Laju Perubahan Sesaat dan Pembahasan Soal

Misalkan sebuah benda P bergerak sepanjang garis koordinat dan posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = f(x). Pada saat t = t₁ benda berada di s₁ = f(t₁) dan pada saat t = t₁ + h, P berada di s₂ = f(t₁ + h) sehingga kecepatan rata-rata gerak benda P dalam selang t₁ ≤ t ≤ t₁ + h dirumuskan sebagai berikut.

$v_{rata-rata}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{1}+h-t_{1}}=\frac{f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}$

Andaikan 𝜟t →0 atau h → 0, maka f(t₁ + h) → f(t₁), sehingga diperoleh kecepatan sesaat pada waktu t = t₁ yang dilambangkan dengan v (t = t₁) dan dirumuskan menggunakan konsep limit sebagai berikut:

$v_{t=t_{1}}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}v_{rata-rata}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}$

Jika nilai limitnya ada.

Kecepatan sesaat pada waktu t dinyatakan sebagai berikut:

$v_{t}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}v_{rata-rata}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

Kecepatan sesaat dapat bernilai positif atau negatif tergantung pada arah terhadap titik acuan. Laju atau speed benda ini adalah nilai mutlak dari kecepatan sesaat atau laju = |v(t)|.

Sedangkan percepatan sesaat dilambangkan dengan a(t) ditentukan oleh rumus:

$a_{t}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{v(t+h)-v(t)}{h}$

Laju Perubahan Nilai Fungsi

Definisi:

Misalkan y = f(x) terdefinisi di sekitar x = c. Laju perubahan sesaat nilai fungsi f di x = c dirumuskan sebagai berikut.

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

jika nilai limit ini ada.

Bentuk limit di atas dapat dituliskan dalam bentuk lain. Misalkan x = c + h maka h = x – c. Jika h → 0 maka x → c. Dengan demikian,

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow c0}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

Laju perubahan sesaat pada x ditentukan oleh rumus:

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

Contoh Soal 1

Gerak partikel dalam lintasan lurus ditentukan dengan persamaan s = f(t)= t² – 5t, dengan s dalam meter da t dalam detik.

a. carilah kecepatan percepatan sesaat pada watu t.

b. carilah kecepatan dan percepatan sesaat pada waktu t = 3 detik.

c. setelah berapa detik partikel itu berhenti untuk sementara.

Jawab:

a. kecepatan percepatan sesaat pada watu t

$v_{t}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(t+h)^2-(t+5)-(t^2-5t)}{h}$ 

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h^2+2th+h^2-5t-5h-t^2+5t}{h}$ 

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2th+h^2-5h}{h}$ 

$= \lim\limits_{h\rightarrow 0}(2t+h-5)=(2t-5)$ m/s

dan

$a_{t}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{v(t+h)-v(t)}{h}$ 

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2(t+h)-5-(2t-5)}{h}$ 

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2t+2h-5-2t+5}{h}$ 

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2=2$ m/s² 

b. maka kecepatan sesaat pada waktu t = 3 detik adalah 

dari v(t) = (2t-5) m/s kita ganti t = 3 detik, 

v(3) = [2(3) - 5] = 1 m/s

dan untuk t = 3 detik dan t kapan saja maka percepatannya adalah 2 m/s²

c.partikel berhenti sementara, jika v(t) = 0, maka

2t - 5 = 0 → 2t = 5 → t = 2,5 detik

Jadi, partikel itu berhenti sementara setelah bergerak 2,5 detik.

Contoh Soal 2

Carilah laju perubahan sesaat terhadap x dan laju perubahan sesaat setiap fungsi pada titik yang diberikan berikut.

a. f(x) = x³ – 16, pada x = 2

b. f(x) = x√x, pada x = 4.

Jawab:

a. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^3-16-(x^3-16)}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-16-x^3+16}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$ 

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$ 

Jadi, laju perubahan sesaat pada x = 2 dapat ditentukan dengan rumus 3x², sehingga x = 2 → 3x² = 3(2)² = 12.

b. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)\sqrt{x+h}-x\sqrt{x}}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)\sqrt{x+h}-x\sqrt{x}}{h}\times \frac{(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x}}{(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x}}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2(x+h)-x^3}{h\left [(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x} \right ]}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x^2+2xh+h^2)(x+h)-x^3}{h\left [(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x} \right ]}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^3+x^2h+2x^2h+2xh^2+xh^2+h^3-x^3}{h\left [(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x} \right ]}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3xh^2+3xh^3+h^3}{h\left [(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x} \right ]}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2+3xh^2+h^2}{h\left [(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrt{x} \right ]}$ 

$=\frac{3x^2}{2x\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ 

Contoh Soal 3

Sebuah silinder memiliki tinggi t dan jari-jari alas r. Jika t = 4r, tentukan:

a. volume silinder V dalam r,

b. luas permukaan silinder L dalam r,

c. laju perubahan volume V terhadap jari-jari r pada saat r = 5 dm,

d. laju perubahan luas permukaan L terhadap jari-jari pada saat r = 5 dm.

Jawab:

a. V = 𝜋r²t = 𝜋r²(4r) = 4𝜋r³

b. L = 2𝜋r² + 2𝜋rt = 2𝜋r² + 2𝜋r(4r) = 10𝜋r²

c.$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{V(5+h)-V(5)}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi (5+h)^3-4\pi(5)^3}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi \left [ (125+75h+15h^2+h^3) -125\right ]}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi (75h+15h^2+h^3)}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}4\pi (75+15h+h^2)$ 

$=4\pi (75)=300\pi$

d.$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{L(5+h)-L(5)}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{10\pi (5+h)^2-10\pi(5)^2}{h}$

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{10\pi (25+10h+h^2-25)}{h}$

 $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}10\pi (10+h)=10\pi (10)=100\pi$