Bentuk Tak Tentu 0/0 Limit Fungsi

Kita akan menghitung bentuk $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}$ , dengan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=0$ dan $\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)=0$ ($x\rightarrow c$ dapat diganti oleh $x\rightarrow \infty$ atau $x\rightarrow -\infty$

Untuk menentukan solusinya adalah sebagai berikut. Kita ubah bentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$, sehingga figat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Strategi faktorisasi dapat kita gunakan, yaitu dengan menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri dan limit fungsi trigonometri, merasionalkan bentuk pecahan (strategi mengalikan dengan bentuk sekawan), dan sebagainya.

Contoh Soal

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+x-6}{x^3-8}$ b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2x^2-8}{x-2}+\frac{x^2-2x}{2x-4} \right )$ c.$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}$ d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}$

e.$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^2}{sin(\pi -\pi x)}$ f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x^2-1)sin6x}{x^3+3x^2+2x}$ g.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{sinx-sin\frac{\pi }{4}}{x-\frac{\pi }{4}}$ h.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}$

Jawab:

a.$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+x-6}{x^3-8}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (x-2)}(x+3)}{{\color{Red} (x-2)}(x^2+2x+4)}$
 $=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x+3)}{(x^2+2x+4)}=\frac{2+3}{2^2+2(2)+4}=\frac{5}{12}$ 

b.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2x^2-8}{x-2}+\frac{x^2-2x}{2x-4} \right )=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}+\frac{x(x-2)}{2(x-2)} \right )$
 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left ( 2x+4+\frac{x}{2} \right )=2(0)+4+\frac{0}{2}=4$ 

c.$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}}{x-1}\times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x-(2x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2x-1})}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-{\color{Blue} (x-1)}}{{\color{Blue} (x-1)}(\sqrt{x}+\sqrt{2x-1})}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}$ 

$=\frac{-1}{\sqrt{1}+\sqrt{2(1)-1}}=-\frac{1}{2}$  

d.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}\times \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{4x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})}{1+2x-(1-2x)}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{{\color{Red} 4x}(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})}{{\color{Red} 4x}}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} (\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})$ $=\sqrt{1+2(0)}+\sqrt{1-2(0)}=2$ 

e.$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^2}{sin(\pi -\pi x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{(1-x)(1+x)}{sin\pi (1 -x)}$

$=\frac{1}{\pi }\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\pi (1-x)}{sin\pi (1 -x)}.\lim\limits_{x\rightarrow 1}(1+x)$ $=\frac{1}{\pi }.1.(1+1)=\frac{2}{\pi }$ 

f.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x^2-1)sin6x}{x^3+3x^2+2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{(x-1){\color{Red} (x+1)}sin6x}{x{\color{Red} (x+1)}(x+2)}$

 $=6\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin6x}{6x}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x+2}=6.1.\frac{0-1}{0+2}=-3$ 

g.$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{sinx-sin\frac{\pi }{4}}{x-\frac{\pi }{4}}$$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} \frac{2cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right )sin\left ( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{8} \right )}{x-\frac{\pi }{4}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right ).\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{sin\left ( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )}{\frac{1}{2}\left (x-\frac{\pi }{4} \right )}$ 

$=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}} cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right ).\lim\limits_{\left (x-\frac{\pi }{4} \right )\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\frac{1}{2}\left (x-\frac{\pi }{4} \right )}$ 

$=cos\left ( \frac{\pi }{8}+ \frac{\pi }{8}\right ).1=cos\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ 

h.$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}\times \frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}}$

 $=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{9-(2x+9)}(3+\sqrt{2x+9})$ 

$=-\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin2x}{9-(2x+9)}.\lim\limits_{x\rightarrow 0}(3+\sqrt{2x+9})$ 

$=-1.(3+\sqrt{2(0)+9})=-6$