Teorema Limit di Tak Berhingga

Pengertian Limit Fungsi di Tak Berhingga

Definisi:

(i). Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilai pada selang atau interval (c, ∞). Limit dari f(x) jika x membesar tanpa batas adalah L, ditulis $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)= L$ , artinya nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L asalkan nilai x cukup besar.

(ii)  Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilai pada selang atau interval (–∞, c). Limit dari f(x) jika x mengecil tanpa batas adalah L, ditulis $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)= L$ , artinya nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L asalkan nilai x cukup kecil.

Teorema Limit di Tak Berhingga

Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka:

1.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^n}= 0$ 

2.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x^n= \infty $ 

3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x^n}= 0$

4.$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^n= \infty$ untuk n genap$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^n= -\infty$ untuk n ganjil

5.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }k= k$

Jika $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)$ dan $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)$ ada, maka:

6.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }kf(x)= k\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)$

7.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)+g(x)]= \lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)$

8.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)-g(x)]= \lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)$

9.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x).(x)]= \lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x).\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)$

10.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)}$asalkan$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)\neq 0$

11.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }[f(x)]^n=\left [ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x) \right ]^n$

12.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)}$dengan$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)\geq 0$ jika n genap

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)\leq 0$ jika n ganjil

13.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)= 0$maka$\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)}= \infty $

14. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)= \infty$maka$\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)}= 0$

Contoh Soal Penerapan Limit di Tak Hingga

Hitunglah:

(a).$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+6x+1}{x^2-2x+3}$ 

(b).$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt[3]{\frac{8x^2+1}{x^2+4}}$

Jawab:

(a).$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+6x+1}{x^2-2x+3}$$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$

$=\frac {\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(2+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2})} {\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})}$

$=\frac {\lim\limits_{x\rightarrow \infty }2+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^2})} {\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1-\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{3}{x^2})}$$=\frac {2+6\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^2})} {1-2\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}+3\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^2})}$

$=\frac {2+6(0)+(0)} {1-2(0)+3(0)}={\color{Blue} 2}$

Cara Smart:  

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{a_1{x^{m-1}}+a_2x^{m-1}+...+a_m}{b_1{x^n}+b_2x^{n-1}+...+b_m}=\frac{a_1}{b_1}$

untuk m = n

Jadi $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2+6x+1}{x^2-2x+3}=\frac{2}{1}={\color{Red} 2}$

(b).$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt[3]{\frac{8x^2+1}{x^2+4}}$$=\sqrt[3]{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{8+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}}=\sqrt[3]{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(8+\frac{1}{x^2})}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{4}{x^2})}}$

$=\sqrt[3]{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }8+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^2}}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{4}{x^2}}}$

$=\sqrt[3]{\frac{8+0}{1+4\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^2}}}$$=\sqrt[3]{\frac{8+0}{1+4(0)}}=\sqrt[3]{8}={\color{Blue} 2}$