Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Bentuk Tak Tentu 0/0 Limit Fungsi


Kita akan menghitung bentuk $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}$ , dengan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=0$ dan $\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)=0$ ($x\rightarrow c$ dapat diganti oleh $x\rightarrow \infty$ atau $x\rightarrow -\infty$

Untuk menentukan solusinya adalah sebagai berikut. Kita ubah bentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$, sehingga figat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Strategi faktorisasi dapat kita gunakan, yaitu dengan menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri dan limit fungsi trigonometri, merasionalkan bentuk pecahan (strategi mengalikan dengan bentuk sekawan), dan sebagainya.

Contoh Soal

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+x-6}{x^3-8}$
b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2x^2-8}{x-2}+\frac{x^2-2x}{2x-4} \right )$
c.$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}$
d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}$
e.$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^2}{sin(\pi -\pi x)}$
f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x^2-1)sin6x}{x^3+3x^2+2x}$
g.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{sinx-sin\frac{\pi }{4}}{x-\frac{\pi }{4}}$

h.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+x-6}{x^3-8}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (x-2)}(x+3)}{{\color{Red} (x-2)}(x^2+2x+4)}$
 $=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x+3)}{(x^2+2x+4)}=\frac{2+3}{2^2+2(2)+4}=\frac{5}{12}$ 

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2x^2-8}{x-2}+\frac{x^2-2x}{2x-4} \right )=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}+\frac{x(x-2)}{2(x-2)} \right )$
 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left ( 2x+4+\frac{x}{2} \right )=2(0)+4+\frac{0}{2}=4$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}$


$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}\times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x-(2x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2x-1})}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-{\color{Blue} (x-1)}}{{\color{Blue} (x-1)}(\sqrt{x}+\sqrt{2x-1})}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}$ 

$=\frac{-1}{\sqrt{1}+\sqrt{2(1)-1}}=-\frac{1}{2}$  

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}\times \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})}{1+2x-(1-2x)}$ 
$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{{\color{Red} 4x}(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})}{{\color{Red} 4x}}$ 
$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} (\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})$ $=\sqrt{1+2(0)}+\sqrt{1-2(0)}=2$ 

e.$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^2}{sin(\pi -\pi x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{(1-x)(1+x)}{sin\pi (1 -x)}$

$=\frac{1}{\pi }\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\pi (1-x)}{sin\pi (1 -x)}.\lim\limits_{x\rightarrow 1}(1+x)$ $=\frac{1}{\pi }.1.(1+1)=\frac{2}{\pi }$ 

f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x^2-1)sin6x}{x^3+3x^2+2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x-1){\color{Red} (x+1)}sin6x}{x{\color{Red} (x+1)}(x+2)}$


 $=6\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin6x}{6x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x+2}=6.1.\frac{0-1}{0+2}=-3$ 

g.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{sinx-sin\frac{\pi }{4}}{x-\frac{\pi }{4}}$$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{2cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right )sin\left ( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{8} \right )}{x-\frac{\pi }{4}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right ).\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{sin\left ( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )}{\frac{1}{2}\left (x-\frac{\pi }{4} \right )}$ 
$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right ).\lim\limits_{\left (x-\frac{\pi }{4} \right )\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\frac{1}{2}\left (x-\frac{\pi }{4} \right )}$ 
$=cos\left ( \frac{\pi }{8}+ \frac{\pi }{8}\right ).1=cos\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ 


h.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}\times \frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{9-(2x+9)}(3+\sqrt{2x+9})$ 
$=-\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{9-(2x+9)}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}(3+\sqrt{2x+9})$ 
$=-1.(3+\sqrt{2(0)+9})=-6$ 
Silakan Klik Jika beri Komentar

Post a Comment for "Bentuk Tak Tentu 0/0 Limit Fungsi"