Soal dan Pembahasan Deret Geometri Tak Hingga


Soal 1: SPMB 2005 Kode 270
Jika suku ke-n suatu deret adalah Un=22xn, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) 22x2
(B) 22x1
(C) 22x
(D) 22x+1 
(E) 22x+2

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
S=a1r untuk 0<r<1
Karena suku ke-n suatu deret adalah Un=22xn, maka deret geometrinya adalah
U1=22xn, U2=22x2, U3=22x3, U4=22x4, U5=22x5, ...
Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=22x222x1=2(2x2)(2x1)=21r=12

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 
a=U1=22x1 dan rasio 12;
S=a1r=22x1112=22x112=22x121=2(2x1)+1S=22x

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 2: UM UGM 2006 Kode 381
Diketahui deret geometri dengan Un=(xlog 3 )nx>0x1. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka x harus memenuhi syarat
(A) x13 atau x3
(B) 13<x<3
(C) x>3 atau 0<x<13
(D) x3 atau 0<x13 
(E) x<13 atau x>3

PEMBAHASAN:
Karena suku ke-n suatu deret adalah Un=(xlog 3 )n, maka deret geometrinya adalah
U1=(xlog 3 )U2=(xlog 3 )2U3=(xlog 3 )3, . . .

Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=(xlog 3 )2(xlog 3 )r=xlog 3 

Agar deret mempunyai nilai, maka  
r=xlog 3  harus  1<r<1, sehingga 1<xlog 3 <1.

Pertidaksaaan 1<xlog 3 <1 kita kerjakan pada dua kemungkinan:

Kemungkinan pertama saat x>1 (tanda ketaksamaan tetap)
1<xlog 3 <1xlog x1<xlog 3 <xlog xx1<3<x1x<3<x

Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

  • Untuk 3<x, nilai x yang memenuhi x>3 . . . (1)
  • Untuk 1x<3
    1x<31x3<013xx<0x=0 atau x=13
    nilai x yang memenuhi x<0 dan x>13 . . . (2)
  • Irisan dari (1) dan (2) dan x>0 adalah HP1= {x>3}

Kemungkinan kedua saat 0<x<1 (tanda ketaksamaan dibalik)
1<xlog 3 <1xlog x1<xlog 3 <xlog xx1<3<x1x>3>x

Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

  • Untuk 3>x, nilai x yang memenuhi x<3 . . . (3)
  • Untuk 1x>3
    1x>31x3>013xx>0x=0 atau x=13
    nilai x yang memenuhi 0<x<13 . . . (4)

  • Irisan dari (3) dan (4) dan x>0 adalah HP2= {0<x<13}
maka nilai x yang memenuhi dari kemungkinan pertama 
HP1 atau kedua HP2 adalah x>3 atau 0<x<13

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 3: SPMB 2005 Kode 470
Jika 1p+1q=1 maka jumlah deret tak hingga 1p+1pq+1pq2+...+1pqn+... adalah...
(A) 1
(B) 112
(C) 12
(D) qp 
(E) pq

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
S=a1r untuk 0<r<1
1p+1q=1p+qpq=1pq=p+qpqp=qp(q1)=qp=qq1
Pada soal diketahui a=U1=1p dan ratio deret geometri ini adalah
r=U2U1=1pq1pr=1q

Jumlah deret geometri tak hingganya adalah
S=a1r=1p11q=1pq1q=1pqq1S=1pp=1

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 4: Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314
Diberikan deret 
geometri 1(a+3)+(a+3)2(a+3)3+...=2a+9 dengan 4<a<2. Jika a,7,b membentuk barisan geometri baru, nilai 2a+b=...
(A) 7
(B) 0
(C) 7
(D) 14
(E) 21

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
S=a1r
Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=(a+31r=(a+3)
maka
1(a+3)+(a+3)2(a+3)3+...=2a+911[(a+3)]=2a+91a+4=2a+9(a+4)(2a+9)=12a2+9a+8a+36=12a2+17a+35=0(2a+7)(a+5)=0a=72 atau a=5

Nilai a harus memenuhi 4<a<2, maka a=72 dan a=5 tidak memenuhi.
Barisan a7b adalah barisan geometri sehingga 727b sehingga menjadi b=14.
Maka nilai 2a+b=2(72)+14=7 

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 5: UM UGM 2019 Kode 934
Diberikan bilangan real r, dengan 0<r<1. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 11+r adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio r adalah...
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 16
(E) 18 

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
S=a1r
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2, rasio 
11+r dan jumlahnya 8 dapat kita peroleh:
S=a1r8=2111+r8=21+r1+r11+r8=2r1+r8r=2(1+r)4r=1+rr=13

Sehingga,
S=a1r=8113=823S=12

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 6: UTBK TKA SAINTEK 2019  
Seseorang berjalan dengan kecepatan 
60  selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
(A) 160
(B) 120
(C) 100
(D) 80
(E) 60 

PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
S=a1r
Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya, artinya ratio deret geometri dengan suku pertama a=60 km/jam ini adalah 14.

Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah jumlah deret geometri tak hingga yaitu,
S=a1r=60114=6034S=60×43=80 

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 7: SPMB 2005 Kode 470 
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama 
a mempunyai jumlah 2, maka a mempunyai...
(A) 2<a<0
(B) 4<a<0
(C) 0<a<2
(D) 0<a<4
(E) 4<a<4 

PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
S=a1r
Deret geometri tak hingga dengan jumlah 
2, maka berlaku:
S=a1r2=a1r2(1r)=a22r=a2r=2ar=12(2a) 

Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 2 adalah batasan 1<r<1, maka
1<r<11<12(2a)<12<2a<22<a2<22+2<a2+2<2+20<a<4

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 8: UM UGM 2005 Kode 812


ABC siku-siku di A,
B1 pada BC sehingga AB1BC,
A1 pada AC sehingga B1A1AC,
B2 pada BC sehingga A1B2BC,
A2 pada AC sehingga B2A2AC,
dan seterusnya. Jika 
AB=6 dan BC=10, maka jumlah luas ABCB1ACA1B1CB2A1CA2B2C dan seterusnya adalah...  
(A) 6008
(B) 6009
(C) 60
(D) 50
(E) 60016 

PEMBAHASAN:
Dari soal diketahui panjang AB=6 dan BC=10 maka panjang AC adalah
AC=BC2AB2=10262AC=8

Dari keterangan pada soal kita dapat menuliskan luas ABC adalah
12ABAC=12BCAB1(6)(8)=10AB124=5AB1AB1=245

Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung 
BB1=185 dan B1C=325, maka luas B1AC adalah
LB1AC=12B1CAB1=12325245LB1AC=241625

Dari gambar kita ketahui bahwa AB1C sebangun dengan AA1B1, maka
AB1AC=A1B1B1C2458=A1B1325A1B1=24532518A1B1=35325

Dari gambar kita ketahui bahwa ABC sebangun dengan A1B1C, maka
ABAC=A1B1A1C68=35325A1CA1C=83532516A1C=85165

maka luas A1B1C adalah
LA1B1C=12A1B1A1C=123532585165LA1B1C=2416251625

Hal yang sama juga untuk LA1B1CLA1B1C dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
LABC+LB1AC+LA1B1C+...
=24+241625+2416251625+...=2411625=24925=24259=6009

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 9: UM UGM 2007 Kode 741
Jika x1x32x74 adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah... 
(A) 2
(B) 1
(C) 12
(D) 1
(E) 2

PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: U22=U1U3, maka:
(x32)2=(x1)(x74)x23x+94=x2114x+74114x3x=749414x=12x=2

Maka barisan geometrinya menjadi 1, 12, 14,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah 
S=a1r=1112=112S=2

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga u1+u2+u3+.... Jika rasio deret tersebut adalah r dengan 1<r<1u1+u2+u3+...=6 dan u3+u4+u5+...=2, maka nilai r adalah...
(A) 14 atau 14
(B) 13 atau 13
(C) 12 atau 12
(D) 13 atau 13
(E) 12 atau 12