Strategi Membagi dengan pangkat Tertinggi untuk Menentukkan Solusi dari Limit di Tak Berhingga

a. Strategi Subtitusi Langsung

Limit fungsi aljabar dengan variabel x mendekat tak hingga biasanya berbentuk $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}$  atau $\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)]$ . Dengan strategi subtitusi langsung jika tidak di dapat nilai dengan bentuk tak tentu, seperti $\frac{\infty }{\infty }$ atau ${\infty }-{\infty }$, maka nilai itu adalah nilai dari limit yang bersangkutan.

b. Stategi Membagi dengan pangkat Tertinggi

 Solusi bentuk $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}$  dapat ditentukan dengan menggunakan strategi membagi dengan pangkat tertinggi, yaitu membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan xⁿ, dengan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) dan g(x). Strategi ini dipakai karena dengan menggunakan stategi subtitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu.

Cara Smart:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{a_1{x^{m-1}}+a_2x^{m-1}+...+a_m}{b_1{x^n}+b_2x^{n-1}+...+b_m}=L$

untuk m = n,⇒$L = \frac{a_{1}}{b_{1}}$

untuk m < n, ⇒ $L =0$  

untuk m > n, ⇒ $L =\infty$ 

Contoh Soal Solusi dari Limit di Tak Berhingga dengan Strategi Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Contoh 1

Hitunglah setiap limit berikut.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{8x^2-6x+5}{4x^2+3x-7}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^4-2x^3+6}{x^3+x^2-x+2}$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+x-4}{x^3-8}$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{2-3x}{x+4} \right )^3$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{9x^3+1}{x^3-2x^2+x+6}$

f.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left ( \frac{3x}{x-1} -\frac{2x}{x+1}\right )$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{8x^2-6x+5}{4x^2+3x-7}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{8-\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}{4+3^{x}-\frac{7}{x^2}}$

$=\frac{8-0+0}{4+0-0}={\color{Blue} 2}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^4-2x^3+6}{x^3+x^2-x+2}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3-\frac{2}{x}+\frac{6}{x^4}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+\frac{2}{x^4}}$

$=\frac{3-0+0}{0+0-0+0}=\frac{3}{0}=\infty $

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+x-4}{x^3-8}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^3}}{1-\frac{8}{x^3}}=\frac{0+0-0}{1-0}=0$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{2-3x}{x+4} \right )^3$

$=\left (\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2-3x}{x+4} \right )^3$

$=\left (\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{2}{x}-3}{1+\frac{4}{x}} \right )^3=\left [ \frac{0-3}{1+0} \right ]^3=-27$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{9x^3+1}{x^3-2x^2+x+6}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{9+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}}$

$=\frac{9+0}{1-0+0+0}=9$

f.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left ( \frac{3x}{x-1} -\frac{2x}{x+1}\right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^2+3x-2x^2+x}{x^2-1}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{5}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{1+0}{1-0}=1$

Pake Cara Smart:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{a_1{x^{m-1}}+a_2x^{m-1}+...+a_m}{b_1{x^n}+b_2x^{n-1}+...+b_m}=L$

untuk m = n,⇒$L = \frac{a_{1}}{b_{1}}$

untuk m < n, ⇒ $L =0$  

untuk m > n, ⇒ $L =\infty$

 a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{8x^2-6x+5}{4x^2+3x-7}=\frac{8}{4}=2$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^4-2x^3+6}{x^3+x^2-x+2}=\frac{3}{0}=\infty $ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+x-4}{x^3-8}=\frac{0}{1}=0$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{2-3x}{x+4} \right )^3=\left [ \frac{-3}{1} \right ]^2=-27$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{9x^3+1}{x^3-2x^2+x+6}=\frac{9}{1}=9$

f.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left ( \frac{3x}{x-1} -\frac{2x}{x+1}\right )=\frac{1}{1}=1$

Contoh 2

Diberikan dua barisan yaitu:

$2,\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{11}{4}, . . . U_{n}$, dengan $U_{n}$ = suku umum,  $5,4,\frac{11}{3},\frac{7}{2}, . . . V_{n}$ dengan $V_{n}$= suku umum. Hitunglah 

$\lim_{x\rightarrow \infty }(U_{n}+V_{n})$

Jawab:

$U_{n}=3-\frac{1}{n}$dan

$V_{n}=3+\frac{2}{n}$

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(U_{n}+V_{n})$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (3-\frac{1}{n}+3+\frac{2}{n} \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( 6+\frac{1}{n} \right )=6+0=6$