Rataan Gabungan - Soal dan Pembahasannya

 Rataan Gabungan

TEOREMA:

Jika data pertama berukuran n₁ dengan rataan x̅₁, data kedua berukuran n₂ dengan rataan  x̅₂, …, data ke-k berukuran n_k dengan rataan x̅_k, maka rataan gabungan x̅_gab dari k buah data itu adalah:

$\overline{x}_{gab}=\frac{\sum_{i=1}^{n}n_{i}\overline{x_i}}{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}$

Contoh Soal 1

Nilai rata-rata 11 buah bilangan adalah 13. Nilai rata-rata 13 bilangan yang lain adalah 11. Tentukan rata-rata 24 bilangan itu!

Solusi:

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_1 \times \overline{x}_1+n_2 \times \overline{x}_2}{n_1+n_2}$

$\overline{x}_{gab}=\frac{11 \times 13+13 \times 11}{11+13}$

$\overline{x}_{gab}=11\frac{11}{12}$

Jadi, nilai rata-rata 24 bilangan itu adalah $11\frac{11}{12}$

Contoh Soal 2

Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri dari 5, 8, 10, dan 17 orang menymbangkan uang kepada korban bencana alam. Rata-rata sumbangan masing-masing kelompok adalag Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rata-rata sumbangan setiap siswa seluruh kelompok!

Solusi:

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_1 \times \overline{x}_1+n_2 \times \overline{x}_2+n_3 \times \overline{x}_3}{n_1+n_2+n_3}$

$\overline{x}_{gab}=\frac{5 \times 4.000+8 \times 2.500+10 \times2.000+17 \times1.000}{5+8+10+17}$

$\overline{x}_{gab}=\frac{77.000}{40}=1.925$

Jadi, nilai rata-rata sumbangan setiap siswa seluruh kelompok adalah Rp1.925,00.

Contoh Soal 3

Rataan tinggi pegawai laki-laki adalah 165 cm dan rataan tinggi pegawai wanita adalah 155 cm. Sedangkan rataan tinggi pegawai secara keseluruhan adalah 162 cm. Carilah ratio banyak pegawai laki-laki terhadap pegawai wanitanya.

Solusi:

$\overline{x}_{l}=165$ dan banyak data = n_L

$\overline{x}_{p}=155$ dan banyak data = n_p

$\overline{x}_{gab}=162$

Kita tentukan  ratio banyak pegawai laki-laki terhadap pegawai wanitanya dengan menggunakan

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_l \times \overline{x}_l+n_p \times \overline{x}_p}{n_l+n_p}$

$162=\frac{n_l \times 165+n_p \times 155}{n_l+n_p}$

$162n_l+162n_p=165n_l+155n_p$

$3n_l=7n_p$

$n_l : n_p = 7 : 3$

Jadi, ratio banyaknya pegawai laki-laki terhadap pegawai wanitanya adalah 7 : 3.

Contoh Soal 4 (SIPENMARU 1984)

Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok ini mendapat nilai 90 tidak dimasukan ke dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi..? 

Solusi:

$\overline{x}_{gab}=51$ dan banyak data n = 40.

$\overline{x}_{1}=...?$ dan banyak data, n₁ = 39

$\overline{x}_{2}=90$ dan banyak data, n₂ = 1

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_1 \times \overline{x}_1+n_2 \times \overline{x}_2}{n_1+n_2}$

$51=\frac{\overline{x}_1 \times 30+90 \times 1}{40}$

$39 \overline{x}_1+90=2.040$

$39 \overline{x}_1=1.950$

$\overline{x}_1=50$

Jadi, nilai rata-rata ujian akan menjadi $\overline{x}_1=50$

Contoh Soal 5 (UMPTN 1994)

Kelas A terdiri atas 35 murid sedangkan kelas B terdiri atas 40 murid. Nilai rata-rata kelas B adala 5 lebih tinggi dari nilai rata-rata kelas A. Apabila nilai rata-rata gabungan antara kelas A dan kelas B adalah $57\frac{2}{3}$, maka tentukan nilai rata-rata kelas A!

Solusi:

Misalkan: nilai rata-rata kelas A = $\overline{x}_A$, frekuensi kelas A = n_A 

nilai rata-rata kelas B = $\overline{x}_B$, frekuensi kelas B = n_B

dari soal  n_A = 35, n_B = 40, dan $\overline{x}_B$ = $\overline{x}_A$ + 5

rata-rata gabungan $\overline{x}_{gab}=57\frac{2}{3}$, maka

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_1 \times \overline{x}_1+n_2 \times \overline{x}_2}{n_1+n_2}$

$57\frac{2}{3}=\frac{\overline{x}_A \times 35+40 \times (\overline{x}_A + 5)}{35 +40}$

$\frac{173}{3}=\frac{75 \overline{x}_A+200}{75}$

$3 \times 75 \times \overline{x}_A+3 \times 200 = 75 \times 173$

$\overline{x}_A=55$

Jadi, nilai rata-rata untuk kelas A adalah $\overline{x}_A=55$

Contoh Soal 6

Tes matematika diberikan kepada tiga kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua dan ketiga adalah 7, 8, $7\frac{1}{2}$. Jika banyaknya siswa kelas pertama 25 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas kedua, maka nilai rata-rata seluruh siswa tersebut adalah . . .

Solusi:

Diketahui:

Rata-rata kelas I, $\overline{x}_1=7$. Banyaknya siswa, n₁ = 25

Rata-rata kelas II, $\overline{x}_2=8$. Banyaknya siswa, n₁  

Rata-rata kelas III, $\overline{x}_3=7\frac{1}{2}$. Banyaknya siswa, n₃ = n₂ + 5

karena n₁ + n₂ + n₃ = 100

⇒ 25 + n₂ + n₂ + 5 = 100

⇒ n₂ = 35 maka n₃ = 40

Rata-rata gabungan:

$\overline{x}_{gab}=\frac{n_1 \times \overline{x}_1+n_2 \times \overline{x}_2+n_3 \times \overline{x}_3}{n_1+n_2+n_3}$

$\overline{x}_{gab}=\frac{7 \times 25+8 \times 35+ 7\frac{1}{2} \times 40}{100}$

$\overline{x}_{gab}=\frac{755}{100}=7,55$

Jadi, nilai rata-rata gabungan seluruh siswa adalah 7,55.