Bentuk Tak Tentu ∞ - ∞ Limit Fungsi dan Pembahasan Soal

Kita akan mengitung bentuk $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }{f(x)-g(x)}$ dengan $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty $ dan $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty $ ($x\rightarrow \infty $ dapat diganti oleh $x\rightarrow -\infty $ atau $x\rightarrow c$). Untuk menentukan solusinya kita ubah bentuk rumitnya menjadi $\frac{\infty }{\infty }$. Selanjutnya, penyelesaiannya dapat dicari seperti cara sebelumnya.

Contoh Soal

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(x^3-9x^2)$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+2x} \right )$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{1}{sinx} -\frac{1}{tanx}\right )$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+cosx}}{sin^2x} $

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(x^3-9x^2)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x^3\left (1-\frac{9}{x} \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x^3.\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (1-\frac{9}{x} \right )=\infty $

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+2x} \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+2x} \right )\times \frac{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+2x}}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+2x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2-x-(x^2+2x)}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+2x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{-3x}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+2x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{-3}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}$ 

$=\frac{-3}{\sqrt{1-0}+\sqrt{1+0}}=-\frac{3}{2}$ 

Dengan Cara Smart

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, Untuk a = p

maka:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+2x} \right )=\frac{-1-2}{2\sqrt{1}}=-\frac{3}{2}$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{1}{sinx} -\frac{1}{tanx}\right )$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{1}{sinx} -\frac{cosx}{sinx}\right )=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{1-cosx}{sinx} \times \frac{1+cosx}{1+cosx}\right )$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{1-cos^2x}{sinx(1+cosx)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{sin^2x}{sinx(1+cosx)}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{sinx}{(1+cosx)}=\frac{sin0}{1+cos0}$ 

$=\frac{0}{1+1}=0$ 

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+cosx}}{sin^2x} $

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2cos^2\frac{1}{2}x}}{sin^2x}=\sqrt{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{1-cos\frac{1}{2}x}{\left (sin^2.\frac{1}{2}x \right )^2}$

 $=\sqrt{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{1-cos\frac{1}{2}x}{\left ( 2sin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x \right )^2\left ( 1+cos\frac{1}{2}x \right )}$ 

$=\sqrt{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{sin^2\frac{1}{2}x}{\left ( 4sin^2\frac{1}{2}xcos^2\frac{1}{2}x \right )\left ( 1+cos\frac{1}{2}x \right )}$ 

$=\sqrt{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{1}{\left ( 4cos^2\frac{1}{2}x \right )\left ( 1+cos\frac{1}{2}x \right )}$ 

$=\frac{1}{\left ( 4cos^2\frac{1}{2}(0)\right )\left ( 1+cos\frac{1}{2}(0) \right )}$ 

$=\sqrt{2}\frac{1}{(4)(1+1)}=\frac{1}{8}\sqrt{2}$