Pengertian Limit Secara Eksak

Jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)= L$ (atau f(x) → L, jika x → c), maka untuk setiap ε > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat δ > 0 sedemikian sehingga |f(x) – L| < ε dengan syarat 0 < |x – c| < δ, yaitu 0 < |x – c| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε.

Catatan:

Untuk membuktikan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)= L$   , kita mulai dengan memberikan ε > 0 sebarang, kemudian mencari suatu δ > 0 (δ bergantung dari ε), sehingga pernyataan 0 < |x – c| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε  dapat dibuktikan.

Contoh Soal Pengertian Limit secara Eksak

Contoh 1

Buktikan bahwa $\lim_{x\rightarrow 1}(x+2)= 3$ 

Bukti:

Diberikan ε > 0, kita akan menentukan δ > 0, sehingga memenuhi:

0 < |x – 1| < δ ⇒ |(x + 2) – 3| < ε atau

0 < |x – 1| < δ ⇒ |x – 1| < ε  

Untuk mencapai ini, pilihan 0 < δ ≤ ε, maka

0 < |x – 1| < δ ≤ ε

⇒ |x – 1| < ε  

⇒ |(x + 2) – 3| < ε

Dengan demikian terbuktilah bahwa $\lim_{x\rightarrow 1}(x+2)= 3$

Contoh 2

Buktikan bahwa $\lim_{x\rightarrow 4}(3x – 2)= 5$  

Bukti:

Andaikan ε > 0, kita akan menentukan δ > 0 sedemikian, sehingga memenuhi:

0 < |x – 4| < δ ⇒ |(2x – 5) – 7| < ε atau

0 < |x – 4| < δ ⇒ 3|x – 4| < ε  

Untuk mencapai ini, pilihan 0 < δ ≤ ε/3, maka

0 < |x – 4| < δ ≤ ε/3

⇒ 3|x – 4| < 3. (ε/3) = ε  

⇒ |(2x – 5) – 7| < ε

Dengan demikian terbuktilah bahwa $\lim_{x\rightarrow 4}(3x – 2)= 5$   

Contoh 3

Buktikan bahwa $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-2x-6}{x-2} = 7$ .

Bukti:

Andaikan ε > 0, kita akan menentukan δ > 0 sedemikian, sehingga memenuhi:

0 < |x – 2| < δ ⇒ $\left | \frac{2x^{2}-x-6}{x-2}-7 \right |$ < ε

sekarang x ≠ 2,

$\left | \frac{2x^{2}-x-6}{x-2}-7 \right |$ < ε ⇔ $\left | \frac{2x^{2}-x-6}{x-2}-7 \right |$  < ε  

                               ⇔ |(2x + 3) – 7| < ε

                               ⇔            |2x – 4| < ε                                                         

                               ⇔            2|x – 2| < ε

Untuk mencapai ini, pilihlah 0 < δ ≤ ½ε, maka

0 < |x – 2| < δ ≤ ½ε

⇒ 2|x – 2| < 2(½ε) = ε

⇒ $\left | \frac{2x^{2}-x-6}{x-2}-7 \right |$ < ε                                 

Jadi, terbuktilah bahwa $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-2x-6}{x-2} = 7$ .