jika $U_{k+2}=U_2+kU_{16}-2$, maka nilai $U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24}=...$
(A) $\frac{2}{k}$
(B) $\frac{3}{k}$
(C) $\frac{4}{k}$
(D) $\frac{6}{k}$
(E) $\frac{8}{k}$

PEMBAHASAN:
Suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika diberikan oleh $U_n=a+(n-1)b$, maka Karena $U_k$ menyatakan suku ke $k$ pada deret aritmatika sehingga berlaku:
$\begin{aligned}U_{k}&=a+(k-1)b\\U_{k+2}&=a+(k+2-1)b\\&=a+(k+1)b\\U_2+kU_{16}-2&=a+bk+b\\a+b+k(a+15b)-2&=a+bk+b\\ka+15kb-2&=bk\\ak+14bk&=2\\k(a+14b)&=2\\a+14b&=\frac{2}{k}\end{aligned}$
$\begin{aligned}U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24}&=a+5b+a+11b+a+17b+a+23b\\&=4a+56b\\&=4(a+14b)\\&=4\left ( \frac{2}{k} \right )\\U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24}&=\frac{8}{k}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 3: UTBK-SBMPTN 2019 
Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah $2:3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah...
(A) $1:3$
(B) $3:4$
(C) $4:5$
(D) $5:6$
(E) $5:7$

PEMBAHASAN:
Suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika diberikan oleh $U_n=a+(n-1)b$,maka:
$\begin{aligned}\frac{U_1}{U_3}&=\frac{2}{3}\\\frac{a}{a+2b}&=\frac{2}{3}\\3a&=2a+2b\\&\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{U_2}{U_4}&=\frac{a+2b}{a+3b}\\&=\frac{4b+b}{4b+3b}\\&=\frac{5b}{7b}\\\frac{U_2}{U_4}&=\frac{5}{7}\end{aligned}$

Soal 4: UM UGM 2019 Kode 624
Diberikan bilangan real $a>0$ dan $a \neq 1$. Jika $^alog \  y \ $, $^alog \ (y+1) \ $, $^alog \ (3y+1) \ $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah...
(A) $\frac{1}{3}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) $3$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan sifat aritmetika: $U_2-U_1=U_3-U_2$

$^alog \  y \ $, $^alog \ (y+1) \ $, $^alog \ (3y+1) \ $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka:
$\begin{aligned}U_2-U_1&=U_3-U_2\\2U_2&=U_1+U_3\\2^alog \ (y+1) \ &= ^alog \ (3y+1) \ + ^alog \ y \ \\^alog \ (y+1)^2 \ &= ^alog \ (3y+1)y \ \\(y+1)^2&=(3y+1)y\\y^2+2y+1&=3y^2+y\\2y^2-y-1&=0\\(y-1)(2y+1)&=0\\y=1 \ atau \ y=-\frac{1}{2}\end{aligned}$

Nilai  $y=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $y>0$, sehingga nilai yang memenuhi $y=1$. Kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah $y^2=1^2=1$.

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 5: SIMAK UI 2018 Kode 641
Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah $187$. Jika pada setiap $2$ suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari $2$ suku yang berurutan tersebut, jumlah deret yang baru adalah...  
(A) $289$
(B) $323$
(C) $357$
(D) $399$
(E) $418$

PEMBAHASAN:
Kosep: Jumlah suku ke-$n$ barisan aritmetika diberikan oleh $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
Misalkan deret aritmetika $U_1+U_2+U_3+...+U_9+U_{10}+U_{11}$ atau $(a)+(a+b)+(a+2b)+...+(a+8b)+(a+9b)+(a+10b)$ dengan $S_n=187$
$\begin{aligned}S_n&=\frac{n}{2}[a+(n-1)b]\\S_{11}&=\frac{11}{2}[2a+{11-1}b]\\187&=\frac{11}{2}(2a+10b)\\187&=11a+55b\\17&=a+5b\end{aligned}$

Diantara dua suku disisipkan rata-rata kedua suku, sehingga deret yang baru adalah:
$(a)+\frac{1}{2}(2a+b)+(a+b)+\frac{1}{2}(2a+3b)+(a+2b)+...+(a+9b)+\frac{1}{2}(2a+19b)+(a+10b)$
Banyak suku yang dapat disisipkan adalah $10$ suku baru, deret yang disisipkan adalah:
$\frac{1}{2}(2a+b)+\frac{1}{2}(2a+3b)+\frac{1}{2}(2a+5b)+...+\frac{1}{2}(2a+19b)$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left [(2a+b)+(2a+3b)+(2a+5b)+...+(2a+19b)   \right ]\\&=\frac{1}{2}\left [2a \times 10+(b+3b+5b+...+19b)   \right ]\\&=\frac{1}{2}(20a+100b)\\&=\frac{1}{2}\cdot (a+5b)\\&=10(17)\\&=170\end{aligned}$

Jadi jumlah deret yang baru adalah $170+187=357$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 6: UM UGM 2014 Kode 522
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, Jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+log \ 3 \ $, maka suku ke-$1$ barisan tersebut adalah... 
(A) $-5$ atau $5$
(B) $5$ atau $-10$
(C) $5$ atau $25$
(D) $10$ atau $20$
(E) $25$ atau $15$

PEMBAHASAN:
Misalkan tiga bilangan membentuk barisan aritmetika yaitu $a-b$, $a$, $a+b$ dan jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$, maka:

$\begin{aligned}U_1+U_3&=30\\a-b+a+a+b&=30\\2a&=30\\a&=15\end{aligned}$

Untuk $a=15$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+log \ 3 \ $ maka kita peroleh:

$\begin{aligned}log \ a \ + log \ (a-b) + \ log(a+b)&=3+log \ 3 \ \\log (a-b)(a)(a+b)&=1og(10)^3+log \ 3 \ \\a(a-b)(a+b)&=10^3\cdot 3\\(15)(15-b)(15+b)&=3000\\(15-b)(15+b)&=200\\225-b^2&=200\\b^2&=225-200\\b&=\pm 5\end{aligned}$

Untuk $b=5$ dan $a=15$ maka barisan adalah $10$$,$$15$$,$$20$
Untuk $b=-5$ dan $a=15$ maka barisan adalah $20$, $15$, $10$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 7: SBMPTN 2014 Kode 613
Jumlah suku ke-$4$ dan suku ke-$5$ dari suatu barisan arimetika adalah $55$, sedangkan suku ke-$9$ dikurangi dua kali suku ke-$2$ bernilai $1$. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah...
(A) $17$
(B) $35$
(C) $37$
(D) $40$
(E) $60$

PEMBAHASAN:
Dari informasi pada soal jumlah suku ke-$4$ yaitu $U_4=a+3b$ dan suku ke-$5$ yaitu $U_5=a+4b$ adalah $55$, maka:

$\begin{aligned}U_4+U_5&=55\\a+3b+a+4b&=55\\2a+7b&=55\\\end{aligned}$
Kemudian suku ke-$9$ yaitu $U_9=a+8b$ dikurangi dua kali suku ke-$2$ yaitu $U_2=a+b$ adalah $1$, maka:
$\begin{aligned}U_9-2U_2&=1\\a+8b-2(a+b)&=1\\-a+6b&=1\\\end{aligned}$

Kedua persamaan linear ini kita jumlahkan maka kita dapatkan $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{array}{lcr}2a+7b=55 \times 1 \\-a+6b=1 \times \ 2 \ \\ \hline2a+7b=55 \\-2a+12b=2 \\ \hline19b=57\\b=3, maka \ a = 17\end{array}$

Jadi, jumlah tiga suku pertama adalah
$\begin{aligned}S_3&=a+a+b+a+2b\\&=3a+3b\\&=3(17+3)\\S_3&=60\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 8: SBMPTN 2014 Kode 651
Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah...
(A) $5$
(B) $7$
(C) $9$
(D) $11$
(E) $5$

PEMBAHASAN:
Suku tengah barisan aritmetika diberikan oleh:
$U_t=\frac{1}{2}(a+U_n)$

Pada soal diketahui $U_t=23$ dan $U_n=43$, maka
$\begin{aligned}U_t&=\frac{1}{2}(a+U_n)\\23&= \frac{1}{2}(a+43)\\46&=a+43\\a&=3\end{aligned}$

Karena $U_3=a+2b=13$, maka:
$\begin{aligned}U_3&=a+2b\\13&=3+2b\\10&=2b\\b&=5\end{aligned}$

dan $U_n = a+(n-1)b= 43$, 
$\begin{aligned}U_n&=a+(n-1)b\\43&=3+(n-1)5\\40&=(n-1)5\\n-1&=8\\n&=9\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 9: SIMAK UI 2013 Kode 331
Diketahui bahwa $x$$,$$a_1$$,$$a_2$$,$$a_3$$,$$y$ dan $x$$,$$b_1$$,$$b_2$$,$$b_3$$,$$b_4$$,$$b_5$$,$$y$ dengan $x \neq y$ adalah dua buah barisan aritmetika, maka $\frac{a_3-a_2}{b_5-b_3}=...$
(A) $\frac{2}{3}$
(B) $\frac{5}{7}$
(C) $\frac{3}{4}$
(D) $\frac{5}{6}$
(E) $\frac{4}{3}$

PEMBAHASAN:
Dari barisan $x$$,$$a_1$$,$$a_2$$,$$a_3$$,$$y$;

• $u_1=x$ dan misal beda $c$ maka $m=\frac{y-x}{4}$ dan $u_n=x+(n-1)c$
• $a_2=x+c$ dan $a_3=x+3c$

Dari barisan $x$$,$$b_1$$,$$b_2$$,$$b_3$$,$$b_4$$,$$b_5$$,$$y$;

• $u_1=x$ dan misal beda $d$ maka $d=\frac{y-x}{6}$ dan $u_2=x+(n-1)d$
• $b_3=x+2d$ dan $b_5=x+4d$ 

$\begin{aligned}\frac{a_3-a_2}{b_5-b_3}&=\frac{(x+2c)-(x+c)}{(x+4d)-(x+d)}\\&=\frac{x+2c-x-c}{x+4d-x-2d}\\&=\frac{c}{2d}\\&=\frac{1}{2}\frac{\frac{y-x}{4}}{\frac{y-x}{6}}\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{4}\\\frac{a_3-a_2}{b_5-b_3}&=\frac{3}{4}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 10: SBMPTN 2014 Kode 651
Diketahui deret aritmetika $u_1+u_3+u_5+...+u_{2n-1}=\frac{n(n+1)}{2}$, untuk setiap $n \geqslant 1$. Beda deret tersebut adalah . . .
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $1$
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $2$
(E) $\frac{5}{2}$

PEMBAHASAN:
Kita selesaikan soal ini dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika:

• Suku ke-$n$ yaitu $u_n=a+(n-1)b$
• Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)b]=\frac{n}{2}(a+u_n)$
• beda $b=u_5-u_4=\frac{u_6-u_3}{6-3}=\frac{u_p-u_q}{p-q}$

Dari soal diketahui  $u_1+u_3+u_5+...+u_{2n-1}=\frac{n(n+1)}{2}$, maka:
$u_1=\frac{1(1+1)}{2}=1$, 
$u_1+u_3=\frac{2(2+1)}{2}=3$ maka $u_3=2$
$u_1+u_3+u_5=\frac{3(3+1)}{2}=6$ maka $u_5=3$, sehingga beda deret ini adalah
$\begin{aligned}b&=\frac{u_p-u_q}{p-q}\\&=\frac{u_5-u_3}{5-3}\\&=\frac{3-2}{2}\\b&=\frac{1}{2}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (A)