Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan untuk Menentukkan Solusi dari Limit di Tak Berhingga

Jika solusi limit bentuk irasional dengan menggunakan strategi subtitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka langkah berikutnya kita menggunakan strategi mengalikan dengan bentuk sekawan, kemudian dilanjutkan dengan strategi membagi dengan pangkat tertinggi. Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi irasional, maka

1). f(x) dan g(x) bentuk sekawannya f(x) – g(x)

2). f(x) dan g(x) bentuk sekawannya f(x) + g(x)

Dengan demikian,

1)$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)+g(x)] \times \frac{f(x)-g(x)}{f(x)-g(x)}$ 

2)$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)] \times \frac{f(x)+g(x)}{f(x)+g(x)}$

3)$\frac{a}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)+g(x)]}=\frac{a}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)+g(x)]} \times \frac{f(x)-g(x)}{f(x)-g(x)}$

4)$\frac{a}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)]}=\frac{a}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)]} \times \frac{f(x)+g(x)}{f(x)+g(x)}$

Cara Smart:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} \right )=L$

untuk a = p,⇒$L = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

untuk a < p, ⇒ $L =-\infty$  

untuk a > p, ⇒ $L =+\infty$ 

Contoh Soal Solusi dari Limit di Tak Berhingga dengan Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Contoh 1

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+3x-2}-x-2 \right )$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{4x^2-1}-\sqrt{4x^2-6x+5} \right )$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x\left (x-\sqrt{x^2+16} \right )$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+3x-2}-x-2 \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left [\sqrt{x^2+3x-2}-(x+2) \right ]\times \frac{\sqrt{x^2+3x-2}+(x+2)}{\sqrt{x^2+3x-2}+(x+2)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{{\color{Red} x^2}+3x-2-{\color{Red} x^2}-4x-4}{\sqrt{x^2+3x-2}+(x+2)}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{-x-6}{\sqrt{x^2+3x-2}+(x+2)}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{-1-\frac{6}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}+(1+\frac{2}{x})}$ 

$=\frac{-1-0}{\sqrt{1+0-0}+(1+0)}=-\frac{1}{2}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{4x^2-1}-\sqrt{4x^2-6x+5} \right )$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{4x^2-1}-\sqrt{4x^2-6x+5} \right )\times \frac{\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x^2-6x+5}}{\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x^2-6x+5}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{4x^2-1-4x^2+6x-5}{\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x^2-6x+5}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{6x-6}{\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x^2-6x+5}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{6-\frac{6}{x}}{\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{4-\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{6-0}{\sqrt{4-0}+\sqrt{4-0+0}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x\left (x-\sqrt{x^2+16} \right )$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x\left (x-\sqrt{x^2+16} \right )\times \frac{x+\sqrt{x^2+16}}{x+\sqrt{x^2+16}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x+(x^2-x^2-16)}{x+\sqrt{x^2+16}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{-16x}{x+\sqrt{x^2+16}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{-16}{1+\sqrt{1+\frac{16}{x^2}}}$ 

$=\frac{-16}{1+\sqrt{1+0}}={\color{Red} -8}$ 

Contoh 2

Buktikan bahwa:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} \right )=1$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x+2}{x+\sqrt{x^2-x}}=\frac{1}{2}$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+\sqrt{16x^4-64}}{2x^2-3}=\frac{5}{2}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} \right )$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} \right )\times \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x+\sqrt{x}-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{x}}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=1$. TERBUKTI

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x+2}{x+\sqrt{x^2-x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$ 

$=\frac{1+0}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{1}{2}$. TERBUKTI 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+\sqrt{16x^4-64}}{2x^2-3}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1+\sqrt{16-\frac{64}{x^4}}}{2-\frac{3}{x^2}}$ 

$=\frac{1+\sqrt{16-0}}{2-0}=\frac{5}{2}$. TERBUKTI

Contoh 3

Hitunglah limit akar terkecil untuk a → ∞ dari persamaan x² – (2a – 4)x + a + 1 = 0.

Jawab:

x² – (2a – 4)x + a + 1 = 0

$\Leftrightarrow x=\frac{2a-4\pm \sqrt{(2a-4)^2-4.1.(a+1)}}{2.1}$

$\Leftrightarrow x=\frac{2a-4\pm \sqrt{4a^2-20a+12}}{2}$ 

$\Leftrightarrow x={a-2\pm \sqrt{a^2-5a+3}}$ 

Akar terkecil dari persamaan x² – (2a – 4)x + a + 1 = 0 adalah  $\Leftrightarrow x={a-2- \sqrt{a^2-5a+3}}$ maka

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ({a-2- \sqrt{a^2-5a+3}} \right )$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ({a-2- \sqrt{a^2-5a+3}} \right )\times \frac{{(a-2)+ \sqrt{a^2-5a+3}}}{{(a-2)+ \sqrt{a^2-5a+3}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{a^2-4a+4-a^2+5a-3}{{(a-2)+ \sqrt{a^2-5a+3}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{a+1}{{(a-2)+ \sqrt{a^2-5a+3}}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{1}{a}}{{(1-\frac{2}{a})+ \sqrt{1-\frac{5}{a}+\frac{3}{a^2}}}}$ 

$=\frac{1+0}{{(1-0)+ \sqrt{1-0+0}}}=\frac{1}{2}$. TERBUKTI