Teori Limit Utama

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka

1. $\lim\limits_{x\to\ c}k=k$ 

2. $\lim\limits_{x\rightarrow c}x=c$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow c}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)$

5. $\lim\limits_{x\rightarrow c}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)$

6. $\lim\limits_{x\rightarrow c}[f(x) . g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x) . \lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)}$ , dengan $\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)\neq 0$

8. $\lim\limits_{x\rightarrow c}[f(x)]^{n}=[\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)]^{n}$

9.$\lim\limits_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)}$ , dengan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)> 0$  dan n genap.

Teorema Limit Penggantian

Jika f fungsi polinom atau fungsi rasional, maka  $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$ asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c.

Contoh Soal Sifat-Sifat Teorema Limit  Utama dan Teorema Limit Penggantian

Contoh 1

Hitunglah setiap limit berikut ini

a. $\lim_{x\rightarrow 3}4x^{2}$

b. $\lim_{x\rightarrow -1}(2x^{3}-8x)$

c. $\lim_{x\rightarrow 0}(3x+5)$

d. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{x}$

e. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+7}}$

f. $\lim_{x\rightarrow 2}\left ( \frac{4x^{3}+8x}{x+4} \right )^{\frac{1}{3}}$

Jawab:

a. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}4x^{2}= 4\lim\limits_{x\rightarrow 3}x^{2}$ 

$=4 \left ( \lim\limits_{x\rightarrow 3}x \right )^{2} =4(3)^{2}=36$

b. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}(2x^{2}-8x) =\lim\limits_{x\rightarrow -1}2x^{2} -\lim\limits_{x\rightarrow -1}8x$ 

$=2\lim\limits_{x\rightarrow -1}x^{2} -8\lim\limits_{x\rightarrow -1}x$

 $=2\left ( \lim\limits_{x\rightarrow -1}x \right )^{3}-8\lim\limits_{x\rightarrow -1}x $

$=2(-1)^{3}-8(-1)=6$

c. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(3x+5)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}3x+\lim\limits_{x\rightarrow 0}5$

$=3\lim\limits_{x\rightarrow 0}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0}5=3(0)+5=5$

d. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{x}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 3}\sqrt{x^{2}+16}}{\lim\limits_{x\rightarrow 3}x} = \frac{\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x^{2}+16})}{3}$

$= \frac{\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 3}x^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow 3}16})}{3}=\frac{1}{3}\sqrt{\left ( \lim\limits_{x\rightarrow 3}x \right )^{2}+16}$ $=\frac{1}{3}\sqrt{3^{2}+16}=\frac{5}{3}$

e. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+7}}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 3}x}{\lim\limits_{x\rightarrow 3}\sqrt{x^{2}+7}}=\frac{3}{\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x^{2}+7)}}$ $=\frac{3}{\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow 3}x^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow 3}7}}=\frac{3}{\sqrt{\left [\lim\limits_{x\rightarrow 3}x \right ]^{2}}+7}=\frac{3}{\sqrt{3^{2}+7}}=\frac{3}{4}$

f. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left ( \frac{4x^{3}+8x}{x+4} \right )^{\frac{1}{3}}=\left [ \lim\limits_{x\rightarrow 2}\left ( \frac{4x^{3}+8x}{x+4} \right ) \right ]^{^{\frac{1}{3}}}$  $=\left [ \frac{\lim_{x\rightarrow 2}(4x^{^{3}}+8x)}{\lim_{x\rightarrow 2}(x+4)} \right ]^{\frac{1}{3}}$ 

$=\left [ \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2}4x^{^{3}}+\lim\limits_{x\rightarrow 2}8x}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}x+\lim\limits_{x\rightarrow 2}4} \right ]^{\frac{1}{3}}= \left [ \frac{4\lim\limits_{x\rightarrow 2}x^{^{3}}+8\lim\limits_{x\rightarrow 2}x}{2+4} \right ]^{\frac{1}{3}}$ $=\left [ \frac{4\left ( \lim\limits_{x\rightarrow 2}x \right )^{3}+8.2}{6} \right ]^{\frac{1}{3}}=\left [ \frac{4(2)^{^{3}}+16}{6} \right ]^{\frac{1}{3}}=2$

Contoh 2

Jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=3$, $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=-5$ dan $\lim_{x\rightarrow c}h(x)=0$ maka hitunglah:

a.$\lim_{x\rightarrow c}[2f(x)+g(x)]^{2}$

b.$\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x). g(x)}{3g(x)}$

Jawab:

a. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}[2f(x)+g(x)]^{2}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow 2}[4(f(x))^2+2f(x).g(x)+(g(x))^2]$ $= [4\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)]^2+2\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x)+[\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x)]^2$ $=(4.3)^2+2.3.(-5)+(-5)^2=139$  

b. $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x).h(x)}{3g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}f(x)\lim_{x\rightarrow c}h(x)}{3\lim_{x\rightarrow c}g(x)}$$= \frac{3.0}{3(-5)}=0$

Contoh 3

Jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=9$, $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=-12$ dan $\lim_{x\rightarrow c}h(x)=0$, tunjukkanlah bahwa:

a.$\lim_{x\rightarrow c}\sqrt{f^{^{2}}(x)+g^{^{2}}(x)}=15$

b.$\lim_{x\rightarrow c}\frac{\frac{1}{2}f(x)+3}{h(x)-g(x)}=\frac{5}{8}$

Jawab:

a. $\lim_{x\rightarrow c}\sqrt{f^{^{2}}(x)+g^{^{2}}(x)}$

$=\sqrt{[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^2+[\lim_{x\rightarrow c}g(x)]^2}$ $=\sqrt{9^2+(-12)^2}=15$, Terbukti.

b. $\lim_{x\rightarrow c}\frac{\frac{1}{2}f(x)+3}{h(x)-g(x)}=\frac{\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow c}f(x)+\lim_{x\rightarrow c}3}{\lim_{x\rightarrow c}h(x)-\lim_{x\rightarrow c}g(x)}$ $=\frac{\frac{1}{2}.9+3}{0-(-12)}=\frac{5}{8}$, Terbukti

Contoh 4

Jika $\lim_{x\rightarrow 8}f(x)=8$, $\lim_{x\rightarrow 8}g(x)=-6$ dan $g(8)=\lim_{x\rightarrow 8}g(x)$ hitunglah setiap nilai berikut ini:

a. $\lim_{x\rightarrow 8}[4f(x)-2g(x)]$ 

b. $\lim_{x\rightarrow 8}\sqrt{[f^2(x)-8g(x)]}$

Jawab:

a. $\lim_{x\rightarrow 8}[4f(x)-2g(x)]$

$=4\lim_{x\rightarrow 8}f(x)-2\lim_{x\rightarrow 8}g(x)$

$=4.8-2(-6)=44$

b. $\lim_{x\rightarrow 8}\sqrt{[f^2(x)-8g(x)]}$

$=\sqrt{\left [\lim_{x\rightarrow 8}f(x)\right ]^2-8\lim_{x\rightarrow 8}g(x)}$

$=\sqrt{8^2-8(-6)}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$ 

Contoh 5

Hitunglah setiap limit berikut ini

a. $\lim_{x\rightarrow 1}(x^{3}-x^{2}+3x+5)$  

b. $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}+7x^{2}+10x-5}{2x^{2}-x+6}$ 

Jawab:

a. $\lim_{x\rightarrow 1}(x^{3}-x^{2}+3x+5)$

$=(1)^3-(1)^2+3(1)+5=8$

b. $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}+7x^{2}+10x-5}{2x^{2}-x+6}$

$=\frac{(-2)^3+7(-2)^2+10(-2)-5}{2(-2)^2-(-2)+6}=-\frac{5}{16}$