Soal dan Pembahasan Matriks

Soal 1: SBMPTN 2018 Kode 526
Jika $A=\begin{pmatrix}a & 1\\ b & 2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}a & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, dan $AB=\begin{pmatrix}10 & a\\ 14 & b\end{pmatrix}$. Maka nilai $ab$ adalah . . .
(A) $9$
(B) $10$
(C) $12$
(D) $14$ 
(E) $16$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}AB&=\begin{pmatrix}10 & a\\ 14 & b\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a & 1\\ b & \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & 1\\ 1 &0\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}10 & a\\ 14 & b\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a^2+1 & a\\ ab+2 & b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}10 & a\\ 14 & \end{pmatrix}\\ab+2&=14\\ab&=12\end{aligned}$

Soal 2: SIMAK UI 2013 Kode 333
Jika $A=\begin{bmatrix}4 & 3\\ 2 & 5\end{bmatrix}$, dan $A^2-xA+yI=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$, maka $x+y=...$
(A) $9$
(B) $14$
(C) $19$
(D) $23$
(E) $25$

PEMBAHASAN:
Pada soal diketahui bahwa $A^2-xA+yI=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$.
$\begin{aligned}A^2&=\begin{bmatrix}4 & 3\\ 2 & 5\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}4 & 3\\ 2 & 5\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}16+6 & 12+15\\ 8+10 & 6+25\end{bmatrix}\\A^2&=\begin{bmatrix}22 & 27\\ 18 & 31\end{bmatrix}\end{aligned}$
$xA=\begin{bmatrix}4x & 3x\\ 2x & 5x\end{bmatrix}$ dan
$yI=\begin{bmatrix}y & 0\\ 0 & y\end{bmatrix}$, maka

$\begin{aligned}A^2-xA+yI&=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}22 & 27\\ 18 & 31\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4x & 3x\\ 2x & 5x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y & 0\\ 0 & y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}22-4x+y & 27-3x\\ 18-2x & 31-5x+y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\\\end{aligned}$

Dari kesamaan matriks di atas, kita tuliskan
$\begin{aligned}18-2x&=0\\2x&=18\\x&=9\end{aligned}$
$\begin{aligned}22-4x+y&=0\\22-4(9)+y&=0\\y&=36-22=14\end{aligned}$

maka $x+y=9+14=23$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 3: SIMAK UI 2018 Kode 641
Jika $A=\begin{pmatrix}a & -3\\ 1 & d\end{pmatrix}$. Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|=...$
(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}A&=A^{-1}\\\begin{pmatrix}a & -3\\ 1 & d\end{pmatrix}&=\frac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}d & 3\\ -1 & a\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a & -3\\ 1 & d\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\frac{d}{ad+3} & \frac{3}{ad+3}\\ \frac{-1}{ad+3} & \frac{a}{ad+3}\end{pmatrix}\\\end{aligned}$

dari persamaan matrik di atas kita dapat tuliskan,
$\begin{aligned}1&=\frac{-1}{ad+3}\\ad+3&=-1\\ad&=-4\end{aligned}$, dan
$\begin{aligned}a&=\frac{d}{ad+3}\\a&=\frac{d}{-4+3}\\a&=-d\end{aligned}$
$\begin{aligned}ad&=-4\\a(-a)&=-4\\a^2&=4\\a&=\pm2\end{aligned}$ 
Untuk $a=2$, maka $d=-2$ dan
untuk $a=-2$, maka $d=2$, sehingga
nilai $|a-d|=|2-(-2)|=4$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 4: SIMAK UI 2009 Kode 921
Diketahui $P=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah . . .
(A) $6x+y-20=0$
(B) $2x-3y-6=0$
(C) $3x-2y-4=0$
(D) $x-6y+16=0$
(E) $6x-y-16=0$

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan persamaan garis, terlebih dahulu kita mencari besarnya gradien garis dengan menggunakan konsep gradien garis $m$ adalah determinan matriks $PQ$ yaitu $m=|PQ|$, maka
$\begin{aligned}m&=|PQ|\\m&=\left | \begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 1 & 0\end{pmatrix} \right |\\&=\left | \begin{pmatrix}-2+1 & -4+0\\ -3+3 & -6+0\end{pmatrix} \right |\\&=\left | \begin{pmatrix}-1 & -4\\ 0 & -6\end{pmatrix} \right |\\&=(-1)(-6)-(-4)(0)\\m&=6\end{aligned}$
Garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka koordinat titik A kita cari dengan menggunakan konsep eliminasi atau subtitusi kedua persamaan garis yaitu:
$\begin{array}{lcr}2x-y=4 (\times2) \\3x-2y=5 (\times \ 1) \ \\ \hline4x-2y=8 \\3x-2y=5 (-) \\ \hline x=3\end{array}$, dan

$\begin{aligned}3x-2y&=5\\3(3)-2y&=5\\2y&=9-5\\y&=2\end{aligned}$
maka koordinat titik $A$ adalah $a(3,2)$, sehingga persamaan garis yang melalui titik $A$ dengan gradien $m=6$ adalah
$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-2&=6(x-3)\\y&=6x-18+2\\y&=6x-16 \\\end{aligned}$ 

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 5: SBMPTN 2014 Kode 663
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}2x & -2\\ x & 3y+2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}9 & 3x\\ 8 & -4\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}5 & 6\\ -8 & 7\end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^t$ dengan $C^t$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=...$
(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}A+B&=C^t\\\begin{pmatrix}2x & -2\\ x & 3y+2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}9 & 3x\\ 8 & -4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}5 & -8\\ 6 & 7\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}2x+9 & -2+3x\\ x+8 & 3y-2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}5 & -8\\ 6 & 7\end{pmatrix}\\\end{aligned}$
Dari kesamaan matriks di atas kita dapatkan:
$x+8=6→x=-2$ dan $3y-2=7→y=3$,
maka nilai dari $2x+3y=2(-2)+3(3)=5$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 6: UTBK-SBMPTN 2019 
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}1 & -4\\ 5 & -2\end{pmatrix}$, dan berlaku persamaan $A^2+B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 4 & -1\end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^4$ adalah. . . 
(A) $1$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $16$
(E) $18$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}A^2+B&=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 4 & -1\end{pmatrix}\\A^2+\begin{pmatrix}1 & -4\\ 5 & -2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 4 & -1\end{pmatrix}\\A^2&=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 4 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & -4\\ 5 & -2\end{pmatrix}\\A^2&=\begin{pmatrix}3-1 & -2-(-4)\\ 4-5 & -1-(-2)\end{pmatrix}\\A^2&=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -1 & 1\end{pmatrix}\end{aligned}$
determinan matriks $A^2$ adalah
$|A^2|=(2)(1)-(2)(-1)=4$

Dengan mengunakan sifat determinan matriks $|A^n|=|A|^n$ maka: 
$|A^4| = |A^2|^2= 4^2=16$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 7: UM UGM 2004  
Hasil kali matrik $A\begin{pmatrix}5 & -3\\ 0 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & 30\\ 35 & 27\end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah. . .
(A) $\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 4 & 7\end{pmatrix}$
(B) $\begin{pmatrix}-2 & 4\\ 7 & -1\end{pmatrix}$
(C) $\begin{pmatrix}4 & -2\\ 7 & -1\end{pmatrix}$
(D) $\begin{pmatrix}7 & 2\\ -1 & 4\end{pmatrix}$
(E) $\begin{pmatrix}7 & 2\\ 4 & -1\end{pmatrix}$

PEMBAHASAN:
Dengan menggunakan sifat matriks $A.B=C$ maka $A=C.B^{-1}$, dengan $B^{-1}$ adalah invers dari matriks $B$, maka kita peroleh:

$\begin{aligned}A\begin{pmatrix}5 & -3\\ 0 & 6\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-10 & 30\\ 35 & -27\end{pmatrix}\\A&=\begin{pmatrix}-10 & 30\\ 35 & -27\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -3\\ 0 & 6\end{pmatrix}^{-1}\\A&=\begin{pmatrix}-10 & 30\\ 35 & -27\end{pmatrix} \frac{1}{(5)(6)-(-3)(0)}\begin{pmatrix}6 & 3\\ 0 & 5\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}-10 & 30\\ 35 & -27\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 & 3\\ 0 & 5\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}(-10)(6)+(30)(0) & (-10)(3)+(30)(5)\\ (35)(6)+(-27)(0) & (35)(3)+(-27)(3)\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}-60 & 120\\ 210 & -30\end{pmatrix}\\A&=\begin{pmatrix}-2 & 4\\ 7 & -1\end{pmatrix}\end{aligned}\\$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 8: SIMAK UI 2009 Kode 921  
Jika $B=\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2 & 1\end{bmatrix}$ dan $(BA^{-1})^{-1}=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix}$. Maka matriks $A$ adalah. . .
(A) $\begin{bmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{bmatrix}$
(B) $\begin{bmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\end{bmatrix}$
(C) $\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
(D) $\begin{bmatrix}4 & 5\\ 10 & 13\end{bmatrix}$
(E) $\begin{bmatrix}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\\ -2 & 1\end{bmatrix}$

PEMBAHASAN:
Dengan bantuan sifat invers matriks $(A \cdot B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $(A^{}-1)^{-1}=A$ dapat kita peroleh:
$\begin{aligned}(BA^{-1})^{-1}&=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix}\\B^{-1} \cdot (A^{-1})^{-1}&=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix}\\B^{-1} \cdot A&=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix}\\B \times B^{-1} \cdot A&=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix} \times B\\A&=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2 & 1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}(2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1)\\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1)\end{bmatrix}\\A&=\begin{bmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{bmatrix}\end{aligned}\\$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 9: UM UGM 2019 Kode 634
Jika $A=\begin{pmatrix}1 & x\\ y & z\end{pmatrix}$, dan $k$ merupakan skalar sehingga  $A+kA^T=\begin{pmatrix}-1 & 5\\ -7 & -2\end{pmatrix}$, maka $x+y+z=...$  
(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

PEMBAHASAN:
$\begin{aligned}A+kA^T&=\begin{pmatrix}-1 & 5\\ -7 & -2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}1 & x\\ y & \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1 & y\\ x & z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-1 & 5\\ -7 & -2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}1 & x\\ y & z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k & ky\\ kx & kz\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-1 & 5\\ -7 & -2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}1+k & x+ky\\ y+kx & z+kz\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-1 & 5\\ -7 & -2\end{pmatrix}\\\end{aligned}\\$

Dari persamaan matriks di atas, kita peroleh:
$1+k=-1 →k=-2$ dan $z+kz=-2→z=2$ sehingga

$x+ky=5 →x-2y=5$
dan $y+kx=-7→y-2x=-7$ 
dari kedua persamaan linear ini kita peroleh nilai $x$ dan $y$ sebagai berikut:
$\begin{array}{lcr}x-2y=5 (\times2) \\y-2x=-7 (\times \ 1) \ \\ \hline2x-4y=10 \\y-2x=-7 (+) \\ \hline -3y=3\\ y=-1\end{array}$

karena $y=-1$, maka $x-2(-1)=5→x=3$, maka
Nilai $x+y+z=3+(-1)+2=4$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 10: SIMAK UI 2013 Kode 333
Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^T$. Jika diketahui $A=\begin{bmatrix}a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c\end{bmatrix}$ adalah matriks ortogonal, $a^2+b^2+c^2=...$  
(A) $-1$
(B) $0$
(C) $\frac{1}{9}$
(D) $\frac{4}{9}$
(E) $1$

PEMBAHASAN:
Kita mengikuti definisi matriks ortogonal dari soal yaitu:
$\begin{aligned}A^{-1}&=A^T\\A \times A^{-1}&=A \times A^T\\I&=A \times A^T\end{aligned}\\$, maka
$\begin{aligned}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ \ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}a & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & b & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & c\end{bmatrix}\end{aligned}\\$
Dari perkalian matriks di atas kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{aligned}a^2+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}&=1 \ (pers.\ 1) \\\ \frac{4}{9}+b^2+\frac{1}{9}&=1 \ (pers.\ 2) \\\  \frac{4}{9}+\frac{1}{9}+c^2&=1 \ (pers.\ 3) \\\ \end{aligned}\\$

Jika ketiga persamaan di atas kita jumlahkan, maka:
$\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+ \frac{18}{9}&=3\\a^2+b^2+c^2&=1\end{aligned}\\$

Pilihan jawabannya adalah (E)