Strategi Menentukan Solusi dari Limit di Satu Titik

Strategi Subtitusi Langsung

Langka pertama dalam nenentukan solusi dari suatu limit di satu titik adalah subtitusi langsung. Jika dari hasil subtitusi langsung tidak diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu seperti $ \frac{0}{0}$,$\frac{\infty }{\infty }$, $0.\infty$ ,$\infty -\infty$ ,$0^0$,$\infty ^0$,dan $\infty ^\infty$ maka nilai itu adalah menunjukkan nilai dari limit yang bersangkutan.

Strategi Faktorisasi

Jika dari hasil subtitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita harus memfaktorkannya sehingga bentuknya menjadi bukan tak tentu, kemudian kita menggunakan strategi subtitusi langsung sehingga diperoleh hasilnya.

Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan dilakukan pada limit bentuk irasional. Ini dilakukan setelah sebelumnya kita menggunakan strategi subtitusi langsung yang menghasilkan bentuk tak tentu. Setelah itu disederhanakan, kita menggunakan strategi subtitusi langsung lagi, sehingga diperoleh hasilnya.

Pembahasan Soal:

Soal 1 (Strategi Subtitusi Langsung)

a.$\lim\limits_{x\rightarrow -2}\sqrt{-3x^3+7x^2}$ 

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{49-x^2}{1+\sqrt{x^2+7}}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow -2}\sqrt{-3x^3+7x^2}$ $=\sqrt{-3(-2)^3+7(-2)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

b. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{49-x^2}{1+\sqrt{x^2+7}}=\frac{49-(-3)^2}{1+\sqrt{3^2+7}}$ $=\frac{49-9}{1+\sqrt{16}}=8$

Soal 2 (Strategi Faktorisasi)

a.$\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{x^2+5x+6}{x^3-4x}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{\frac{x^2-x-12}{x^2+6x-40}}$

Jawab:

a. $\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{x^2+5x+6}{x^3-4x}=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{(x+3){\color{Red} (x+2)}}{x(x-2){\color{Red} (x+2)}}$ $=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{(-2+3)}{-2(-2-2)}=\frac{1}{8}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{\frac{x^2-x-12}{x^2+6x-40}}=\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{{\color{Red} (x-4)}(x+3)}{{\color{Red} (x-4)}(x+10)}}$ $ =\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{(x+3)}{(x+10)}}=\sqrt{\frac{(4+3)}{(4+10)}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Soal 3 (Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan)

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}$$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\left (\frac{x-3}{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}} \times \frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}} \right )$$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\left ( \frac{{\color{Red} (x-3)}(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}{-{\color{Red} (x-3)}} \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}-(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})$

$=-(\sqrt{3+4}+\sqrt{2.(3)+1}=-2\sqrt{7}$  

b. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}=\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}$  $=\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{{\color{Red} (x+1)}(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}{{\color{Red} (x+1)}}$ $=\lim\limits_{x\rightarrow -1}(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)$ $=(\sqrt[3]{(-1)^2}-\sqrt[3]{-1}+1)={\color{Blue} 3}$