Soal 1: SPMB 2005 Kode 270
Jika suku ke-n suatu deret adalah Un=22x−n, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) 22x−2
(B) 22x−1
(C) 22x
(D) 22x+1
(E) 22x+2
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
S∞=a1−r untuk 0<r<1
Karena suku ke-n suatu deret adalah Un=22x−n, maka deret geometrinya adalah
U1=22x−n, U2=22x−2, U3=22x−3, U4=22x−4, U5=22x−5, ...
Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=22x−222x−1=2(2x−2)−(2x−1)=2−1r=12
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=U1=22x−1 dan rasio 12;
S∞=a1−r=22x−11−12=22x−112=22x−12−1=2(2x−1)+1S∞=22x
r=U2U1=22x−222x−1=2(2x−2)−(2x−1)=2−1r=12
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=U1=22x−1 dan rasio 12;
S∞=a1−r=22x−11−12=22x−112=22x−12−1=2(2x−1)+1S∞=22x
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 2: UM UGM 2006 Kode 381
Diketahui deret geometri dengan Un=(xlog 3 )n, x>0, x≠1. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka x harus memenuhi syarat
(A) x⩽13 atau x⩾3
(B) 13<x<3
(C) x>3 atau 0<x<13
(D) x⩾3 atau 0<x⩽13
(E) x<13 atau x>3
PEMBAHASAN:
Karena suku ke-n suatu deret adalah Un=(xlog 3 )n, maka deret geometrinya adalah
U1=(xlog 3 ), U2=(xlog 3 )2, U3=(xlog 3 )3, . . .
Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=(xlog 3 )2(xlog 3 )r=xlog 3
Agar deret mempunyai nilai, maka r=xlog 3 harus −1<r<1, sehingga −1<xlog 3 <1.
Pertidaksaaan −1<xlog 3 <1 kita kerjakan pada dua kemungkinan:
Kemungkinan pertama saat x>1 (tanda ketaksamaan tetap)
−1<xlog 3 <1xlog x−1<xlog 3 <xlog xx−1<3<x1x<3<x
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- Untuk 3<x, nilai x yang memenuhi x>3 . . . (1)
- Untuk 1x<3,
1x<31x−3<01−3xx<0x=0 atau x=13
nilai x yang memenuhi x<0 dan x>13 . . . (2) - Irisan dari (1) dan (2) dan x>0 adalah HP1= {x>3}
Kemungkinan kedua saat 0<x<1 (tanda ketaksamaan dibalik)
−1<xlog 3 <1xlog x−1<xlog 3 <xlog xx−1<3<x1x>3>x
Pilihan jawabannya adalah (C)
−1<xlog 3 <1xlog x−1<xlog 3 <xlog xx−1<3<x1x>3>x
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- Untuk 3>x, nilai x yang memenuhi x<3 . . . (3)
- Untuk 1x>3,
1x>31x−3>01−3xx>0x=0 atau x=13
nilai x yang memenuhi 0<x<13 . . . (4) - Irisan dari (3) dan (4) dan x>0 adalah HP2= {0<x<13}
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 3: SPMB 2005 Kode 470
Jika 1p+1q=1 maka jumlah deret tak hingga 1p+1pq+1pq2+...+1pqn+... adalah...
(A) 1
(B) 112
(C) 12
(D) qp
(E) pq
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
S∞=a1−r untuk 0<r<1
1p+1q=1p+qpq=1pq=p+qpq−p=qp(q−1)=qp=qq−1
Pada soal diketahui a=U1=1p dan ratio deret geometri ini adalah
r=U2U1=1pq1pr=1q
Jumlah deret geometri tak hingganya adalah
S∞=a1−r=1p1−1q=1pq−1q=1p⋅qq−1S∞=1p⋅p=1
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 4: Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314
Diberikan deret geometri 1−(a+3)+(a+3)2−(a+3)3+...=2a+9 dengan −4<a<−2. Jika a,−7,b membentuk barisan geometri baru, nilai 2a+b=...
(A) 7
(B) 0
(C) −7
(D) −14
(E) −21
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
S∞=a1−r
Ratio deret geometri adalah
r=U2U1=−(a+31r=−(a+3)
maka
1−(a+3)+(a+3)2−(a+3)3+...=2a+911−[−(a+3)]=2a+91a+4=2a+9(a+4)(2a+9)=12a2+9a+8a+36=12a2+17a+35=0(2a+7)(a+5)=0a=−72 atau a=−5
Nilai a harus memenuhi −4<a<−2, maka a=−72 dan a=−5 tidak memenuhi.
1−(a+3)+(a+3)2−(a+3)3+...=2a+911−[−(a+3)]=2a+91a+4=2a+9(a+4)(2a+9)=12a2+9a+8a+36=12a2+17a+35=0(2a+7)(a+5)=0a=−72 atau a=−5
Nilai a harus memenuhi −4<a<−2, maka a=−72 dan a=−5 tidak memenuhi.
Barisan a, −7, b adalah barisan geometri sehingga −72−7b sehingga menjadi b=14.
Maka nilai 2a+b=2(−72)+14=7
Maka nilai 2a+b=2(−72)+14=7
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 5: UM UGM 2019 Kode 934
Diberikan bilangan real r, dengan 0<r<1. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 11+r adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio r adalah...
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 16
(E) 18
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
S∞=a1−r
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2, rasio 11+r dan jumlahnya 8 dapat kita peroleh:
S∞=a1−r8=21−11+r8=21+r1+r−11+r8=2r1+r8r=2(1+r)4r=1+rr=13
Sehingga,
S∞=a1−r=81−13=823S∞=12
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 6: UTBK TKA SAINTEK 2019
Seseorang berjalan dengan kecepatan 60 selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
(A) 160
(B) 120
(C) 100
(D) 80
(E) 60
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
S∞=a1−r
Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya, artinya ratio deret geometri dengan suku pertama a=60 km/jam ini adalah 14.
Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah jumlah deret geometri tak hingga yaitu,
S∞=a1−r=601−14=6034S∞=60×43=80
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 7: SPMB 2005 Kode 470
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a mempunyai...
(A) −2<a<0
(B) −4<a<0
(C) 0<a<2
(D) 0<a<4
(E) −4<a<4
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
S∞=a1−r
Deret geometri tak hingga dengan jumlah 2, maka berlaku:
S∞=a1−r2=a1−r2(1−r)=a2−2r=a2r=2−ar=12(2−a)
Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 2 adalah batasan −1<r<1, maka
−1<r<1−1<12(2−a)<1−2<2−a<2−2<a−2<2−2+2<a−2+2<2+20<a<4
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 8: UM UGM 2005 Kode 812
△ABC siku-siku di A,
B1 pada BC sehingga AB1⊥BC,
A1 pada AC sehingga B1A1⊥AC,
B2 pada BC sehingga A1B2⊥BC,
A2 pada AC sehingga B2A2⊥AC,
dan seterusnya. Jika AB=6 dan BC=10, maka jumlah luas △ABC, △B1AC, △A1B1C, △B2A1C, △A2B2C dan seterusnya adalah...
(A) 6008
(B) 6009
(C) 60
(D) 50
(E) 60016
PEMBAHASAN:
Dari soal diketahui panjang AB=6 dan BC=10 maka panjang AC adalah
AC=√BC2−AB2=√102−62AC=8
Dari keterangan pada soal kita dapat menuliskan luas △ABC adalah
12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AB1(6)(8)=10⋅AB124=5⋅AB1AB1=245
12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AB1(6)(8)=10⋅AB124=5⋅AB1AB1=245
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung BB1=185 dan B1C=325, maka luas △B1AC adalah
L△B1AC=12⋅B1C⋅AB1=12⋅325⋅245L△B1AC=24⋅1625
Dari gambar kita ketahui bahwa △AB1C sebangun dengan △AA1B1, maka
AB1AC=A1B1B1C2458=A1B1325A1B1=245⋅325⋅18A1B1=35⋅325
Dari gambar kita ketahui bahwa △ABC sebangun dengan △A1B1C, maka
ABAC=A1B1A1C68=35⋅325A1CA1C=8⋅35⋅325⋅16A1C=85⋅165
maka luas △A1B1C adalah
L△A1B1C=12⋅A1B1⋅A1C=12⋅35⋅325⋅85⋅165L△A1B1C=24⋅1625⋅1625
AB1AC=A1B1B1C2458=A1B1325A1B1=245⋅325⋅18A1B1=35⋅325
Dari gambar kita ketahui bahwa △ABC sebangun dengan △A1B1C, maka
ABAC=A1B1A1C68=35⋅325A1CA1C=8⋅35⋅325⋅16A1C=85⋅165
maka luas △A1B1C adalah
L△A1B1C=12⋅A1B1⋅A1C=12⋅35⋅325⋅85⋅165L△A1B1C=24⋅1625⋅1625
Hal yang sama juga untuk L△A1B1C, L△A1B1C dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
L△ABC+L△B1AC+L△A1B1C+...
=24+24⋅1625+24⋅1625⋅1625+...=241−1625=24925=24⋅259=6009
Pilihan jawabannya adalah (B)
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 9: UM UGM 2007 Kode 741
Jika x−1x−32x−74 adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) −2
(B) −1
(C) −12
(D) 1
(E) 2
PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: U22=U1⋅U3, maka:
(x−32)2=(x−1)(x−74)x2−3x+94=x2−114x+74114x−3x=74−94−14x=−12x=2
Maka barisan geometrinya menjadi 1, 12, 14,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah
S∞=a1−r=11−12=112S∞=2
Jika x−1x−32x−74 adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) −2
(B) −1
(C) −12
(D) 1
(E) 2
PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: U22=U1⋅U3, maka:
(x−32)2=(x−1)(x−74)x2−3x+94=x2−114x+74114x−3x=74−94−14x=−12x=2
Maka barisan geometrinya menjadi 1, 12, 14,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah
S∞=a1−r=11−12=112S∞=2
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga u1+u2+u3+.... Jika rasio deret tersebut adalah r dengan −1<r<1, u1+u2+u3+...=6 dan u3+u4+u5+...=2, maka nilai r adalah...
(A) −14 atau 14
(B) −13 atau 13
(C) −12 atau 12
(D) −1√3 atau 1√3
(E) −1√2 atau 1√2
Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga u1+u2+u3+.... Jika rasio deret tersebut adalah r dengan −1<r<1, u1+u2+u3+...=6 dan u3+u4+u5+...=2, maka nilai r adalah...
(A) −14 atau 14
(B) −13 atau 13
(C) −12 atau 12
(D) −1√3 atau 1√3
(E) −1√2 atau 1√2