Soal dan Pembahasan Logaritma

Soal 1: SBMPTN 2015 Kode 634

Jika diketahui: 

$f(n) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{n-1}\log n$ maka
f(8) + f(16) + f(32) + . . . + f(2³⁰) = . . .

(A) 461

(B) 462

(C) 463

(D) 464 (E) 465

PEMBAHASAN

$f(n) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{n-1}\log n$
$f(8) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{7}\log 8$
$f(2^3) = ^{2}\log 8 = 3$

$f(16) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{15}\log 16$
$f(2^4) = ^{2}\log 16 = 4$

$f(32) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{31}\log 32$
$f(2^5) = ^{2}\log 32 = 5$

$f(2^{30}) = ^{2}\log3 \ . \ ^{3}\log4 \ . \ ^{4}\log5 . . . ^{15}\log 16$
$f(2^{30}) = ^{2}\log 2^{30} = 30$

Jadi

f(8) + f(16) + f(32) + . . . + f(2³⁰) = 3 + 4 + 5 + ... + 30 = 15 . 31 - 3 = 462 Jadi, pilihannya (B)

Soal 2: USM STIS 2015

Jika diketahui $x=\log a$, $y=\log b$ dan $z=\log c$. Maka bentuk sederhana dari 

$\log\left ( \frac{a}{b^2} \sqrt{c}\right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$

(A) $log\left ( \frac{x}{y^2} \sqrt{z}\right )$
(B) $log x - log y^2 + log \sqrt{z}$
(C) $\frac{x}{y^2} \sqrt{z}$

(D) $x - 2y + \frac{1}{2}z$

(E) $x - y^2 + \sqrt{c}$

PEMBAHASAN

$\log\left ( \frac{a}{b^2} \sqrt{c}\right )=\log\left ( \frac{a}{b^2} \right ) +\log \sqrt{c}$

$= \log a - \log b^2 + \log c^{\frac{1}{2}}$
$= \log a - 2 \log b + \frac{1}{2} \log c$
$=x - 2y^2 + \frac{1}{2}z$

Pilihan Jawaban (C)

Soal 3: USM STIS 2017

$\frac{(^5 \log 10)^2-(^5 \log 2)^2}{^5 \log \sqrt{20}} = . . . $

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $1$

(C) $2$

(D) $4$

(E) $5$

PEMBAHASAN

$\frac{(^5 \log 10)^2-(^5 \log 2)^2}{^5 \log \sqrt{20}}$
$=\frac{(^5 \log 10 + ^5 \log 2)(^5 \log 10 - ^5 \log2)}{^5 \log {20}^{\frac{1}{2}}}$
$=\frac{(^5 \log 10 \times 2)(^5 \log \frac{10}{2})}{\frac{1}{2} ^5 \log 20}$
$=\frac{(^5 \log 20)(^5 \log 5)}{\frac{1}{2} ^5 \log 20}$
$=\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$=2$

Jadi, pilihan yang sesuai adalah (B)

Soal 4: SIMAK UI 2010 Kode 203

Nilai $\frac{^2 \log 5 \ . \ ^6 \log 5 + ^3 \log 5 \ . \ ^6 \log 5}{^2 \log 5 \ . \ ^3 \log 5}=...$
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 5
(E) 6

PEMBAHASAN:
$\frac{^2 \log 5 \ . \ ^6 \log 5 + ^3 \log 5 \ . \ ^6 \log 5}{^2 \log 5 \ . \ ^3 \log 5}$
$=\frac{^2 \log 5 \ . \ ^6 \log 5 + ^3 \log 5 \ . \ ^6 \log 5}{^2 \log 5 \ . \ ^3 \log 5} \times \frac{^5 \log 6}{^5 \log 6}$
$=\frac{^2 \log 5 \ . \ ^6 \log 5 \ . \ ^5 \log 6 + ^3 \log 5 \ . \ ^6 \log 5 \ . \ ^5 \log 6}{^2 \log 5 \ . \ ^3 \log 5 \ . \ ^5 \log 6}$
$=\frac{^2 \log 5 \ + \ ^3 \log 5}{^2 \log 6 \ . \ ^3 \log 5} \times \frac{^5 \log 3}{^5 \log 3}$
$=\frac{^2 \log 5 \ . \ ^5 \log 3 \ + \ ^3 \log 5 \ . \ ^5 \log 3}{^2 \log 6 \ . \ ^3 \log 5 \ . \ ^5 \log 3}$
$=\frac{^2 \log 3 \ + \ 1}{^2 \log 6}$
$=\frac{^2 \log 3 \ + \ ^2 \log 2}{^2 \log 6}$
$=\frac{^2 \log (3 \ . \ 2)}{^2 \log 6}$
$=\frac{^2 \log 6}{^2 \log 6}$
$=1$
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah (B)

Soal 5: UM UGM 2014 Kode 521

$f(x^2 + 3x + 1) = ^2 \log (2x^3 - x^2 + 7), x \geq 0$ maka f(5) = . . .
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4 
(E) 5

PEMBAHASAN:
$f(x^2 + 3x + 1) = ^2 \log (2x^3 - x^2 + 7)$

untuk x = 1, maka

$f((1)^2 + 3(1) + 1) = ^2 \log (2(1)^3 - (1)^2 + 7)$
$f(5) = ^2 \log 8$
$f(5) = ^2 \log 2^3$
$f(5) = 3$

Jadi, pilihan jawaban yang sesuai adalah (C)

Soal 6: SBMPTN 2014 Kode 683

Jika $^b \log a= -2$ dan $^3 \log b = (^3 \log2)(1 + ^2 \log 4a)$, maka $4a +b =$. . .

(A) 786
(B) 72 
(C) 36
(D) 12
(E) 3

PEMBAHASAN:
$^b \log a= -2$ ⇒ $b^{-2} = a$ dan

$^3 \log b = (^3 \log2)(1 + ^2 \log 4a)$
$^3 \log b = (^3 \log2)(^2 \log 2 + ^2 \log 4b^{-2})$
$^3 \log b = (^3 \log2)(^2 \log 8b^{-2})$
$^3 \log b = ^3 \log 8b^{-2}$
$b = 8b^{-2}$
$b^3 = 8$
$b = 2$

karena $b^{-2} = a$, maka $a = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

sehingga $4a +b = 4(\frac{1}{4})+2 = 3$

Jadi, pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 7: UM UGM 2010 Kode 461

Jika $2^x = 2 - \sqrt{3}$, maka $^{2+ \sqrt{3}} \log 4^x = . . .$
(A) $-2$
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $2$

PEMBAHASAN:
$2^x = 2 - \sqrt{3}$
$2^x = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$
$2^x = \frac{4-3}{2 + \sqrt{3}}$
$2^x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ 
$2 + \sqrt{3} = \frac{1}{2^x}$

maka,

$^{2+ \sqrt{3}} \log 4^x = ^{\frac{1}{2^x}} \log 2^{2x}$
$= ^{(2^x)^{-1}}\log {(2^x)}^{2}$
$=\frac{2}{-1} ^{2^x} \log 2^x$
$= -2$

Jadi, pilihan jawaban yang sesuai adalah (A)

Soal 8: UTBK-SBMPTN 2019

Jika untuks semua bilangan real x < 7 sehingga $^x \log \left ( \frac{x^2 + x -12}{x^2+x+12} \right )$ terdefinisi untuk a < x < b, maka b - a = . . .
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

PEMBAHASAN:
agar $^x \log \left ( \frac{x^2 + x -12}{x^2+x+12} \right )$ terdefinisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:

Syarat I:
$x > 0$ maka $x \neq 1$
$0<x<1$ atau $x> 1$

Syarat II:
$ \left ( \frac{x^2 + x -12}{x^2+x+12} \right ) > 0$
$ \left ( \frac{(x+4)(x-3)}{x^2+x+12} \right ) > 0$

$x^2 + x + 12 > 0$ adalah definisi positif ($x > 0$ maka $b^2 -4ac1$) artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Himpunan penyelesaian $x< -4$ atau $x> 3$ 

 
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I)  $0<x< 1$ atau $x> 1$, syarat (II) $x< -4$ atau $x> 3$ dan syarat soal $x< 7$ maka kita peroleh:

Himpunan penyelesaian akhir adalah $3<x< 7$ sehingga nilai $b -a = 7-3 = 4$

Jadi, pilihan jawabannya, (E) 

Soal 9: UM UGM 2019 Kode 634
Jika $\left ( ^9 \log(x-1) \right )^2-^9 \log(x-1)^2 = a$ mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu x = b, maka a + b = . . .
(A) $\frac{1}{3}$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $9$
(E) $27$

PEMBAHASAN:
$\left ( ^9 \log(x-1) \right )^2-^9 \log(x-1)^2 = a$
$\left ( ^9 \log(x-1) \right )^2-2. ^9 \log(x-1) = a$

misalkan, $^9 \log(x-1)=p$, maka

$p^2-2p= a$
$p^2-2p- a=0$ 

Bentuk persamaan kuadrat di atas dikatakan mempunyai tepat satu penyelesaian, sehingga diskriminan persamaan kuadrat yaitu $D = b^2-4ac = 0$ atau

$b^2-4ac = 0$
$(-1)^2-4(1)(a) = 0$
$4+4a = 0$
$a= -1$

Untuk $a = -1$ kita peroleh:

$p^2-2p- 1=0$
$(p-1)^2=0$
$p = 1$, maka

$^9 \log(x-1)=1$
$(x-1)=9$
$x = 10 → b = 10$

Nilai $a+b = -1 + 10 = 9$

 

Soal 10: UM UNDIP 2019 Kode 431
Banyaknya penyelesaian real dari persamaan: 
$\log (x^2 + 1) + \log(x^2 + 2) = \log(x^2 + 3)$ adalah . . . 
(A) 0
(B) 1 
(C) 2
(D) 3
(E) 4

PEMBAHASAN:
$\log (x^2 + 1) + \log(x^2 + 2) = \log(x^2 + 3)$
$\log (x^2 + 1)(x^2 + 2) = \log(x^2 + 3)$
$\log (x^4 +2x^2 + x^2 + 2) = \log(x^2 + 3)$
$x^4 + 3x^2 +2 = x^2 + 3$
$x^4 + 2x^2 -1 = 0$
$(x^2 +1)^2 - 2 = 0$
$(x^2 + 1)^2 = 2$
$x^2 + 1 = \pm \sqrt{2}$
$x^2 = -1  \pm \sqrt{2}$
$x = \sqrt{-1 \pm \sqrt{2}}$

Dari bentuk di atas nilai $x$ real terjadi hanya saat $x = \sqrt{-1 \pm \sqrt{2}}$, sehingga banyak penyelesaian real dari persamaan adalah $2$

$\mathrm{Jadi,\; pilihan\; jawabannya\; (C)}$