Bentuk Tak Tentu ∞/∞ Limit Fungsi dan Pembahasan Soal

Kita akan menghitung $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }=\frac{f(x)}{g(x)}$, dengan $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }|f(x)|=\infty $dan $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }|g(x)|=\infty $ ($x\rightarrow \infty $dapat diganti $x\rightarrow c$ atau $x\rightarrow -\infty $). Untuk menentukan solusinya, kita ubah bentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$, sehingga sifat-sifat limit dapat digunakan. Strategi yang dapat dicoba adalah strategi menyatakan dengan bentuk sekawan, strategi membai dengan pangkat tertingg, dan sebagainya.

Contoh Soal 1

Hitunglah setiap limit berikut ini.

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{4x-1}{3-2x} \right )^{10}$

b.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{(4+5x)(2-x)}{(2+x)(1-x)}$

c.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{5x^3}{\sqrt{x^6+1}}$

d.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{a+x+\sqrt{a^2+x^2}}{a-x-\sqrt{a^2+x^2}}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{4x-1}{3-2x} \right )^{10}$

$=\left (\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{4x-1}{3-2x} \right )^{10}$ 

$=\left (\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \frac{4-\frac{1}{x}}{\frac{3}{x}-2} \right )^{10}=\left ( \frac{4-0}{0-2} \right )^{10}$ 

$=(-2)^{10}=1024$ 

b.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{(4+5x)(2-x)}{(2+x)(1-x)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{8+6x-5x^2}{2-x-x^2}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{\frac{8}{x^2}+\frac{6}{x}-5}{\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2}-1}$

$=\frac{0+0-5}{0-0-1}=5$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{5x^3}{\sqrt{x^6+1}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{5}{\frac{1}{x^3}\sqrt{x^6+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{5}{\sqrt{1+\frac{1}{x^6}}}$ 

$=\frac{5}{\sqrt{1+0}}=5$ 

d.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{a+x+\sqrt{a^2+x^2}}{a-x-\sqrt{a^2+x^2}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{a+x+\sqrt{a^2+x^2}}{a-x-\sqrt{a^2+x^2}}\times \frac{a-x+\sqrt{a^2+x^2}}{a-x+\sqrt{a^2+x^2}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }\frac{a^2-x^2+2a\sqrt{a^2+x^2}+a^2+x^2}{(a-x)^2-(a^2+x^2)}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow\infty } \frac{2a^2+2a\sqrt{a^2+x^2}}{-2ax}$ 

$=-1.\lim\limits_{x\rightarrow\infty } \frac{a+\sqrt{a^2+x^2}}{x}$ 

$=-1.\lim\limits_{x\rightarrow\infty } \frac{a}{x}+\sqrt{\frac{a^2}{x^2}+1}$ 

$=-1.(0+\sqrt{0+1})=-1$