Definisi Turunan Fungsi dan Pembahasan Soal

Turunan sari suatu fungsi y = f(x) di titik x = c didefinisikan sebagai berikut.

Definisi:

Misalkan f adalah suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) yang terdefinisi pada selang waktu (inteval) terbuka yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik x = c atau laju perubahan sesaat dari y terhadap x di titik x = c, ditulis f’(c) didefinisikan sebagai

$f'(c)= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Jika nilai limit ini ada.

Dengan memisalkan x = c + h pada definisi di atas, dapat dibuktikan bahwa definisi turunan pertama di titik x = c setara dengan:

$f'(c)= \lim\limits_{h\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

Catatan:

a. Jika limit itu ada (memiliki nilai), maka fungsi f bersifat diferensiabel (dapat didiferensialkan pada x = c).

b. Notas f’(c) (dibaca: f aksen c) dinamakan turunan atau derivatif dari fungsi f terhadap x pada x = c.

c. Jika fungsi f(x) memiliki turunan f’(x) dan f’(x) tidak terdefinisi, maka fungsi f(x) tidak bersifat diferensiabel pada  x = c.

Contoh Soal 1

Carilah turunan pertama dari:

a. fungsi y = f(x) = 3x – 5 di titik x = 1

b. fungsi y = f(x) = x – x² di titik x = 3

c. fungsi y = f(x) = x – x³ di titik x = –2

Jawab:

a. turunan fungsi y = f(x) = 3x – 5 di titik x = 1 adalah f'(1)

Cara 1

Turunan pertama dari fungsi y = f(x)

= 3x – 5 di titik x = 1 adalah f’(1).

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3(1+h)-5-(3.1-5)}{h}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3+3h-5-3+5}{h}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3h}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}3=3$

Cara 2

$f'(x) =\lim\limits_{h\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$=\lim\limits_{h\rightarrow 1} \frac{3x-5-(3.1-5)}{x-1}$$=\lim\limits_{h\rightarrow 1} \frac{3x-3}{x-1}=\lim\limits_{h\rightarrow 1} 3=3$

b. turunan fungsi y = f(x) = x – x² di titik x = 3 adalah f'(3)

Cara 1

$f'(3)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{(3+h)-(3+h)^2-(3-3^2)}{h} $ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{3+h-9-6h-h^2-3+9}{h} $ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{-5h-h^2}{h} $ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0} (-5-h)=(-5-0)=-5$

Cara 2

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{x-x^2-(3-3^2)}{x-3}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{x-x^2+6x}{x-3}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{-{\color{Red} (x-3)}(x+2)}{{\color{Red} x-3}}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0} -(x+2)=-(3+2)=-5$

c. turunan fungsi y = f(x) = x – x³ di titik x = –2 adalah f'(-2)

Cara 1

$f'(-2)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(-2+h)-f(-2)}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(-2+h)-(-2+h)^3-\left [ (-2)-(-2)^3 \right ]}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-2+h+8-12h+6h^2-h^3-6}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{-11h+6h^2-h^3}{h}$ 

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}(-11+6h-h^2)$ $=(-11+6.0-0^2)=-11$

Cara 2

$f'(-2)=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$ 

$f'(-2)=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{x-x^3-\left [ -2-(-2^3) \right ]}{x+2}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{x-x^3-6}{x+2}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{(x+2)(-x^2+2x-3)}{x+2}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow -2}(-x^2+2x-3)$ $=\left \{ -(-2)^2+2(-2-3) \right \}=-1$