Limit Fungsi Trigonometri

1. Limit Fungsi Sinus

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$  b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=1$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinax}{ax}=1$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{sinax}=1$ e. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}sinx=0$ f.$\lim\limits_{x\rightarrow c}sinx=sinc$

2. Limit Fungsi Cosinus

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx}{x}=\infty $  b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{cosx}=0$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosax}{ax}=\infty $

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{cosax}=0$ e. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}cosx=1$ f.$\lim\limits_{x\rightarrow c}cosx=cosc$

3. Limit Fungsi Tangen

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}=1$  b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{tanx}=1$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanax}{ax}=1$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{tanax}=1$ e. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}tanx=0$ f.$\lim\limits_{x\rightarrow c}tanx=tanc$

Contoh Soal 1

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{2x}$  b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{sin5x}$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{sin\frac{1}{2}x}$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan^{2}5x}{x^2}$ e. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{sin3x}$ f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan5x}{tan3x}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{2x}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{sin5x}.\frac{5}{2}=\frac{5}{2}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{sin5x}=\frac{5}{2}.1=\frac{5}{2}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{sin5x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{tan5x}.\frac{4}{5}=\frac{4}{5}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{tan5x}=\frac{4}{5}.1=\frac{4}{5}$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{sin\frac{1}{2}x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sin2x}{2x} .\frac{\frac{1}{2}x}{sin\frac{1}{2}x}.4\right )$

$=4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{2x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x}{sin\frac{1}{2}x}=4.1.1=4$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan^{2}5x}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{tan5x}{5x} \right )^2.25$

$=25\left ( \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan5x}{5x} \right )^2=25(1)^2=25$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{sin3x}$$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left (\frac{tan2x}{2x}.\frac{3x}{sin3x}.\frac{2}{3} \right )$

$=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{2x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{sin3x}=\frac{2}{3}.1.1=\frac{2}{3}$

f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan5x}{tan3x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left (\frac{tan5x}{5x}.\frac{3x}{tan3x}.\frac{5}{3} \right )$

$ =\frac{5}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan5x}{5x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{tan3x}=\frac{5}{3}.1.1=\frac{5}{3}$

Contoh Soal 2

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cos2x-1}{x^2}$ b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x+sin3x}{x-sin2x}$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{sin2x-tan2x}{x^3} \right ]^2$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{3}2x}{tan^{3}\frac{1}{2}x}$ e.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{xsinx}$  f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-sinx}{xcosx}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cos2x-1}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-2sin^2x}{x^2}=-2\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sinx}{x} \right )^2$

$=-2\left (\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} \right )^2=-2(1)^2=-2 $

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x+sin3x}{x-sin2x}$$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\left ( 1+\frac{sin3x}{x} \right )}{x\left ( 1-\frac{sin2x}{x} \right )}=\frac{1+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}}{1-\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{x}}$

$=\frac{1+3\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{3x}}{1-2\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{2x}}=\frac{1+3}{1-2}=-4$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{sin2x-tan2x}{x^3} \right ]^2=\left [ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x-tan2x}{x^3} \right ]^2$$=\left [ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x(cos2x-1)}{x^3} \right ]^2=\left [ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x(-2sin^2x)}{x^3} \right ]^2$

$= \left [\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{2x}.\frac{sin^2x}{x^2}.(-4) \right ]^2=\left [\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{2x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{x^2}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}(-4) \right ]^2$

$= \left [1.\left (\frac{sin^x}{x} \right )^2.(-4) \right ]^2=[1.(1)^2.(-4)^2]=16$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{3}2x}{tan^{3}\frac{1}{2}x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sin2x}{tan\frac{1}{2}x} \right )^3=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sin2x}{2x}.\frac{\frac{1}{2}x}{tan\frac{1}{2}x}.4\right )^3$

$=64\left ( \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{2x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x}{tan\frac{1}{2}x}\right )^3=64(1.1)^3=64$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{xsinx}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2\frac{1}{2}x}{2xsin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan\frac{1}{2}x}{x}$

$=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$

f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-sinx}{xcosx}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx(1-cosx)}{xcosx}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx.2sin^2\frac{1}{2}x}{xcosx}$

$=2.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2\frac{1}{2}x}{cosx}=2.1.0=0$