Soal dan Pembahasan Deret Geometri Tak Hingga

Soal 1: SPMB 2005 Kode 270
Jika suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=2^{2x-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) $2^{2x-2}$
(B) $2^{2x-1}$
(C) $2^{2x}$
(D) $2^{2x+1}$ 
(E) $2^{2x+2}$

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
$S_\infty =\frac{a}{1-r} \ untuk \ 0<r<1$
Karena suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=2^{2x-n}$, maka deret geometrinya adalah
$U_1=2^{2x-n}$, $U_2=2^{2x-2}$, $U_3=2^{2x-3}$, $U_4=2^{2x-4}$, $U_5=2^{2x-5}$, ...

Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{2^{2x-2}}{2^{2x-1}}\\&=2^{(2x-2)-(2x-1)}\\&=2^{-1}\\r&=\frac{1}{2}\end{aligned}$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=U_1=2^{2x-1}$ dan rasio $\frac{1}{2}$;
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{2^{2x-1}}{1-\frac{1}{2}}\\&= \frac{2^{2x-1}}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{2^{2x-1}}{2^{-1}}\\&=2^{(2x-1)+1}\\S_\infty &=2^{2x}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 2: UM UGM 2006 Kode 381
Diketahui deret geometri dengan $U_n=(^xlog \ 3 \ )^n$, $x>0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
(A) $x \leqslant \frac{1}{3}$ atau $x \geqslant 3$
(B) $\frac{1}{3}<x<3$
(C) $x>3$ atau $0<x< \frac{1}{3}$
(D) $x \geqslant 3$ atau $0<x \leqslant \frac{1}{3}$ 
(E) $x< \frac{1}{3}$ atau $x>3$

PEMBAHASAN:
Karena suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=(^xlog \ 3 \ )^n$, maka deret geometrinya adalah
$U_1=(^xlog \ 3 \ )$, $U_2=(^xlog \ 3 \ )^2$, $U_3=(^xlog \ 3 \ )^3$, . . .

Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{(^xlog \ 3 \ )^2}{(^xlog \ 3 \ )}\\r&=^xlog \ 3 \ \end{aligned}$

Agar deret mempunyai nilai, maka  $r=^xlog \ 3 \ $ harus  $-1<r<1$, sehingga $-1<^xlog \ 3 \ <1$.

Pertidaksaaan $-1<^xlog \ 3 \ <1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan:

Kemungkinan pertama saat $x>1$ (tanda ketaksamaan tetap)
$\begin{aligned}-1&<^xlog \ 3 \ <1 \\^xlog \ x^{-1}&<^xlog \ 3 \ <^xlog \ x \\x^{-1}&<3<x \\\frac{1}{x}&<3<x\end{aligned}$

Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• Untuk $3<x$, nilai $x$ yang memenuhi $x>3$ . . . (1)
• Untuk $\frac{1}{x}<3$, 
  $\begin{aligned}\frac{1}{x}&<3\\\frac{1}{x}-3&<0\\\frac{1-3x}{x}&<0\\x=0 \ atau \ x = \frac{1}{3}\end{aligned}$
  nilai $x$ yang memenuhi $x<0$ dan $x>\frac{1}{3}$ . . . (2)
  
• Irisan dari (1) dan (2) dan $x>0$ adalah $HP_1=$ {$x>3$}

Kemungkinan kedua saat $0<x<1$ (tanda ketaksamaan dibalik)
$\begin{aligned}-1&<^xlog \ 3 \ <1 \\^xlog \ x^{-1}&<^xlog \ 3 \ <^xlog \ x \\x^{-1}&<3<x \\\frac{1}{x}&>3>x\end{aligned}$

Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• Untuk $3>x$, nilai $x$ yang memenuhi $x<3$ . . . (3)
• Untuk $\frac{1}{x}>3$, 
  $\begin{aligned}\frac{1}{x}&>3\\\frac{1}{x}-3&>0\\\frac{1-3x}{x}&>0\\x=0 \ atau \ x = \frac{1}{3}\end{aligned}$
  nilai $x$ yang memenuhi $0<x<\frac{1}{3}$ . . . (4)
  
  
  
• Irisan dari (3) dan (4) dan $x>0$ adalah $HP_2=$ {$0<x<\frac{1}{3}$}

maka nilai $x$ yang memenuhi dari kemungkinan pertama $HP_1$ atau kedua $HP_2$ adalah $x>3$ atau $0<x<\frac{1}{3}$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 3: SPMB 2005 Kode 470
Jika $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ maka jumlah deret tak hingga $\frac{1}{p}+\frac{1}{pq}+\frac{1}{pq^2}+...+\frac{1}{pq^n}+...$ adalah...
(A) $1$
(B) $1\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{q}{p}$ 
(E) $\frac{p}{q}$

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
$S_\infty =\frac{a}{1-r} \ untuk \ 0<r<1$
$\begin{aligned}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}&=1\\\frac{p+q}{pq}&=1\\pq&=p+q\\pq-p&=q\\p(q-1)&=q\\p&=\frac{q}{q-1}\end{aligned}$
Pada soal diketahui $a=U_1=\frac{1}{p}$ dan ratio deret geometri ini adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}}\\r&=\frac{1}{q}\end{aligned}$

Jumlah deret geometri tak hingganya adalah
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{q}}\\&=\frac{\frac{1}{p}}{\frac{q-1}{q}}\\&=\frac{1}{p}\cdot \frac{q}{q-1}\\S_\infty &=\frac{1}{p}\cdot p=1\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 4: Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314
Diberikan deret geometri $1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+...=2a+9$ dengan $-4<a<-2$. Jika $a,-7,b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b=...$
(A) $7$
(B) $0$
(C) $-7$
(D) $-14$
(E) $-21$

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{-(a+3}{1}\\r&=-(a+3) \end{aligned}$

maka
$\begin{aligned}1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+...&=2a+9\\\frac{1}{1-[-(a+3)]}&=2a+9\\\frac{1}{a+4}&=2a+9\\(a+4)(2a+9)&=1\\2a^2+9a+8a+36&=1\\2a^2+17a+35&=0\\(2a+7)(a+5)&=0\\a&=-\frac{7}{2} \ atau \ a=-5\end{aligned}$

Nilai $a$ harus memenuhi $-4<a<-2$, maka $a=-\frac{7}{2}$ dan $a=-5$ tidak memenuhi.

Barisan $a$, $-7$, $b$ adalah barisan geometri sehingga $-\frac{7}{2}$$,$$-7$$,$$b$ sehingga menjadi $b=14$.
Maka nilai $2a+b=2\left( -\frac{7}{2} \right)+14=7$ 

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 5: UM UGM 2019 Kode 934
Diberikan bilangan real $r$, dengan $0<r<1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\frac{1}{1+r}$ adalah $8$, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $r$ adalah...
(A) $10$
(B) $12$
(C) $15$
(D) $16$
(E) $18$ 

PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus 
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\frac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\8&=\frac{2}{1-\frac{1}{1+r}}\\8&=\frac{2}{\frac{1+r}{1+r}-\frac{1}{1+r}}\\8&=\frac{2}{\frac{r}{1+r}}\\8r&=2(1+r)\\4r&=1+r\\r&=\frac{1}{3}\end{aligned}$

Sehingga,
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{8}{1-\frac{1}{3}}\\&=\frac{8}{\frac{2}{3}}\\S_\infty &=12\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 6: UTBK TKA SAINTEK 2019  
Seseorang berjalan dengan kecepatan $60$ $km/jam$ selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
(A) $160$
(B) $120$
(C) $100$
(D) $80$
(E) $60$ 

PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya, artinya ratio deret geometri dengan suku pertama $a=60$ km/jam ini adalah $\frac{1}{4}$.

Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah jumlah deret geometri tak hingga yaitu,
$\begin{aligned}S_\infty& =\frac{a}{1-r}\\&=\frac{60}{1-\frac{1}{4}}\\&=\frac{60}{\frac{3}{4}}\\S_\infty &=\frac{60 \times 4}{3}=80\\\end{aligned}$ 

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 7: SPMB 2005 Kode 470 
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ mempunyai jumlah $2$, maka $a$ mempunyai...
(A) $-2<a<0$
(B) $-4<a<0$
(C) $0<a<2$
(D) $0<a<4$
(E) $-4<a<4$ 

PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, maka berlaku:
$\begin{aligned}S_\infty& =\frac{a}{1-r}\\2&=\frac{a}{1-r}\\2(1-r)&=a\\2-2r&=a\\2r&=2-a\\r&=\frac{1}{2}(2-a)\end{aligned}$ 

Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $2$ adalah batasan $-1<r<1$, maka
$\begin{aligned}-1&<r<1\\-1&<\frac{1}{2}(2-a)<1\\-2&<2-a<2\\-2&<a-2<2\\-2+2&<a-2+2<2+2\\0&<a<4\\\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 8: UM UGM 2005 Kode 812

$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $A$,
$B_1$ pada $BC$ sehingga $AB_1 \perp BC$,
$A_1$ pada $AC$ sehingga $B_1A_1 \perp AC$,
$B_2$ pada $BC$ sehingga $A_1B_2 \perp BC$,
$A_2$ pada $AC$ sehingga $B_2A_2 \perp AC$,
dan seterusnya. Jika $AB=6$ dan $BC=10$, maka jumlah luas $\bigtriangleup ABC$, $\bigtriangleup B_1AC$, $\bigtriangleup A_1B_1C$, $\bigtriangleup B_2A_1C$, $\bigtriangleup A_2B_2C$ dan seterusnya adalah...  
(A) $\frac{600}{8}$
(B) $\frac{600}{9}$
(C) $60$
(D) $50$
(E) $\frac{600}{16}$ 

PEMBAHASAN:
Dari soal diketahui panjang $AB=6$ dan $BC=10$ maka panjang $AC$ adalah
$\begin{aligned}AC&=\sqrt{BC^2-AB^2}\\&=\sqrt{10^2-6^2}\\AC&=8\end{aligned}$

Dari keterangan pada soal kita dapat menuliskan luas $\bigtriangleup ABC$ adalah
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC&=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB_1\\(6)(8)&=10\cdot AB_1\\24&=5\cdot AB_1\\AB_1&=\frac{24}{5}\end{aligned}$

Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung $BB_1=\frac{18}{5}$ dan $B_1C=\frac{32}{5}$, maka luas $\bigtriangleup B_1AC$ adalah
$\begin{aligned}L\bigtriangleup B_1AC&=\frac{1}{2}\cdot B_1C\cdot AB_1\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{24}{5}\\L\bigtriangleup B_1AC&=24\cdot \frac{16}{25}\end{aligned}$

Dari gambar kita ketahui bahwa $\bigtriangleup AB_1C$ sebangun dengan $\bigtriangleup AA_1B_1$, maka
$\begin{aligned}\frac{AB_1}{AC}&=\frac{A_1B_1}{B_1C}\\\frac{\frac{24}{5}}{8}&=\frac{A_1B_1}{\frac{32}{5}}\\A_1B_1&=\frac{24}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{8}\\A_1B_1&=\frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\end{aligned}$

Dari gambar kita ketahui bahwa $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup A_1B_1C$, maka
$\begin{aligned}\frac{AB}{AC}&=\frac{A_1B_1}{A_1C}\\\frac{6}{8}&=\frac{ \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}}{A_1C}\\A_1C&=8\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{6}\\A_1C&=\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5}\end{aligned}$

maka luas $\bigtriangleup A_1B_1C$ adalah
$\begin{aligned}L\bigtriangleup A_1B_1C&=\frac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot A_1C\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5} \\L\bigtriangleup A_1B_1C&=24\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{16}{25}\end{aligned}$

Hal yang sama juga untuk $L\bigtriangleup A_1B_1C$, $L\bigtriangleup A_1B_1C$ dan seterusnya.

Sehingga deret yang kita peroleh adalah:

$L\bigtriangleup ABC+L\bigtriangleup B_1AC+L\bigtriangleup A_1B_1C+...$

$\begin{aligned}&=24+24\cdot \frac{16}{25}+24\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{16}{25}+...\\&=\frac{24}{1-\frac{16}{25}}\\&=\frac{24}{\frac{9}{25}}\\&=\frac{24\cdot 25}{9}\\&=\frac{600}{9}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 9: UM UGM 2007 Kode 741
Jika $x-1$$,$$x-\frac{3}{2}$$,$$x-\frac{7}{4}$ adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah... 
(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $-\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) $2$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: $U_{2}^{2}=U_1 \cdot U_3$, maka:
$\begin{aligned}\left ( x-\frac{3}{2} \right )^2&=(x-1)\left ( x-\frac{7}{4} \right )\\x^2-3x+\frac{9}{4}&=x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4}\\\frac{11}{4}x-3x&=\frac{7}{4}-\frac{9}{4}\\-\frac{1}{4}x&=-\frac{1}{2}\\x&=2\end{aligned}$

Maka barisan geometrinya menjadi $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah 
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}}\\S_\infty &=2\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$. Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1<r<1$, $u_1+u_2+u_3+...=6$ dan $u_3+u_4+u_5+...=2$, maka nilai $r$ adalah...
(A) $-\frac{1}{4}$ atau $\frac{1}{4}$
(B) $-\frac{1}{3}$ atau $\frac{1}{3}$
(C) $-\frac{1}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(E) $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{2}}$