Laju Perubahan Nilai Fungsi & Pembahasan Soal

Laju perubahan Nilai Fungsi meliputi laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat.

Laju Perubahan Rata-rata

• Kecepatan Rata-rata

Andaikan sebuah benda P bergerak sepanjang garis koordinat dan posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = f(x). Pada saat t = t₁ benda berada di s₁ = f(t₁) dan pada saat t = t₁ + h, P berada di s₂ = f(t₁ + h).

Dengan demikian, kecepatan rata-rata pada selang ini adalah

$v_{rata-rata}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{1}+h-t_{1}}=\frac{f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}$

Dalam kasus t₁ = t, maka

$v_{rata-rata}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

• Laju Perubahan Rata-rata Nilai Fungsi

Definisi:

Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam selang tertutup x₁ ≤ x ≤ x₂ adalah

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$

Ratio (perbandingan) ini dinamakan difference quotient (kuosien selisih). Tafsiran geometri (ilmu ukur) untuk laju perubahan rata-rata adalah gradien  (koefisien arah/ kemiringan/kecuraman/tanjakan) garis g (tali busur) yang menghubungkan titik (x₁, f(x₁)) dan (x₂, f(x₂)).

Contoh Soal 1

Posisi sebuah benda setelah t detik adalah s = 2t² + 2 meter.

a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang 2 ≤ t ≤ 3?

b. Berapa kecepatan rata-rata pada selang 2 ≤ t ≤ 2,001?

c. Berapa kecepatan rata-rata pada selang 2 ≤ t ≤ 2 + h?

Jawab:

$v_{rata-rata}=\frac{\Delta s}{\Delta t} $

a. untuk selang 2 ≤ t ≤ 3

t = 2 → s = 2(2)² + 2 = 10

t = 3 → s = 2(3)² + 2 = 20

v_rata-rata = (20 – 10)/(3 – 2) = 10 m/det

b. selang 2 ≤ t ≤ 2,001

t = 2 → s = 2(2)² + 2 = 10

t = 3 → s = 2(2,001)² + 2 = 10,008002

v_rata-rata = (10,008002 – 10)/(2,001 – 2) = 8,002 m/det

c. untuk selang 2 ≤ t ≤ 2 + h

t = 2 → s = 2(2)² + 2 = 10

t = 3 →s = 2(2 + h)² + 2 = 8 + 8h + 2h² + 2 = 10 + 8h + 2h²

v_rata-rata = (10 + 8h + 2h² – 10)/(2 + h – 2) = (8 + 2h) m/det

Contoh Soal 2

Jika jari-jari suatu bola berubah dari 2 dm menjadi 3 dm, carilah laju perubahan rata-rata:

a. luas permukaan bola terhadap jari-jarinya

b. volume bola terhadap jari-jarinya

Jawab:

r = jari-jari bola, L = luas bola, V = volume bola

a. Luas permukaan bola L = 4𝜋r² atau L(r) = 4𝜋r²

r = 2 → L(2) = 4𝜋(2)² = 16𝜋

r = 3 → L(3) = 4𝜋(3)² = 36𝜋

$L_{rata-rata}=\frac{\Delta L}{\Delta t} =\frac{L(3)-L(2)}{3-2} $

$ =\frac{36\pi -16\pi }{3-2}=20\pi $

Jadi, laju perubahan rata-rata luas permukaan bola terhadap jari-jarinya adalah 20𝜋

b. Volume bola $V=\frac{4}{3}\pi r^3$  atau $V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$  

r = 2 $V(2)=\frac{4}{3}\pi (2)^3=\frac{32}{3}\pi$→ V(2) = 4𝜋(2)² = 16𝜋

r = 3 → V(3) = 4𝜋(3)² $V(3)=\frac{4}{3}\pi (3)^3=36\pi$

$V_{rata-rata}= \frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V(3)-V(2)}{3-2}$

$=\frac{36\pi -\frac{32}{3}\pi }{3-2}=\frac{76}{3}\pi $

Jadi, laju perubahan rata-rata volume bola terhadap jari-jarinya adalah $\frac{76}{3}\pi $