Bentuk Tak Tentu 0.∞ Limit Fungsi dan Pembahasan Soal

Kita akan menghitung $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)g(x)$ , dengan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=0$ , dan$\lim\limits_{x\rightarrow c}|g(x)|=\infty $ ($x\rightarrow c$dapat diganti oleh $x\rightarrow \infty $ atau $x\rightarrow -\infty $). Pertama-tama kita ubah bentuk $f(x)g(x)$ sebagai $\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ untuk memberoleh bentuk $\frac{0}{0}$ atau sebagai $\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ untuk memperoleh bentuk $\frac{\infty }{\infty }$. Selanjutnya, penyelesaiannya dapat dicari dengan cara sebelumnya.

Contoh Soal 1

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+x}}-1 \right )$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )sec2x$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+x}}-1 \right )$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\times \left ( \frac{1-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} \right )\times \frac{1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\times \frac{1-(1-x)}{\sqrt{1+x}+1+x}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{-1}{\sqrt{1+x}+1+x}$ 

$=\frac{-1}{\sqrt{1+0}+1+0}=-\frac{1}{2}$ 

b.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )sec2x$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{cos2x}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{sin\left ( \frac{\pi }{2}-2x \right )}$ 

$=\lim\limits_{\left (x-\frac{\pi }{4} \right )\rightarrow 0}\frac{2\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )\frac{1}{2}}{-sin2\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}$ 

$=-\frac{1}{2}\lim\limits_{\left (x-\frac{\pi }{4} \right )\rightarrow 0}\frac{2\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{sin2\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}=-\frac{1}{2}$ 

Contoh Soal 2

a. Buktikan bahwa $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }cos\frac{1}{x}=1$

b. Hitunglah: (i)$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x.sin\frac{1}{x}$ dan (ii)$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x.tan\frac{1}{x}$

Jawab:

a.$1>cos\frac{1}{x}$

$cos\frac{1}{x}=1-2sin^2\frac{1}{2x}$

Untuk nilai x yang cukup besar

$1-2sin^2\frac{1}{2x}>1-2.\left (\frac{1}{2x} \right )^2$

 $cos\frac{1}{x}>1-\frac{1}{2x^2}$ 

oleh karena$1>cos\frac{1}{x} $ dan $cos\frac{1}{x}>1-\frac{1}{2x^2}$ 

maka$1>cos\frac{1}{x}>1-\frac{1}{2x^2}$

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1>\lim\limits_{x\rightarrow \infty }cos\frac{1}{x}>\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left (1-\frac{1}{2x^2} \right )$

dengan demikian,

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }cos\frac{1}{x}=1$(terbukti)

b.(i)$1> \frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}>cos\frac{1}{x}$

untuk $x\rightarrow \infty$, $ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }cos\frac{1}{x}=1$,

sehingga

$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }x.sin\frac{1}{x}= \lim\limits_{x\rightarrow \infty }sin\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$

(ii)$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }x.tan\frac{1}{x}= \lim\limits_{x\rightarrow \infty }tan\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} $ 

 $= \lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{1}{cos\frac{1}{x}}.\lim\limits_{x\rightarrow \infty }sin\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1.1=1$